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método de Galerkin

En matemáticas , en el área del análisis numérico , los métodos de Galerkin son una familia de métodos para convertir un problema de operador continuo, como una ecuación diferen...

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En matemáticas , en el área del análisis numérico , los métodos de Galerkin son una familia de métodos para convertir un problema de operador continuo, como una ecuación diferencial , generalmente en una formulación débil , en un problema discreto mediante la aplicación de restricciones lineales determinadas por conjuntos finitos de funciones base. Reciben su nombre del matemático soviético Boris Galerkin .

A menudo, al referirse a un método de Galerkin, también se indica su nombre junto con las suposiciones típicas y los métodos de aproximación utilizados:

Ejemplos de métodos de Galerkin son:

Ecuación lineal en un espacio de Hilbert

Formulación débil de una ecuación lineal

Introduzcamos el método de Galerkin con un problema abstracto planteado como una formulación débil en un espacio de Hilbert.V{\displaystyle V}, es decir,

encontrartú∈V{\displaystyle u\in V}de tal manera que para todosv∈V:a(tú,v)=F(v){\displaystyle v\en V:a(u,v)=f(v)}.

Aquí,a(⋅,⋅){\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}es una forma bilineal (los requisitos exactos ena(⋅,⋅){\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}se especificará más adelante) yF{\displaystyle f}es un funcional lineal acotado enV{\displaystyle V}.

Reducción de dimensión de Galerkin

Elija un subespacioVnorte⊂V{\displaystyle V_{n}\subconjunto V}de dimensión n y resolver el problema proyectado:

Encontrartúnorte∈Vnorte{\displaystyle u_{n}\in V_{n}}de tal manera que para todosvnorte∈Vnorte,a(túnorte,vnorte)=F(vnorte){\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}.

A esto lo llamamos la ecuación de Galerkin . Nótese que la ecuación ha permanecido inalterada y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamentetúnorte{\displaystyle u_{n}}como una combinación lineal finita de los vectores base enVnorte{\displaystyle V_{n}}.

ortogonalidad de Galerkin

La propiedad clave del método de Galerkin es que el error es ortogonal a los subespacios elegidos. Dado que Vnorte⊂V{\displaystyle V_{n}\subconjunto V}, podemos usarvnorte{\displaystyle v_{n}}como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación de ortogonalidad de Galerkin para el error,ϵnorte=tú−túnorte{\displaystyle \epsilon _ {n} = u-u_ {n}}que es el error entre la solución del problema original,tú{\displaystyle u}y la solución de la ecuación de Galerkin,túnorte{\displaystyle u_{n}}

a(ϵnorte,vnorte)=a(tú,vnorte)−a(túnorte,vnorte)=F(vnorte)−F(vnorte)=0.{\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}

Forma matricial de la ecuación de Galerkin

Dado que el objetivo del método de Galerkin es la producción de un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que puede utilizarse para calcular la solución algorítmicamente.

Dejarmi1,mi2,…,minorte{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}ser una base paraVnorte{\displaystyle V_{n}}. Entonces, basta con utilizarlos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrartúnorte∈Vnorte{\displaystyle u_{n}\in V_{n}}de tal manera que

a(túnorte,mii)=F(mii)i=1,…,norte.{\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}

Nos expandimostúnorte{\displaystyle u_{n}}con respecto a esta base,túnorte=∑j=1nortetújmij{\displaystyle u_{n}=\sum _ {j=1}^{n}u_ {j}e_ {j}}e insértelo en la ecuación anterior para obtener

a(∑j=1nortetújmij,mii)=∑j=1nortetúja(mij,mii)=F(mii)i=1,…,norte.{\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}

Esta ecuación anterior es en realidad un sistema de ecuaciones lineales.Atú=F{\displaystyle Au=f}, dónde

Aij=a(mij,mii),Fi=F(mii).{\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}

Simetría de la matriz

Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz de la ecuación de Galerkin es simétrica si y solo si la forma bilineala(⋅,⋅){\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}es simétrico.

Análisis de los métodos de Galerkin

Aquí, nos restringiremos a formas bilineales simétricas , es decir

a(tú,v)=a(v,tú).{\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}

Si bien esto no constituye una limitación de los métodos de Galerkin, la aplicación de la teoría estándar se simplifica considerablemente. Además, en el caso no simétrico, puede ser necesario un método de Petrov-Galerkin .

El análisis de estos métodos se desarrolla en dos etapas. Primero, demostraremos que la ecuación de Galerkin es un problema bien planteado en el sentido de Hadamard y, por lo tanto, admite una solución única. En la segunda etapa, estudiaremos la calidad de la aproximación de la solución de Galerkin.túnorte{\displaystyle u_{n}}.

