Tetraedro truncado

En geometría , el tetraedro truncado es un sólido arquimediano . Tiene 4 caras hexagonales regulares , 4 caras triangulares equiláteras , 12 vértices y 18 aristas (de dos tipos). Se puede construir truncando los 4 vértices de un tetraedro regular .

El tetraedro truncado se puede construir a partir de un tetraedro regular cortando todos sus vértices, un proceso conocido como truncamiento . ^{[ 1 ]} El poliedro resultante tiene 4 triángulos equiláteros y 4 hexágonos regulares, 18 aristas y 12 vértices. ^{[ 2 ]} Con una longitud de arista de 1, las coordenadas cartesianas de los 12 vértices son las permutaciones de

$${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{4}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}{\bigr )}}$$

que tengan un número par de signos menos.

Dada la longitud de la arista${\displaystyle a}$El área superficial de un tetraedro truncado${\displaystyle A}$es la suma del área de 4 hexágonos regulares y 4 triángulos equiláteros, y su volumen${\displaystyle V}$es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124a^{2},\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.711a^{3}.\end{aligned}}}$$

El ángulo diedro de un tetraedro truncado entre un triángulo y un hexágono es aproximadamente 109,47°, y el que existe entre caras hexagonales adyacentes es aproximadamente 70,53°. ^{[ 3 ]}

Se cree que el empaquetamiento más denso del tetraedro truncado es${\textstyle \Phi ={\frac {207}{208}}}$, según informaron dos grupos independientes que utilizaron métodos de Monte Carlo por Damasceno, Engel y Glotzer (2012) y Jiao y Torquato (2011) . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Aunque no existe prueba matemática de que este sea el mejor empaquetamiento posible para el tetraedro truncado, la alta proximidad a la unidad y la independencia de los hallazgos hacen improbable que se encuentre un empaquetamiento aún más denso. Si el truncamiento de las esquinas es ligeramente menor que el de un tetraedro truncado, esta nueva forma puede usarse para llenar el espacio por completo. ^{[ 4 ]}

El tetraedro truncado es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro semirregular y transitivo en los vértices, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^{[ 6 ]} El tetraedro truncado tiene la misma simetría de grupo tridimensional que el tetraedro regular, la simetría tetraédrica.${\displaystyle \mathrm {T} _ {\mathrm {h} }}$. ^{[ 7 ]} Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un triángulo equilátero y dos hexágonos regulares, y la figura del vértice se denota como${\displaystyle 3\cdot 6^{2}}$. Su poliedro dual es el tetraedro triakis , un sólido de Catalan , que comparte la misma simetría que el tetraedro truncado. ^{[ 8 ]}

El tetraedro truncado se puede encontrar en la construcción de poliedros. Por ejemplo, el tetraedro truncado aumentado es un sólido de Johnson construido a partir de un tetraedro truncado mediante la adición de una cúpula triangular a una cara hexagonal. ^{[ 9 ]} El tetraedro truncado triakis es un poliedro construido a partir de un tetraedro truncado mediante la adición de tres tetraedros a sus caras triangulares, como lo indica el nombre " triakis ". Se clasifica como plesiohedro , lo que significa que puede teselar en un espacio tridimensional conocido como panal ; un ejemplo es el panal tetraédrico truncado triakis . ^{[ 10 ]}

El poliedro de Friauf recibe su nombre de J.B. Friauf , quien lo describió como una estructura intermetálica formada por un compuesto de elementos metálicos. ^{[ 11 ]} Se puede encontrar en cristales como aleaciones metálicas complejas, un ejemplo es el dizinc magnesio MgZn ₂ . ^{[ 12 ]} Es una versión de menor simetría del tetraedro truncado, interpretado como un disfenoides tetragonal truncado con su grupo de simetría tridimensional como el grupo diedral${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$del orden 8.

Al truncar un tetraedro truncado se obtiene un poliedro con 54 aristas, 32 vértices y 20 caras : 4 hexágonos, 4 nonágonos y 12 trapecios . Adidas utilizó este poliedro como base geométrica del balón Jabulani diseñado para la Copa Mundial de 2010. ^{[ 1 ]}

En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo tetraédrico truncado es un grafo arquimediano , el grafo de vértices y aristas del tetraedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos . Tiene 12 vértices y 18 aristas. ^{[ 13 ]} Es un grafo cúbico conexo, ^{[ 14 ]} y un grafo cúbico transitivo conexo. ^{[ 15 ]}

Como construcción de Wythoff , es transitiva en vértices y tiene 2 órbitas de aristas de 6 (entre triángulos) y 12 (en ciclos triangulares). Como grafo cúbico hamiltoniano , se puede representar mediante la notación LCF como [2, 6, -2] ⁴ con 2 órbitas de vértices y 4 órbitas de aristas en un dodecágono regular.

• 
  dibujo en De divina proporción (1509)
• 
  dibujo en Perspectiva Corporum Regularium (1568)
• 
  modelo de cristal
• 
  fotos desde diferentes perspectivas ( Matemateca )
• 
  dado de 4 caras
• 
  12 permutaciones de${\displaystyle (4,2,0,0)}$(marrón)
• 
  Un Tetraminx resuelto

• Panal cúbico de un cuarto : rellena el espacio utilizando tetraedros truncados y tetraedros más pequeños.
• Politopo truncado de 5 células : politopo uniforme similar en 4 dimensiones.
• tetraedro triakis truncado
• Tetraedro truncado de Triakis
• Octaedro : un tetraedro rectificado

• Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press

• Weisstein, Eric W. , " Tetraedro truncado " (" Sólido arquimediano ") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Grafo tetraédrico truncado" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "3D convex uniform polyhedra x3x3o - tut" .
• Red imprimible y editable de un tetraedro truncado con vista 3D interactiva.
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros