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Articulo de referencia

Número de Friedman

Un número de Friedman es un entero que, representado en un sistema numérico dado , es el resultado de una expresión no trivial que utiliza todos sus dígitos en combinación con c...

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Un número de Friedman es un entero que, representado en un sistema numérico dado , es el resultado de una expresión no trivial que utiliza todos sus dígitos en combinación con cualquiera de los cuatro operadores aritméticos básicos (+, −, ×, ÷), inversos aditivos , paréntesis, exponenciación y concatenación . Aquí, "no trivial" significa que se utiliza al menos una operación además de la concatenación. No se pueden usar ceros iniciales, ya que esto también daría como resultado números de Friedman triviales, como 024 = 20 + 4. Por ejemplo, 347 es un número de Friedman en el sistema numérico decimal , ya que 347 = 7³ + 4. Los números de Friedman decimales son:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (secuencia A036057 en el OEIS ) .

Los números de Friedman reciben su nombre en honor a Erich Friedman, un profesor de matemáticas ya jubilado de la Universidad de Stetson y aficionado a las matemáticas.

Un número primo de Friedman es un número de Friedman que también es primo . Los números primos de Friedman decimales son:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... (secuencia A112419 en el OEIS ) .

Resultados en base 10

Las expresiones de los primeros números de Friedman son:

Un número de Friedman agradable es aquel en el que los dígitos de la expresión se pueden ordenar de forma que queden en el mismo orden que en el número mismo. Por ejemplo, podemos reordenar 127 = 2⁷ − 1 como 127 = −1 + 2⁷ . Los primeros números de Friedman agradables son:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (secuencia A080035 en el OEIS ) .

Un número primo de Friedman agradable es un número primo de Friedman agradable . Los primeros números primos de Friedman agradables son:

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 156253, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 262147, 279967, 294829, 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763, 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 (secuencia A252483 en el OEIS ) .

Michael Brand demostró que la densidad de números de Friedman entre los naturales es 1, [ 1 ] lo que significa que la probabilidad de que un número elegido aleatoriamente y de forma uniforme entre 1 y n sea un número de Friedman tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Este resultado se extiende a los números de Friedman bajo cualquier base de representación. También demostró que lo mismo es cierto para los números de Friedman binarios, ternarios y cuaternarios. [ 2 ] El caso de los números de Friedman en base 10 aún está abierto.

Los números vampiro son un subconjunto de los números de Friedman en los que la única operación es la multiplicación de dos números con la misma cantidad de dígitos; por ejemplo, 1260 = 21 × 60.

Cómo encontrar números de Friedman de dos dígitos

Por lo general, hay menos números de Friedman de dos dígitos que de tres dígitos, y más en cualquier base dada, pero los de dos dígitos son más fáciles de encontrar. Si representamos un número de dos dígitos como mb + n , donde b es la base y m , n son enteros de 0 a b −1, solo necesitamos comprobar cada posible combinación de m y n con las igualdades mb + n = m n y mb + n = n m para ver cuáles son verdaderas. No necesitamos preocuparnos por m + n o m × n , ya que estos siempre serán menores que mb + n cuando n < b . Lo mismo se cumple claramente para m − n y m / n .

Otras bases

Los números de Friedman también existen para bases distintas de la base 10. Por ejemplo, 11001 2 = 25 es un número de Friedman en el sistema numérico binario , ya que 11001 = 101 10 .

A continuación se muestran los primeros números de Friedman conocidos en otras bases pequeñas, escritos en sus respectivas bases. Los números que aparecen en negrita son números de Friedman agradables. [ 3 ]

Resultados generales

En baseb=metrok−metro{\displaystyle b=mk-m},

b2+metrob+k=(metrok−metro+metro)b+k=metrobk+k=k(metrob+1){\displaystyle b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k=k(mb+1)}

es un número de Friedman (escrito en baseb{\displaystyle b}como 1 mk = k × m 1). [ 4 ]

En baseb>2{\displaystyle b>2},

(bnorte+1)2=b2norte+2bnorte+1{\displaystyle {(b^{n}+1)}^{2}=b^{2n}+2{b^{n}}+1}

es un número de Friedman (escrito en baseb{\displaystyle b}como 100...00200...001 = 100..001 2 , connorte−1{\displaystyle n-1}ceros entre cada número distinto de cero). [ 4 ]

En baseb=k(k−1)2{\displaystyle b={\frac {k(k-1)}{2}}},

2b+k=2(k(k−1)2)+k=k2−k+k=k2{\displaystyle 2b+k=2\left({\frac {k(k-1)}{2}}\right)+k=k^{2}-k+k=k^{2}}

es un número de Friedman (escrito en baseb{\displaystyle b}como 2 k = k 2 ). A partir de la observación de que todos los números de la forma 2 k × b 2 n se pueden escribir como k 000...000 2 con n 0, podemos encontrar secuencias de números de Friedman consecutivos que son arbitrariamente largos. Por ejemplo, parak=5{\displaystyle k=5}, o en base 10 , 250068 = 500 2 + 68, de lo cual podemos deducir fácilmente el rango de números de Friedman consecutivos de 250000 a 250099 en base 10. [ 4 ]

Números de Friedman de Repdigit :

