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Discontinuidades de funciones monótonas

En el campo matemático del análisis , un teorema bien conocido describe el conjunto de discontinuidades de una función monótona de valor real de una variable real; todas las dis...

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En el campo matemático del análisis , un teorema bien conocido describe el conjunto de discontinuidades de una función monótona de valor real de una variable real; todas las discontinuidades de dicha función (monótona) son necesariamente discontinuidades de salto y hay como máximo una cantidad numerable de ellas.

Por lo general, este teorema aparece en la literatura sin nombre. En algunos trabajos recientes se le denomina teorema de Froda ; en su disertación de 1929, Alexandru Froda afirmó que el resultado era previamente conocido y que había proporcionado su propia demostración elemental por conveniencia. [ 1 ] Trabajos previos sobre discontinuidades ya habían sido discutidos en las memorias de 1875 del matemático francés Jean Gaston Darboux . [ 2 ]

Definiciones

Denotemos el límite por la izquierda por F(incógnita−):=límitez↗incógnitaF(z)=límiteh>0h→0F(incógnita−h){\displaystyle f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(xh)} y denotemos el límite desde la derecha por F(incógnita+):=límitez↘incógnitaF(z)=límiteh>0h→0F(incógnita+h).{\displaystyle f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).}

SiF(incógnita+){\displaystyle f\left(x^{+}\right)}yF(incógnita−){\displaystyle f\left(x^{-}\right)}existen y son finitos entonces la diferenciaF(incógnita+)−F(incógnita−){\displaystyle f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)}se llama salto [ 3 ] deF{\displaystyle f}enincógnita.{\displaystyle x.}

Consideremos una función de valor real.F{\displaystyle f}de variable realincógnita{\displaystyle x}definido en un vecindario de un puntoincógnita.{\displaystyle x.}SiF{\displaystyle f}es discontinua en el puntoincógnita{\displaystyle x}entonces la discontinuidad será una discontinuidad removible , o una discontinuidad esencial , o una discontinuidad de salto (también llamada discontinuidad de primer tipo ). [ 4 ] Si la función es continua enincógnita{\displaystyle x}luego el salto enincógnita{\displaystyle x}es cero. Además, siF{\displaystyle f}no es continuo enincógnita,{\displaystyle x,}el salto puede ser cero enincógnita{\displaystyle x}siF(incógnita+)=F(incógnita−)≠F(incógnita).{\displaystyle f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).}

Declaración precisa

DejarF{\displaystyle f}sea ​​una función monótona de valor real definida en un intervaloI.{\displaystyle I.}Entonces, el conjunto de discontinuidades de primer tipo es como máximo numerable .

Se puede demostrar [ 5 ] [ 3 ] que todos los puntos de discontinuidad de una función monótona de valores reales definida en un intervalo son discontinuidades de salto y, por lo tanto, según nuestra definición, de primera especie. Con esta observación, el teorema adquiere una forma más fuerte:

DejarF{\displaystyle f}sea ​​una función monótona definida en un intervaloI.{\displaystyle I.}Entonces, el conjunto de discontinuidades es como máximo numerable.

Pruebas

Esta demostración comienza probando el caso especial en el que el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado.[a,b].{\displaystyle [a,b].}[ 6 ] [ 7 ] La demostración del caso general se deduce de este caso especial.

Demostración cuando el dominio es cerrado y acotado.

Se presentan dos pruebas de este caso especial.

Prueba 1

DejarI:=[a,b]{\displaystyle I:=[a,b]}sea ​​un intervalo y seaF:I→R{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }sea ​​una función no decreciente (como una función creciente ). Entonces, para cualquiera<incógnita<b,{\displaystyle a<x<b,}F(a) ≤ F(a+) ≤ F(incógnita−) ≤ F(incógnita+) ≤ F(b−) ≤ F(b).{\displaystyle f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).} Dejarα>0{\displaystyle \alpha >0}y dejarincógnita1<incógnita2<⋯<incógnitanorte{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}sernorte{\displaystyle n}puntos dentroI{\displaystyle I}en el que el salto deF{\displaystyle f}es mayor o igual queα{\displaystyle \alpha }: F(incógnitai+)−F(incógnitai−)≥α, i=1,2,…,norte{\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}

