Matrices Gamma

El álgebra de Clifford en dimensiones impares se comporta como dos copias del álgebra de Clifford de una dimensión menos, una copia izquierda y una copia derecha. ^{[ 3 ] : 68} Por lo tanto, se puede emplear un pequeño truco para reutilizar i γ ⁵ como uno de los generadores del álgebra de Clifford en cinco dimensiones. En este caso, el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } por lo tanto, por las dos últimas propiedades (teniendo en cuenta que i ² ≡ −1 ) y las de las gammas 'antiguas', forma la base del álgebra de Clifford en 5  dimensiones espaciotemporales para la signatura métrica (1,4) . ^{[ a ]}  ​​. ^{[ 4 ] : 97} En la signatura métrica (4,1) , se utiliza el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , donde los γ ^μ son los apropiados para la signatura (3,1) . ^{[ 5 ]} Este patrón se repite para la dimensión espaciotemporal 2 n par y la siguiente dimensión impar 2 n + 1 para todo n ≥ 1 . ^{[ 6 ] : 457} Para más detalles, véase matrices gamma de dimensiones superiores .

1.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6.${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$dónde${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

Las matrices gamma obedecen las siguientes identidades de traza :

Para demostrar lo anterior se requiere el uso de tres propiedades principales del operador traza :

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\cdot \operatorname {tr} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BCA)=\operatorname {tr} (CAB)}$

Las matrices gamma pueden elegirse con condiciones de hermiticidad adicionales que, sin embargo, están restringidas por las relaciones de anticonmutación anteriores. Podemos imponer

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, compatible con${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

y para las demás matrices gamma (para k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, compatible con${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Se comprueba inmediatamente que estas relaciones de hermiticidad se cumplen para la representación de Dirac.

Las condiciones anteriores se pueden combinar en la relación

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$de una transformación de Lorentz${\displaystyle \Lambda }$porque${\displaystyle S(\Lambda )}$no es necesariamente una transformación unitaria debido a la no compacidad del grupo de Lorentz.

El operador de conjugación de carga , en cualquier base, puede definirse como

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

dónde${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$denota la transpuesta de la matriz . La forma explícita que${\displaystyle C}$El valor de `takes` depende de la representación específica elegida para las matrices gamma, salvo un factor de fase arbitrario. Esto se debe a que, si bien la conjugación de carga es un automorfismo del grupo gamma , no es un automorfismo interno (del grupo). Se pueden encontrar matrices conjugadas, pero dependen de la representación.

Las identidades independientes de la representación incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

El operador de conjugación de carga también es unitario.${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$, mientras que para${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$También sostiene que${\displaystyle C^{\textsf {T}}=-C}$para cualquier representación. Dada una representación de matrices gamma, el factor de fase arbitrario para el operador de conjugación de carga no siempre puede elegirse de tal manera que${\displaystyle C^{\dagger }=C^{\textsf {T}}}$, como es el caso de las cuatro representaciones comunes que se dan a continuación, conocidas como representación de Dirac, quiral y de Majorana.

La notación de barra de Feynman se define por

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

para cualquier vector de 4 dimensiones${\displaystyle a}$.

Aquí hay algunas identidades similares a las anteriores, pero que involucran la notación de barra inclinada:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b\right]I_{4}-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^{[ 7 ]}

  dónde${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$es el símbolo de Levi-Civita y${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$En realidad, trazas de productos de número impar de${\displaystyle \ \gamma \ }$es cero y por lo tanto

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$para n impar. ^{[ 8 ]}

Muchos se derivan directamente de expandir la notación de barra y contraer expresiones de la forma${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$con la identidad apropiada en términos de matrices gamma.

Las matrices gamma que hemos escrito hasta ahora son apropiadas para actuar sobre espinores de Dirac escritos en la base de Dirac ; de hecho, la base de Dirac se define mediante estas matrices. En resumen, en la base de Dirac:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

o utilizando el producto Kronecker :

${\displaystyle \gamma ^{0}=(\sigma ^{3}\otimes I_{2}),\quad \gamma ^{k}=(i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{k}),\quad \gamma ^{5}=(\sigma ^{1}\otimes I_{2})~.}$

En la base de Dirac, el operador de conjugación de carga es antisimétrico real, ^{[ 9 ] : 691–700}

${\displaystyle C_{D}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

Otra opción común es la base de Weyl o quiral , en la que${\displaystyle \gamma ^{k}}$sigue siendo lo mismo pero${\displaystyle \gamma ^{0}}$es diferente, y por lo tanto${\displaystyle \gamma ^{5}}$también es diferente y diagonal,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

o en notación más compacta:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

La base de Weyl tiene la ventaja de que sus proyecciones quirales adoptan una forma simple,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

Se manifiesta la idempotencia de las proyecciones quirales.

