Reciprocidad de Frobenius

El teorema fue enunciado originalmente en términos de la teoría de caracteres . Sea G un grupo finito con un subgrupo H , sea${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$denotemos la restricción de un carácter, o más generalmente, una función de clase de G a H , y sea${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$denotamos la función de clase inducida de una función de clase dada en H. Para cualquier grupo finito A , existe un producto interno.${\displaystyle \langle -,-\rangle _ {A}}$en el espacio vectorial de funciones de clase${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$(descrito en detalle en el artículo Relaciones de ortogonalidad de Schur ). Ahora, para cualquier función de clase${\displaystyle \psi :H\to \mathbb {C} }$y${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {C} }$, se cumple la siguiente igualdad: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi ,\varphi \rangle _{G}=\langle \psi ,\operatorname {Res} _{H}^{G}\varphi \rangle _{H}.}$$

En otras palabras,${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$y${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$son adjuntos hermitianos .

Como se explica en la sección Teoría de la representación de grupos finitos#Representaciones, módulos y el álgebra de convolución , la teoría de las representaciones de un grupo G sobre un cuerpo K es, en cierto sentido, equivalente a la teoría de módulos sobre el álgebra de grupo K [ G ]. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, existe un teorema de reciprocidad de Frobenius correspondiente para los K [ G ]-módulos.

Sea G un grupo con subgrupo H , sea M un H- módulo y sea N un G -módulo. En el lenguaje de la teoría de módulos, el módulo inducido${\displaystyle K[G]\otimes _{K[H]}M}$corresponde a la representación inducida${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$, mientras que la restricción de escalares${\displaystyle {_{K[H]}}N}$corresponde a la restricción${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$En consecuencia, la afirmación es la siguiente: Los siguientes conjuntos de homomorfismos de módulos están en correspondencia biyectiva:

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K[G]}(K[G]\otimes _{K[H]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H]}(M,{_{K[H]}}N)}$$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Como se indica más adelante en la sección sobre teoría de categorías, este resultado se aplica a módulos sobre todos los anillos, no solo a módulos sobre álgebras de grupo.

Sea G un grupo con un subgrupo H , y sea${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}}$se define como arriba. Para cualquier grupo A y campo K sea${\displaystyle {\textbf {Rep}}_{A}^{K}}$denotamos la categoría de representaciones lineales de A sobre K. Hay un functor olvidadizo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{H}\\(V,\rho )&\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\rho )\end{aligned}}}$$

Este functor actúa como la identidad en los morfismos . Hay un functor que va en la dirección opuesta:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ind} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{G}\\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind} _{H}^{G}(W,\tau )\end{aligned}}}$$

Estos functores forman un par adjunto${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}}$. ^{[ 6 ]} En el caso de grupos finitos, son en realidad adjuntos tanto por la izquierda como por la derecha. Esta adjunción da lugar a una propiedad universal para la representación inducida (para más detalles, véase Representación inducida#Propiedades ).

En el lenguaje de la teoría de módulos, la adjunción correspondiente es un ejemplo de la relación más general entre restricción y extensión de escalares .