Para cualquieri=1,2,…,norte,{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,}F(incógnitai+)≤F(incógnitai+1−){\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)}de modo queF(incógnitai+1−)−F(incógnitai+)≥0.{\displaystyle f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.} Como consecuencia, F(b)−F(a)≥F(incógnitanorte+)−F(incógnita1−)=∑i=1norte[F(incógnitai+)−F(incógnitai−)]+∑i=1norte−1[F(incógnitai+1−)−F(incógnitai+)]≥∑i=1norte[F(incógnitai+)−F(incógnitai−)]≥norteα{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}} y por lo tantonorte≤F(b)−F(a)α.{\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.}

DesdeF(b)−F(a)<∞{\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }tenemos que el número de puntos en los que el salto es mayor queα{\displaystyle \alpha }es finito (posiblemente incluso cero).

Defina los siguientes conjuntos: S1:={incógnita:incógnita∈I,F(incógnita+)−F(incógnita−)≥1},{\displaystyle S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},}Snorte:={incógnita:incógnita∈I,1norte≤F(incógnita+)−F(incógnita−)<1norte−1}, norte≥2.{\displaystyle S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.}

Cada conjuntoSnorte{\displaystyle S_{n}}es finito o el conjunto vacío . La unión S=⋃norte=1∞Snorte{\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}contiene todos los puntos en los que el salto es positivo y, por lo tanto, contiene todos los puntos de discontinuidad. Dado que cadaSi, i=1,2,…{\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }es como máximo contable, su uniónS{\displaystyle S}es también, como máximo, contable.

SiF{\displaystyle f}Si la función no es creciente (o es decreciente ), la demostración es similar. Esto completa la demostración del caso especial en el que el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado. ◼{\displaystyle \blacksquare }

Prueba 2

Para una función monótonaF{\displaystyle f}, dejarF↗{\displaystyle f\nearrow }significa queF{\displaystyle f}es monótonamente no decreciente y seaF↘{\displaystyle f\searrow }significa queF{\displaystyle f}es monótonamente no creciente. SeaF:[a,b]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }es una función monótona y dejemosD{\displaystyle D}denotamos el conjunto de todos los puntosd∈[a,b]{\displaystyle d\in [a,b]}en el dominio deF{\displaystyle f}en el cualF{\displaystyle f}es discontinua (lo cual es necesariamente una discontinuidad de salto).

PorqueF{\displaystyle f}tiene una discontinuidad de salto end∈D,{\displaystyle d\in D,}F(d−)≠F(d+){\displaystyle f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)}Por lo tanto, existe algún número racional.yd∈Q{\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }que se encuentra estrictamente entreF(d−) y F(d+){\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)}(específicamente, siF↗{\displaystyle f\nearrow }luego eligeyd∈Q{\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }de modo queF(d−)<yd<F(d+){\displaystyle f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)}mientras que siF↘{\displaystyle f\searrow }luego eligeyd∈Q{\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }de modo queF(d−)>yd>F(d+){\displaystyle f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)}sostiene).

Ahora se demostrará que sid,mi∈D{\displaystyle d,e\in D}son distintos, digamos cond<mi,{\displaystyle d<e,}entoncesyd≠ymi.{\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.} SiF↗{\displaystyle f\nearrow }entoncesd<mi{\displaystyle d<e}implicaF(d+)≤F(mi−){\displaystyle f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)}de modo queyd<F(d+)≤F(mi−)<ymi.{\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.} Si por otro ladoF↘{\displaystyle f\searrow }entoncesd<mi{\displaystyle d<e}implicaF(d+)≥F(mi−){\displaystyle f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)}de modo queyd>F(d+)≥F(mi−)>ymi.{\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.} De cualquier manera,yd≠ymi.{\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}

Así, cadad∈D{\displaystyle d\in D}está asociado con un número racional único (dicho de otra manera, el mapaD→Q{\displaystyle D\to \mathbb {Q} }definido pord↦yd{\displaystyle d\mapsto y_{d}}es inyectivo ). Dado queQ{\displaystyle \mathbb {Q} }es contable, lo mismo debe ser cierto deD.{\displaystyle D.}◼{\displaystyle \blacksquare }