Al abusar ligeramente de la notación y reutilizar los símbolos${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$Entonces podemos identificar

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

¿Dónde ahora?${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$y${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$son espinores de Weyl de dos componentes, zurdos y diestros.

El operador de conjugación de carga en esta base es antisimétrico real,

${\displaystyle C_{W}=UC_{D}U^{\text{T}}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

La base de Weyl se puede obtener a partir de la base de Dirac como

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

mediante la transformación unitaria

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Otra posible elección ^{[ 10 ]} de la base de Weyl tiene

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Las proyecciones quirales adoptan una forma ligeramente diferente a la de la otra opción de Weyl,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$y${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$son los espinores de Weyl de dos componentes, zurdos y diestros, como antes.

El operador de conjugación de carga en esta base es

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

Esta base se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior como${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$mediante la transformación unitaria

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

También existe la base de Majorana , en la que todas las matrices de Dirac son imaginarias, y los espinores y la ecuación de Dirac son reales. Usando las matrices de Pauli , la base se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle C}$es la matriz de conjugación de carga, que coincide con la versión de Dirac definida anteriormente.

La razón para hacer imaginarias todas las matrices gamma es únicamente para obtener la métrica de la física de partículas (+, −, −, −) , en la que las masas al cuadrado son positivas. Sin embargo, la representación de Majorana es real. Se puede factorizar la${\displaystyle \ i\ }$para obtener una representación diferente con cuatro espinores reales componentes y matrices gamma reales. La consecuencia de eliminar la${\displaystyle \ i\ }$es que la única métrica posible con matrices gamma reales es (−, +, +, +) .

La base de Majorana se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior como${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$mediante la transformación unitaria

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejización del álgebra real Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$), llamada álgebra del espacio-tiempo :

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) difiere de Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {C} }$): en Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) Solo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos.

Dos cosas merecen ser señaladas. Como álgebras de Clifford , Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {C} }$) y Cl ₄ (${\displaystyle \mathbb {C} }$) son isomorfos, véase la clasificación de las álgebras de Clifford . La razón es que la signatura subyacente de la métrica del espaciotiempo pierde su signatura (1,3) al pasar a la complejización. Sin embargo, la transformación necesaria para llevar la forma bilineal a la forma canónica compleja no es una transformación de Lorentz y, por lo tanto, no es "permisible" (como mínimo, es impráctica) ya que toda la física está estrechamente ligada a la simetría de Lorentz y es preferible mantenerla manifiesta.

Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Argumentan que, en general, es posible (y suele ser esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Dichas unidades surgen de una de las muchas cantidades en un álgebra de Clifford real que, al cuadrado, dan como resultado −1, y tienen significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos defensores también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac. ^{[ 11 ] : x–xi}

En las matemáticas de la geometría riemanniana , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl _p,q (${\displaystyle \mathbb {R} }$) para dimensiones arbitrarias p,q . Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín.${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$. La complejización del grupo de espín, llamado grupo espinc${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$, es un producto${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$del grupo de espín con el círculo${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$El producto${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$simplemente un dispositivo de notación para identificar${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$con${\displaystyle (-a,-u).}$El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo transformaciones de Lorentz, del${\displaystyle U(1)}$componente, que puede identificarse con el${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$fibra de la interacción electromagnética. La${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$está entrelazando la paridad y la conjugación de carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partícula/antipartícula de Dirac (equivalentemente, los estados quirales en la base de Weyl). El espinor de Dirac , en la medida en que tiene componentes izquierda y derecha linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators), que no pueden ( es decir, son eléctricamente neutros), ya que restringen explícitamente el espinor para que no interactúe con el campo electromagnético.${\displaystyle S^{1}}$parte proveniente de la complejización. El espinor ELKO es un espinor de clase 5 de Lounesto. ^{[ 12 ] : 84}

Sin embargo, en la práctica contemporánea de la física, el álgebra de Dirac, en lugar del álgebra espacio-temporal, sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac.

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Observe que los factores de${\displaystyle i}$se han insertado en las matrices gamma espaciales de modo que el álgebra de Clifford euclidiana

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

surgirá. También vale la pena señalar que hay variantes de esto que insertan en su lugar${\displaystyle -i}$en una de las matrices, como en los códigos QCD de red que utilizan la base quiral.

En el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

Utilizando el anticonmutador y observando que en el espacio euclidiano${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$, uno muestra que

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

En base quiral en el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

que no ha sufrido cambios con respecto a su versión de Minkowski.

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$