suma de Gauss

En teoría algebraica de números , una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de la unidad , típicamente

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

donde la suma se realiza sobre elementos r de algún anillo conmutativo finito R , ψ es un homomorfismo de grupo del grupo aditivo R ⁺ en el círculo unitario , y χ es un homomorfismo de grupo del grupo unitario R ^× en el círculo unitario, extendido a r no unitario , donde toma el valor 0. Las sumas de Gauss son los análogos para cuerpos finitos de la función Gamma . ^{[ 1 ]} 

Tales sumas son omnipresentes en la teoría de números . Aparecen, por ejemplo, en las ecuaciones funcionales de las funciones L de Dirichlet , donde para un carácter de Dirichlet χ la ecuación que relaciona L ( s , χ ) y L (1  − s , χ  ) (donde χ es el conjugado complejo de χ ) involucra un factor

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}$

El caso considerado originalmente por Carl Friedrich Gauss fue la suma cuadrática de Gauss , donde R es el cuerpo de residuos módulo un número primo p , y χ es el símbolo de Legendre . En este caso, Gauss demostró que ^{G(χ) = p¹/² o ip¹/²} para p congruente con 1 ^{o 3} módulo 4 ^{respectivamente (} la suma cuadrática de Gauss también puede evaluarse mediante análisis de Fourier ^, así como mediante integración de contorno ).

Una forma alternativa para esta suma de Gauss es

${\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}$.

Las sumas cuadráticas de Gauss están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones theta .

La teoría general de las sumas de Gauss se desarrolló a principios del siglo XIX, utilizando sumas de Jacobi y su descomposición en números primos en cuerpos ciclotómicos . Las sumas de Gauss sobre un anillo residual de enteros módulo N son combinaciones lineales de sumas estrechamente relacionadas llamadas períodos gaussianos .

El valor absoluto de las sumas de Gauss se suele hallar como una aplicación del teorema de Plancherel sobre grupos finitos. En el caso de que R sea un cuerpo de p elementos y χ sea no trivial, el valor absoluto es p ^{1 ⁄ 2} . La determinación del valor exacto de las sumas de Gauss generales, siguiendo el resultado de Gauss sobre el caso cuadrático, es un problema de larga data. Para algunos casos, véase la suma de Kummer .

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo N es

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

Si χ también es primitivo , entonces

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

En particular, es distinto de cero. De forma más general, si N ₀ es el conductor de χ y χ ₀ es el carácter de Dirichlet primitivo módulo N ₀ que induce χ , entonces la suma de Gauss de χ está relacionada con la de χ ₀ por

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}$

donde μ es la función de Möbius . En consecuencia, G ( χ ) es distinto de cero precisamente cuando ⁠ N / N ₀ ⁠ es libre de cuadrados y coprimo con N ₀ . ^{[ 2 ]}

Otras relaciones entre G ( χ ) y las sumas de Gauss de otros caracteres incluyen:

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

donde χ es el carácter de Dirichlet conjugado complejo, y si χ ′ es un carácter de Dirichlet módulo N ′ tal que N y N ′ son primos relativos, entonces

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}$

La relación entre G ( χχ ′) , G ( χ ) y G ( χ ′) cuando χ y χ ′ son del mismo módulo (y χχ ′ es primitivo) se mide mediante la suma de Jacobi J ( χ , χ ′) . Específicamente,

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}$

• Las sumas de Gauss se pueden utilizar para demostrar la reciprocidad cuadrática , la reciprocidad cúbica y la reciprocidad cuártica .
• Las sumas de Gauss se pueden utilizar para calcular el número de soluciones de ecuaciones polinómicas sobre campos finitos y, por lo tanto, se pueden utilizar para calcular ciertas funciones zeta.

• Suma cuadrática de Gauss
• Suma de Gauss elíptica
• Jacobi sum
• Kummer sum
• suma de Kloosterman
• período gaussiano
• Relación Hasse-Davenport
• Teorema de Chowla-Mordell
• Teorema de Stickelberger

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001  
• Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Matemática Canadiense. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001 . 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría moderna de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  84 (2.ª  ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001 . 
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