Prueba del caso general

Supongamos que el dominio deF{\displaystyle f}(una función monótona de valores reales) es igual a la unión de una cantidad numerable de intervalos cerrados y acotados; digamos que su dominio es⋃norte[anorte,bnorte]{\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}(no se imponen requisitos a estos intervalos cerrados y acotados [ a ] ​​). Del caso especial demostrado anteriormente se deduce que para cada índicenorte,{\displaystyle n,}la restricciónF|[anorte,bnorte]:[anorte,bnorte]→R{\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R} }deF{\displaystyle f}al intervalo[anorte,bnorte]{\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}tiene como máximo una cantidad numerable de discontinuidades; denotemos este conjunto (numerable) de discontinuidades porDnorte.{\displaystyle D_{n}.} SiF{\displaystyle f}tiene una discontinuidad en un puntoincógnita0∈⋃norte[anorte,bnorte]{\displaystyle x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}en su dominio entonces oincógnita0{\displaystyle x_{0}}es igual a un punto final de uno de estos intervalos (es decir,incógnita0∈{a1,b1,a2,b2,…}{\displaystyle x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}}) o bien existe algún índicenorte{\displaystyle n}de tal manera queanorte<incógnita0<bnorte,{\displaystyle a_{n}<x_{0}<b_{n},}en cuyo casoincógnita0{\displaystyle x_{0}}debe ser un punto de discontinuidad paraF|[anorte,bnorte]{\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}}(eso es,incógnita0∈Dnorte{\displaystyle x_{0}\in D_{n}}). Por lo tanto, el conjuntoD{\displaystyle D}de todos los puntos de en los queF{\displaystyle f}es discontinuo es un subconjunto de{a1,b1,a2,b2,…}∪⋃norteDnorte,{\displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},}que es un conjunto numerable (porque es una unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables) de modo que su subconjuntoD{\displaystyle D}También debe ser contable (porque todo subconjunto de un conjunto contable es contable).

En particular, debido a que cada intervalo (incluidos los intervalos abiertos y los intervalos semiabiertos/cerrados) de números reales puede escribirse como una unión numerable de intervalos cerrados y acotados, se deduce que cualquier función monótona de valor real definida en un intervalo tiene como máximo una cantidad numerable de discontinuidades.

Para concretar este argumento, supongamos que el dominio deF{\displaystyle f}es un intervaloI{\displaystyle I}que no es cerrado ni acotado (y por lo tanto, según el teorema de Heine-Borel, no es compacto ). Entonces el intervalo puede escribirse como una unión numerable de intervalos cerrados y acotados.Inorte{\displaystyle I_{n}}con la propiedad de que cualesquiera dos intervalos consecutivos tienen un punto final en común:I=∪norte=1∞Inorte.{\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.} SiI=(a,b] con a≥−∞{\displaystyle I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty }entoncesI1=[α1,b], I2=[α2,α1],…,Inorte=[αnorte,αnorte−1],…{\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }dónde(αnorte)norte=1∞{\displaystyle \left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}es una sucesión estrictamente decreciente tal queαnorte→a.{\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}De manera similar siI=[a,b), con b≤+∞{\displaystyle I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty }o siI=(a,b) con −∞≤a<b≤∞.{\displaystyle I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .} En cualquier intervaloInorte,{\displaystyle I_{n},}Hay como máximo una cantidad numerable de puntos de discontinuidad, y dado que una unión numerable de como máximo conjuntos numerables es como máximo numerable, se deduce que el conjunto de todas las discontinuidades es como máximo numerable. ◼{\displaystyle \blacksquare }

Funciones de salto

Ejemplos. Sea x 1 < x 2 < x 3 < ⋅⋅⋅ un subconjunto numerable del intervalo compacto [ a , b ] y sea μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... una sucesión positiva con suma finita. Sea

F(incógnita)=∑norte=1∞μnorteχ[incógnitanorte,b](incógnita){\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)}

donde χ A denota la función característica de un intervalo compacto A. Entonces f es una función no decreciente en [ a , b ], que es continua excepto por discontinuidades de salto en x n para n ≥ 1. En el caso de un número finito de discontinuidades de salto, f es una función escalón . Los ejemplos anteriores son funciones escalón generalizadas; son casos muy especiales de lo que se denomina funciones de salto o funciones saltus. [ 8 ] [ 9 ]

En términos más generales, el análisis de funciones monótonas ha sido estudiado por numerosos matemáticos, desde Abel, Jordan y Darboux. Siguiendo a Riesz y Sz.-Nagy (1990) , y reemplazando una función por su negativa si es necesario, solo se debe considerar el caso de funciones no negativas y no decrecientes. El dominio [ a , b ] puede ser finito o tener extremos infinitos o infinitos.

