G 2 (matemáticas)

En matemáticas , G ₂ son tres grupos de Lie simples (una forma compleja, una forma real compacta y una forma real escindida), sus álgebras de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},}$así como algunos grupos algebraicos . Son los más pequeños de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . G ₂ tiene rango 2 y dimensión 14. Tiene dos representaciones fundamentales , con dimensión 7 y 14.

La forma compacta de G ₂ puede describirse como el grupo de automorfismos del álgebra de octoniones o, equivalentemente, como el subgrupo de SO(7) que preserva cualquier vector particular elegido en su representación espinorial real de 8 dimensiones (una representación de espín ).

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$, al ser el álgebra de Lie simple excepcional más pequeña, fue la primera de estas en ser descubierta en el intento de clasificar las álgebras de Lie simples. El 23 de mayo de 1887, Wilhelm Killing escribió una carta a Friedrich Engel diciendo que había encontrado un álgebra de Lie simple de 14 dimensiones, que ahora llamamos${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$. ^{[ 1 ]}

En 1893, Élie Cartan publicó una nota que describía un conjunto abierto en${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$equipado con una distribución bidimensional —es decir, un campo de variación suave de subespacios bidimensionales del espacio tangente— para el cual el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$aparece como las simetrías infinitesimales. ^{[ 2 ]} En el mismo año, en la misma revista, Engel notó lo mismo. Más tarde se descubrió que la distribución bidimensional está estrechamente relacionada con una bola rodando sobre otra bola. El espacio de configuraciones de la bola rodante es pentadimensional, con una distribución bidimensional que describe los movimientos de la bola donde rueda sin deslizarse ni girar. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En 1900, Engel descubrió que una forma trilineal antisimétrica genérica (o 3-forma) en un espacio vectorial complejo de 7 dimensiones se conserva mediante un grupo isomorfo a la forma compleja de G ₂ . ^{[ 5 ]}

En 1908, Cartan mencionó que el grupo de automorfismos de los octoniones es un grupo de Lie simple de 14 dimensiones. ^{[ 6 ]} En 1914 afirmó que esta es la forma real compacta de G ₂ . ^{[ 7 ]}

En libros y artículos más antiguos, G ₂ a veces se denota por E ₂ .

Existen 3 álgebras de Lie reales simples asociadas a este sistema de raíces:

• El álgebra de Lie real subyacente del álgebra de Lie compleja G ₂ tiene dimensión 28. Posee conjugación compleja como automorfismo exterior y es simplemente conexa. El subgrupo compacto maximal de su grupo asociado es la forma compacta de G ₂ .
• El álgebra de Lie de la forma compacta es de 14 dimensiones. El grupo de Lie asociado no tiene automorfismos externos, ni centro, y es simplemente conexo y compacto.
• El álgebra de Lie de la forma no compacta (dividida) tiene dimensión 14. El grupo de Lie simple asociado tiene un grupo fundamental de orden 2 y su grupo de automorfismos externos es el grupo trivial. Su subgrupo compacto maximal es SU(2) × SU(2)/(−1,−1) . Posee una cubierta doble no algebraica que es simplemente conexa.

G ₂ es el grupo de automorfismos de los siguientes dos polinomios en 7 variables no conmutativas.

${\displaystyle C_{1}=t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle C_{2}=tuv+wtx+ywu+zyt+vzw+xvy+uxz}$(± permutaciones)

que proviene del álgebra de octoniones. Las variables deben ser no conmutativas, de lo contrario el segundo polinomio sería idénticamente cero.

Al agregar una representación de los 14 generadores con coeficientes A ,  ..., N se obtiene la matriz: 

${\displaystyle A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}={\begin{bmatrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-EL\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{bmatrix}}}$

Es exactamente el álgebra de Lie del grupo

${\displaystyle G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}}$

Hay 480 representaciones diferentes de${\displaystyle G_{2}}$correspondientes a las 480 representaciones de octoniones. La forma calibrada,${\displaystyle \varphi }$tiene 30 formas diferentes y cada una tiene 16 variaciones con signo diferentes. Cada una de las variaciones con signo genera diferencias con signo de${\displaystyle G_{2}}$y cada uno es un automorfismo de los 16 octoniones correspondientes. Por lo tanto, en realidad solo hay 30 representaciones diferentes de${\displaystyle G_{2}}$Todos estos se pueden construir con álgebra de Clifford ^{[ 8 ]} utilizando una forma invertible .${\displaystyle 3e_{1234567}\pm \varphi }$para octoniones. Para otras variaciones con signo de${\displaystyle \varphi }$, esta forma tiene restos que clasifican otras 6 álgebras no asociativas que muestran parcialidad${\displaystyle G_{2}}$simetría. Una calibración análoga en${\displaystyle \mathrm {Girar} (15)}$conduce a sedeniones y al menos a otras 11 álgebras relacionadas.

Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y los grupos de Lie vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreducibles más pequeñas son (secuencia A104599 en la OEIS ) :

1, 7, 14, 27, 64, 77 (dos veces), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (dos veces), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (dos veces), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090....

La representación de 14 dimensiones es la representación adjunta , y la de 7 dimensiones es la acción de G ₂ sobre los octoniones imaginarios.

Hay dos representaciones irreducibles no isomorfas de dimensiones 77, 2079, 4928, 30107, etc. Las representaciones fundamentales son aquellas con dimensiones 14 y 7 (que corresponden a los dos nodos en el diagrama de Dynkin en el orden tal que la triple flecha apunta del primero al segundo).

Vogan (1994) describió las representaciones irreducibles unitarias (de dimensión infinita) de la forma real escindida de G ₂ .

Las incrustaciones de los subgrupos máximos de G ₂ hasta la dimensión 77 se muestran a la derecha.

El grupo G ₂ ( q ) son los puntos del grupo algebraico G ₂ sobre el cuerpo finito F _q . Estos grupos finitos fueron introducidos por primera vez por Leonard Eugene Dickson en Dickson (1901) para q impar y Dickson (1905) para q par . El orden de G ₂ ( q ) es q ⁶ ( q ⁶ − 1)( q ² − 1) . Cuando q ≠ 2 , el grupo es simple , y cuando q = 2 , tiene un subgrupo simple de índice 2 isomorfo a ² A ₂ (3 ² ), y es el grupo de automorfismos de un orden máximo de los octoniones. El grupo de Janko J ₁ fue construido por primera vez como un subgrupo de G ₂ (11). Ree (1960) introdujo grupos de Ree retorcidos ² G ₂ ( q ) de orden q ³ ( q ³ + 1)( q − 1) para q = 3 ^{2 n +1} , una potencia impar de 3.

• Matriz de Cartan
• Diagrama de Dynkin
• Álgebra de Jordan excepcional
• Representación fundamental
• Estructura G2_​
• Grupo de mentiras
• Producto cruzado de siete dimensiones
• Grupo Simple Lie
• Estrella de David

• Adams, J. Frank (1996), Lectures on exceptional Lie groups , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422 
• Baez, John (2002), "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc. , 39 (2): 145– 205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512 .

Consulte la sección 4.1: G ₂ ; una versión HTML en línea está disponible en http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .

• Bryant, Robert (1987), "Métricas con holonomía excepcional", Annals of Mathematics , 2, 126 (3): 525– 576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 
• Dickson, Leonard Eugene (1901), "Teoría de grupos lineales en un campo arbitrario", Transactions of the American Mathematical Society , 2 (4), Providence, RI: American Mathematical Society : 363–394 , doi : 10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986251 , Reimpreso en el volumen II de sus trabajos recopilados.  Leonard E. Dickson informó de grupos de tipo G ₂ en campos de características extrañas.
• Dickson, LE (1905), "Un nuevo sistema de grupos simples" , Math. Ann. , 60 : 137–150 , doi : 10.1007/BF01447497 , S2CID 179178145 Leonard E. Dickson informó de grupos de tipo G ₂ en campos de características uniformes.
• Ree, Rimhak (1960), "Una familia de grupos simples asociados con el álgebra de Lie simple de tipo (G ₂ )", Bulletin of the American Mathematical Society , 66 (6): 508– 510, doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X , ISSN 0002-9904 , MR 0125155  
• Vogan, David A. Jr. (1994), "El dual unitario de G ₂ ", Inventiones Mathematicae , 116 (1): 677– 791, Bibcode : 1994InMat.116..677V , doi : 10.1007/BF01231578 , ISSN 0020-9910 , MR 1253210 , S2CID 120845135