Representación inducida

Sea G un grupo finito y H cualquier subgrupo de G. Además, sea ₍ π , V ) una representación de H. Sea n = [ G  : H ] el índice de H en G y sean g₁ , ..., gₙ un conjunto completo de representantes en _G de las clases laterales izquierdas en G / H . La representación inducida Ind ^G _H π puede considerarse como actuando sobre el siguiente espacio:

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

Aquí, cada g _i V es una copia isomorfa del espacio vectorial V cuyos elementos se escriben como g _i v con v ∈ V. Para cada g en G y cada g _i hay un h _i en H y una permutación j de {1, ..., n } tal que g g _i = g _{j ( i )} h _i , donde h _i y j dependen de g . Esto es simplemente otra forma de decir que g ₁ , ..., g _n es un conjunto completo de representantes. A través de la representación inducida, G actúa sobre W de la siguiente manera:

${\displaystyle g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}}$

dónde${\displaystyle v_{i}\in V}$para cada i .

Alternativamente, se pueden construir representaciones inducidas mediante la extensión de escalares : cualquier representación lineal K${\displaystyle \pi }$ del grupo H puede verse como un módulo V sobre el anillo de grupo K [ H ]. Entonces podemos definir

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

Esta última fórmula también puede utilizarse para definir Ind ^G _H π para cualquier grupo G y subgrupo H , sin requerir ninguna finitud. ^{[ 1 ]}

Si G es un grupo topológico localmente compacto (posiblemente infinito) y H es un subgrupo cerrado , entonces existe una construcción analítica común de la representación inducida. Sea ( π , V ) una representación unitaria continua de H en un espacio de Hilbert V. Entonces podemos decir:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ para todo }}h\in H,\;g\in G{\text{ y }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}

Aquí φ ∈ L ² ( G / H ) significa: el espacio G / H lleva una medida invariante adecuada, y dado que la norma de φ ( g ) es constante en cada clase lateral izquierda de H , podemos integrar el cuadrado de estas normas sobre G / H y obtener un resultado finito. El grupo G actúa sobre el espacio de representación inducido por traslación, es decir, ( g . φ )( x )= φ ( g ⁻¹ x ) para g,x ∈ G y φ ∈ Ind ^G _H π .

Esta construcción se modifica con frecuencia de diversas maneras para adaptarla a las aplicaciones necesarias. Una versión común se denomina inducción normalizada y suele utilizar la misma notación. La definición del espacio de representación es la siguiente:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ y }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}

Aquí , ΔG y ΔH son _{las funciones} modulares de G y H , respectivamente. Con la adición de los factores de normalización , este functor de inducción transforma las representaciones unitarias en representaciones unitarias.

Otra variante de la inducción se denomina inducción compacta . Esta es simplemente la inducción estándar restringida a funciones con soporte compacto . Formalmente se denota por ind y se define como:

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ y }}\phi {\text{ tiene soporte compacto módulo }}H\right\}.}

Tenga en cuenta que si G / H es compacto, entonces Ind e ind son el mismo functor.

Supongamos que G es un grupo topológico y H es un subgrupo cerrado de G. Además, supongamos que π es una representación de H sobre el espacio vectorial V. Entonces G actúa sobre el producto G × V de la siguiente manera:

${\displaystyle g.(g',x)=(gg',x)}$

donde g y g ′ son elementos de G y x es un elemento de V.

Definir en G × V la relación de equivalencia

${\displaystyle (g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ para todo }}h\in H.}$

Denotemos la clase de equivalencia de${\displaystyle (g,x)}$por${\displaystyle [g,x]}$Nótese que esta relación de equivalencia es invariante bajo la acción de G ; en consecuencia, G actúa sobre ( G × V )/~ . Este último es un fibrado vectorial sobre el espacio cociente G / H , donde H es el grupo de estructura y V es la fibra. Sea W el espacio de secciones.${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$de este haz vectorial. Este es el espacio vectorial subyacente a la representación inducida.${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi :W\to {\mathcal {L}}_{W}}$El grupo G actúa sobre una sección${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$dado por${\displaystyle gH\mapsto [g,\phi _{g}]}$como sigue:

${\displaystyle (g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.}$

En el caso de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, la construcción por inducción puede formularse en términos de sistemas de imprimitividad .