El análisis se basará principalmente en dos propiedades de la forma bilineal , a saber:

  • Limitación: para todostú,v∈V{\displaystyle u,v\in V}sostiene
    a(tú,v)≤do‖tú‖‖v‖{\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}por alguna constantedo>0{\displaystyle C>0}
  • Elipticidad: para todostú∈V{\displaystyle u\in V}sostiene
    a(tú,tú)≥do‖tú‖2{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}por alguna constantedo>0.{\displaystyle c>0.}

Según el teorema de Lax-Milgram (véase la formulación débil ), estas dos condiciones implican que el problema original está bien planteado en su formulación débil. Todas las normas que se presentarán en las secciones siguientes serán normas para las que se cumplen las desigualdades anteriores (estas normas suelen denominarse normas de energía).

Buena formulación de la ecuación de Galerkin

DesdeVnorte⊂V{\displaystyle V_{n}\subconjunto V}, la acotación y la elipticidad de la forma bilineal se aplican aVnorte{\displaystyle V_{n}}Por lo tanto, la buena formulación del problema de Galerkin se hereda de la buena formulación del problema original.

Casi mejor aproximación (lema de Céa)

El errortú−túnorte{\displaystyle u-u_{n}}Entre la solución original y la solución de Galerkin se admite la estimación

‖tú−túnorte‖≤dodoinfvnorte∈Vnorte‖tú−vnorte‖.{\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}

Esto significa que hasta la constantedo/do{\displaystyle C/c}la solución de Galerkintúnorte{\displaystyle u_{n}} es lo más cercano a la solución originaltú{\displaystyle u}como cualquier otro vector enVnorte{\displaystyle V_{n}}. En particular, bastará con estudiar la aproximación por espaciosVnorte{\displaystyle V_{n}}, olvidándose por completo de que la ecuación se estaba resolviendo.

Prueba

Dado que la demostración es muy simple y constituye el principio básico de todos los métodos de Galerkin, la incluimos aquí: por la elipticidad y la acotación de la forma bilineal (desigualdades) y la ortogonalidad de Galerkin (signo de igualdad en el medio), tenemos para arbitrariovnorte∈Vnorte{\ Displaystyle v_ {n} \ en V_ {n}}:

do‖tú−túnorte‖2≤a(tú−túnorte,tú−túnorte)=a(tú−túnorte,tú−vnorte)≤do‖tú−túnorte‖‖tú−vnorte‖.{\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}

Dividiendo pordo‖tú−túnorte‖{\displaystyle c\|u-u_{n}\|}y tomando el ínfimo sobre todos los posiblesvnorte{\displaystyle v_{n}}produce el lema.

Propiedad de mejor aproximación de Galerkin en la norma de energía

Para simplificar la presentación en la sección anterior, hemos asumido que la forma bilineala(tú,v){\displaystyle a(u,v)}es simétrica y definida positiva, lo que implica que es un producto escalar y la expresión‖tú‖a=a(tú,tú){\textstyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}En realidad, se trata de una norma vectorial válida, denominada norma de energía . Bajo estas suposiciones, se puede demostrar fácilmente, además, la propiedad de mejor aproximación de Galerkin en la norma de energía.

Utilizando la ortogonalidad a de Galerkin y la desigualdad de Cauchy-Schwarz para la norma de energía, obtenemos

‖tú−túnorte‖a2=a(tú−túnorte,tú−túnorte)=a(tú−túnorte,tú−vnorte)≤‖tú−túnorte‖a‖tú−vnorte‖a.{\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}

Dividiendo por‖tú−túnorte‖a{\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}y tomando el ínfimo sobre todos los posiblesvnorte∈Vnorte{\ Displaystyle v_ {n} \ en V_ {n}}demuestra que la aproximación de Galerkintúnorte∈Vnorte{\displaystyle u_{n}\in V_{n}}es la mejor aproximación en la norma de energía dentro del subespacioVnorte⊂V{\displaystyle V_{n}\subconjunto V}, es decirtúnorte∈Vnorte{\displaystyle u_{n}\in V_{n}}no es más que la ortogonal, con respecto al producto escalar.a(tú,v){\displaystyle a(u,v)}, proyección de la solucióntú{\displaystyle u}al subespacioVnorte{\displaystyle V_{n}}.

Método de Galerkin para estructuras escalonadas

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan y JN Reddy [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] estudiaron la aplicación del método de Galerkin a estructuras escalonadas. Demostraron que la función generalizada, a saber, la función escalón unitario, la función delta de Dirac y la función doblete, son necesarias para obtener resultados precisos.