La tarea principal consiste en construir funciones monótonas —generalizando las funciones escalonadas— con discontinuidades en un conjunto numerable dado de puntos y con discontinuidades izquierda y derecha prescritas en cada uno de estos puntos. Sea x n ( n ≥ 1) un punto en ( a , b ) y tomemos λ 1 , λ 2 , λ 3 , ... y μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... no negativos con suma finita y con λ n + μ n > 0 para cada n . Definir

Fnorte(incógnita)=0{\displaystyle f_{n}(x)=0\,\,}paraincógnita<incógnitanorte,Fnorte(incógnitanorte)=λnorte,Fnorte(incógnita)=λnorte+μnorte{\displaystyle \,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,}paraincógnita>incógnitanorte.{\displaystyle \,\,x>x_{n}.}

Luego, la función de salto , o función saltus , definida por

F(incógnita)=∑norte=1∞Fnorte(incógnita)=∑incógnitanorte≤incógnitaλnorte+∑incógnitanorte<incógnitaμnorte,{\displaystyle f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},}

es no decreciente en [ a , b ] y es continua excepto por discontinuidades de salto en x n para n ≥ 1. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

Para demostrar esto, observe que sup | f n | = λ n + μ n , de modo que Σ f n converge uniformemente a f . Pasando al límite, se deduce que

F(incógnitanorte)−F(incógnitanorte−0)=λnorte,F(incógnitanorte+0)−F(incógnitanorte)=μnorte,{\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,}yF(incógnita±0)=F(incógnita){\displaystyle \,\,f(x\pm 0)=f(x)}

si x no es uno de los x n 's. [ 10 ]

Por el contrario, según un teorema de diferenciación de Lebesgue , la función de salto f está determinada de forma única por las propiedades: [ 14 ] (1) ser no decreciente y no positiva; (2) tener datos de salto dados en sus puntos de discontinuidad x n ; (3) satisfacer la condición de contorno f ( a ) = 0; y (4) tener derivada cero casi en todas partes .

Como se explica en Riesz y Sz.-Nagy (1990) , toda función no decreciente y no negativa F puede descomponerse de forma única como suma de una función de salto f y una función monótona continua g : la función de salto f se construye utilizando los datos de salto de la función monótona original F y es fácil comprobar que g = F − f es continua y monótona. [ 10 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Por ejemplo, estos intervalos no tienen por qué ser disjuntos dos a dos ni es necesario que se intersequen solo en los extremos. Incluso es posible que[anorte,bnorte]⊆[anorte+1,bnorte+1]{\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]}a pesar denorte{\displaystyle n}

Referencias

  1. ^ Froda, Alexandre (3 de diciembre de 1929). Sur la Distribution des propriétés de voisinage desfunctions de variables réelles (PDF) (Tesis). París: Hermann. JFM 55.0742.02 . 
  2. ↑ Jean Gaston Darboux , Mémoire sur les fonctions discontinus , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2-ème série, t. IV, 1875, Capítulo VI.
  3. ^ Nicolescu, Dinculeanu y Marcus 1971 , pág.213. 
  4. ↑ Rudin 1964 , Def. 4.26, pp. 81–82.
  5. ↑ Rudin 1964 , Corolario, pág. 83.
  6. ↑ Apostol 1957 , págs. 162–3.
  7. ↑ Hobson 1907 , pág. 245.
  8. ↑ Apóstol 1957 .
  9. ↑ Riesz y Sz.-Nagy 1990 .
  10. ^ Riesz y Sz. - Nagy 1990 , págs. 13-15 . 
  11. ↑ Saks 1937 .
  12. ↑ Natanson 1955 .
  13. ↑ Łojasiewicz 1988 .
  14. ↑ Para más detalles, consulte
  15. ↑ Burkill 1951 , págs. 10-11.
  16. 1 2 3 Rublo 1963
  17. 1 2 3 Komornik 2016
  18. ↑ Este es un ejemplo sencillo de cómo se aplica la dimensión de recubrimiento de Lebesgue en una dimensión real; véase, por ejemplo, Edgar (2008) .

Bibliografía

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