  • El dígito más pequeño en cualquier base que sea un número de Friedman se encuentra en base 8 , y es 33 = 3 3 .
  • El dígito más pequeño en base 10 que se sabe que es un número de Friedman es 99999999 = (9 + 9/9) 9−9/9 − 9/9. Se han calculado todos los números de Friedman en base 10 con 7 o menos dígitos. [ 4 ]
  • Se ha demostrado que los números repetitivos con al menos 22 dígitos son números de Friedman agradables. [ 4 ]

Hay un número infinito de números primos de Friedman en todas las bases, porque para la base2≤b≤6{\displaystyle 2\leq b\leq 6}los números

norte×101111+11111111=norte×101111+101000−1+0+0{\displaystyle n\times 10^{1111}+11111111=n\times 10^{1111}+10^{1000}-1+0+0}en base 2
norte×10102+1101221=norte×10102+2101+0+0{\displaystyle n\times 10^{102}+1101221=n\times 10^{102}+2^{101}+0+0}en base 3
norte×1020+310233=norte×1020+333+0{\displaystyle n\times 10^{20}+310233=n\times 10^{20}+33^{3}+0}en base 4
norte×1013+2443111=norte×104+4+(2×3)11{\displaystyle n\times 10^{13}+2443111=n\times 10^{4+4}+(2\times 3)^{11}}en base 5
norte×1013+25352411=norte×102×5−1+(5+2)(3+4){\displaystyle n\times 10^{13}+25352411=n\times 10^{2\times 5-1}+(5+2)^{(3+4)}}en base 6

para la base7≤b≤10{\displaystyle 7\leq b\leq 10}los números

norte×1060+164351=norte×1060+(10+4−3)5+0+0+…{\displaystyle n\times 10^{60}+164351=n\times 10^{60}+(10+4-3)^{5}+0+0+\ldots }en base 7,
norte×1060+163251=norte×1060+(10+3−2)5+0+0+…{\displaystyle n\times 10^{60}+163251=n\times 10^{60}+(10+3-2)^{5}+0+0+\ldots }en base 8,
norte×1060+162151=norte×1060+(10+2−1)5+0+0+…{\displaystyle n\times 10^{60}+162151=n\times 10^{60}+(10+2-1)^{5}+0+0+\ldots }en base 9,
norte×1060+161051=norte×1060+(10+1−0)5+0+0+…{\displaystyle n\times 10^{60}+161051=n\times 10^{60}+(10+1-0)^{5}+0+0+\ldots }en base 10,

y para baseb>10{\displaystyle b>10}

norte×1050+15AA51=norte×1050+(10+A/A)5+0+0+…{\displaystyle n\times 10^{50}+{\text{15AA51}}=n\times 10^{50}+(10+{\text{A}}/{\text{A}})^{5}+0+0+\ldots }

son los números de Friedman para todosnorte{\displaystyle n}Los números de esta forma son una secuencia aritmética.pagnorte+q{\displaystyle pn+q}, dóndepag{\displaystyle p}yq{\displaystyle q}son relativamente primordiales independientemente de la base comob{\displaystyle b}yb+1{\displaystyle b+1}Los números son siempre primos entre sí y, por lo tanto, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , la secuencia contiene un número infinito de números primos.

Usando números romanos

En términos sencillos, todos los números romanos con más de un símbolo son números de Friedman. Esta expresión se crea simplemente insertando signos de suma (+) en el número, y ocasionalmente el signo de resta (−), con una ligera reorganización del orden de los símbolos.

Se han realizado algunas investigaciones sobre los números de Friedman en números romanos para los que la expresión utiliza algunos de los otros operadores. El primer número de Friedman en números romanos que se descubrió fue el 8, ya que VIII = (V - I) × II. Se han encontrado otros ejemplos similares, aunque no triviales.

La dificultad de encontrar números de Friedman no triviales en números romanos no aumenta con el tamaño del número (como ocurre con los sistemas de numeración posicional ), sino con la cantidad de símbolos que contiene. Por ejemplo, es mucho más difícil determinar si 147 (CXLVII) es un número de Friedman en números romanos que determinarlo para 1001 (MI). Con los números romanos, se pueden derivar al menos varias expresiones de Friedman a partir de cualquier expresión nueva que se descubra. Dado que 8 es un buen número de Friedman no trivial en números romanos, se deduce que cualquier número que termine en VIII también lo es.

Referencias

  1. ↑ Michael Brand, "Los números de Friedman tienen densidad 1", Matemáticas Aplicadas Discretas , 161 (16–17), noviembre de 2013, págs. 2389-2395.
  2. ↑ Michael Brand, "Sobre la densidad de los Friedman agradables", octubre de 2013, https://arxiv.org/abs/1310.2390 .
  3. ↑ Friedman, Erich. "Números de Friedman en otras bases" .
  4. 1 2 3 4 5 "Magia Matemática" .
  • Secuencia OEIS A036057 (número de Friedman)
  • "Números de Friedman" . Github . Problema del mes. Agosto de 2000.
  • Brand, Michael (noviembre de 2013). "Los números de Friedman tienen densidad 1" . Matemáticas Aplicadas Discretas . 161 ( 16–17 ): 2389–2395 . doi : 10.1016/j.dam.2013.05.027 .
  • Secuencia OEIS A119710 (Números narcisistas radicales)
    • "Números narcisistas bastante salvajes: números que dominan" . Instituto de Investigación Teórica . Extensión a los números de Friedman.