Historia

El enfoque se atribuye generalmente a Boris Galerkin . [ 10 ] [ 11 ] El método fue explicado al lector occidental por Hencky [ 12 ] y Duncan [ 13 ] [ 14 ] entre otros. Su convergencia fue estudiada por Mikhlin [ 15 ] y Leipholz [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Su coincidencia con el método de Fourier fue ilustrada por Elishakoff et al. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] Su equivalencia con el método de Ritz para problemas conservativos fue demostrada por Singer. [ 23 ] Gander y Wanner [ 24 ] mostraron cómo los métodos de Ritz y Galerkin condujeron al método moderno de elementos finitos. Cien años de desarrollo del método fueron analizados por Repin. [ 25 ] Elishakoff, Kaplunov y Kaplunov [ 26 ] muestran que el método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a las afirmaciones de Timoshenko.

Véase también

Referencias

  1. ↑ A. Ern, JL Guermond, Teoría y práctica de los elementos finitos , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
  2. ↑ "Georgii Ivanovich Petrov (en su centenario)", Dinámica de Fluidos, mayo de 2012, volumen 47, número 3, págs. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015
  3. ↑ S. Brenner, RL Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods , 2.ª edición, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
  4. ↑ PG Ciarlet , El método de elementos finitos para problemas elípticos , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7
  5. ↑ Y. Saad , Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos , 2.ª edición, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
  6. ↑ Elishakoff, I., Amato, M., Ankitha, AP, & Marzani, A. (2021). La implementación rigurosa del método de Galerkin para estructuras escalonadas requiere funciones generalizadas. Journal of Sound and Vibration, 490, 115708.
  7. ↑ Elishakoff, I., Amato, M., & Marzani, A. (2021). El método de Galerkin revisado y corregido en el problema de Jaworsky y Dowell. Mechanical Systems and Signal Processing, 155, 107604.
  8. ↑ Elishakoff, I., & Amato, M. (2021). Aleteo de una viga en flujo supersónico: la versión truncada de la ecuación de Timoshenko-Ehrenfest es suficiente. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 1-17.
  9. ↑ Amato, M., Elishakoff, I., & Reddy, JN (2021). Flutter of a Multicomponent Beam in a Supersonic Flow. AIAA Journal, 59(11), 4342-4353.
  10. ↑ Galerkin, BG, 1915, Varillas y placas, Serie que aparece en varias cuestiones relativas al equilibrio elástico de varillas y placas, Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Boletín de ingenieros y tecnólogos), Vol. 19, 897-908 (en ruso), (Traducción al inglés: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info. 1963).
  11. ^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Jean-Claude Pont, editor), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
  12. ^ Hencky H., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 7, 80-81 (en alemán).
  13. ↑ Duncan, WJ, 1937, Método de Galerkin en mecánica y ecuaciones diferenciales, Informes y memorandos del Comité de Investigación Aeronáutica, n.° 1798.
  14. ↑ Duncan, WJ, 1938, Los principios del método Galerkin, Informe y memorandos de investigación aeronáutica, n.° 1894.
  15. ↑ SG Mikhlin, "Métodos variacionales en física matemática", Pergamon Press, 1964
  16. ↑ Leipholz HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, Shock and Vibration Digest, vol. 8, 3-18
  17. ↑ Leipholz HHE, 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchführung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., vol. 3, 295-317 (en alemán).
  18. ↑ Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arco., vol. 36, 251-261 (en alemán).
  19. ↑ Leipholz, HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
  20. ↑ Elishakoff, I., Lee, LHN, 1986, Sobre la equivalencia de los métodos de series de Galerkin y Fourier para una clase de problemas, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174-177.
  21. ↑ Elishakoff, I., Zingales, M., 2003, Coincidencia de Bubnov-Galerkin y solución exacta en un problema de mecánica aplicada, Journal of Applied Mechanics, Vol. 70, 777-779.
  22. ↑ Elishakoff, I., Zingales M., 2004, Convergencia del método de Bubnov-Galerkin ejemplificada, AIAA Journal, Vol. 42(9), 1931-1933.
  23. ↑ Singer J., 1962, Sobre la equivalencia de los métodos de Galerkin y Rayleigh-Ritz, Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 66, No. 621, p.592.
  24. ↑ Gander, MJ, Wanner, G., 2012, De Euler, Ritz y Galerkin a la computación moderna, SIAM Review, Vol. 54(4), 627-666.
  25. ↑ ] Repin, S., 2017, Cien años del método Galerkin, Métodos computacionales y matemáticas aplicadas, vol. 17(3), 351-357.
  26. ↑ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, “El método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a la afirmación de Timoshenko”, en Dinámica no lineal de sistemas discretos y continuos (A. Abramyan, I. Andrianov y V. Gaiko, eds.), págs. 63-82, Springer, Berlín.
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