carácter de Dirichlet

En la teoría analítica de números y ramas relacionadas de las matemáticas, una función aritmética de valor complejo ${\displaystyle \chi$ es un carácter de Dirichlet de módulo $m$ (dónde $m$ es un entero positivo) si para todos los enteros $a$ y $b$ : ^{[ 1 ]}

1.

\chi (ab)=\chi (a)\chi (b);

eso es,

\chi

es completamente multiplicativo .

2.

\chi (a)=0\iff \gcd(a,m)>1

.

3.

\chi (a+m)=\chi (a)

; eso es,

\chi

es periódico con período

m

.

El carácter más simple posible, llamado carácter principal y generalmente denotado $\chi _{0}$ , existe para todos los módulos: ^{[ 2 ]}

\chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{si }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{si }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}

Los caracteres de Dirichlet recibieron su nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quien introdujo estas funciones en su artículo de 1837 sobre números primos en progresiones aritméticas . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Son un ejemplo destacado de la idea general de un carácter en matemáticas.

Notación

$\phi (n)$ es la función totiente de Euler . ^{[ 5 ]}

$\zeta _{n}$ es una raíz n-ésima primitiva compleja de la unidad :

\zeta _ {n}^{n}=1,

pero

\zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.

$(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ es el grupo de unidades mod $m$ Tiene orden $\phi (m).$

${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ es el grupo de personajes de Dirichlet mod $m$ .

$p,p_{k},$ etc. son números primos .

$(m,n)$ es una abreviatura estándar ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} para $\gcd(m,n)$

$\chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),$ etc. son caracteres de Dirichlet. (la letra griega minúscula chi significa "carácter")

No existe una notación estándar para los caracteres de Dirichlet que incluya el módulo. En muchos contextos (como en la demostración del teorema de Dirichlet), el módulo es fijo. En otros contextos, como en este artículo, aparecen caracteres con módulos diferentes. Cuando corresponde, este artículo emplea una variación del sistema de etiquetado de Conrey (introducido por Brian Conrey y utilizado por la LMFDB ).

En este etiquetado de caracteres para el módulo $m$ se denotan $\chi _{m,t}(a)$ donde el índice $t$ se describe en la sección el grupo de caracteres a continuación. En este etiquetado, $\chi _{m,\_}(a)$ denota un carácter no especificado y $\chi _{m,1}(a)$ denota el mod del personaje principal $m$ .

Relación con los personajes del grupo

La palabra " carácter " se usa de varias maneras en matemáticas. En esta sección se refiere a un homomorfismo de un grupo. $G$ (escrito multiplicativamente) al grupo multiplicativo del cuerpo de los números complejos:

\eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.

El conjunto de caracteres se denota ${\widehat {G}}.$ Si el producto de dos caracteres se define mediante la multiplicación punto por punto $\eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),$ la identidad por el carácter trivial $\eta _{0}(a)=1$ y la inversa mediante inversión compleja $\eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}$ entonces ${\widehat {G}}$ se convierte en un grupo abeliano. ^{[ 8 ]}

Si $A$ es un grupo abeliano finito entonces ^{[ 9 ]} existe un isomorfismo $A\cong {\widehat {A}}$ y las relaciones de ortogonalidad: ^{[ 10 ]}

\sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}

y

\sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}

Los elementos del grupo abeliano finito $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ son las clases de residuos $[a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}$ dónde $(a,m)=1.$

Un personaje de grupo ${\displaystyle \rho$ puede extenderse a un carácter de Dirichlet ${\displaystyle \chi$ definiendo

\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}

y, a la inversa, un mod de personaje de Dirichlet $m$ define un carácter de grupo en $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Parafraseando a Davenport, ^{[ 11 ]} los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso particular de caracteres de grupos abelianos. Pero este artículo sigue a Dirichlet al ofrecer una explicación directa y constructiva de ellos. Esto se debe en parte a razones históricas, ya que el trabajo de Dirichlet precedió en varias décadas al desarrollo de la teoría de grupos, y en parte a una razón matemática, a saber, que el grupo en cuestión tiene una estructura simple e interesante que se oscurece si se lo trata como se trata al grupo abeliano general.

Datos básicos

4) Desde $\gcd(1,m)=1,$ propiedad 2) dice $\chi (1)\neq 0$ para que pueda cancelarse desde ambos lados de $\chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)$ :

\chi (1)=1.

^{[ 12 ]}

5) La propiedad 3) es equivalente a

si

a\equiv b{\pmod {m}}

entonces

\chi (a)=\chi (b).

6) La propiedad 1) implica que, para cualquier entero positivo $n$

\chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.

7) El teorema de Euler establece que si $\gcd(a,m)=1$ entonces $a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.$ Por lo tanto,

\chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.

Es decir, los valores distintos de cero de $\chi (a)$ son $\phi (m)$ raíces -ésimas de la unidad :

\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}

para algún número entero $r$ que depende de $\chi ,\zeta ,$ y $a$ Esto implica que solo hay un número finito de caracteres para un módulo dado.

8) Si $\chi$ y $\chi '$ son dos caracteres para el mismo módulo, por lo que su producto también lo es. $\chi \chi ',$ definido por multiplicación punto por punto:

\chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)

(

\chi \chi '

obviamente satisface 1-3). ^{[ 13 ]}

El personaje principal es una identidad:

\chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}

9) Deja $a^{-1}$ denota el inverso de $a$ en $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ . Entonces

\chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,

entonces

\chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},

que se extiende 6) a todos los números enteros.

El conjugado complejo de una raíz de la unidad es también su inverso (ver aquí para más detalles), por lo que para $(a,m)=1$

{\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).

(

{\overline {\chi }}

obviamente también satisface 1-3).

Por lo tanto, para todos los números enteros $a$

\chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};

en otras palabras

\chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}

.

10) La multiplicación y la identidad definidas en 8) y la inversión definida en 9) convierten el conjunto de caracteres de Dirichlet para un módulo dado en un grupo abeliano finito .

El grupo de personajes

Hay tres casos diferentes porque los grupos $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ tienen estructuras diferentes dependiendo de si $m$ es una potencia de 2, una potencia de un primo impar o el producto de potencias primas . ^{[ 14 ]}

Potencias de números primos impares

Si $q=p^{k}$ es un número impar $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ es cíclico de orden $\phi (q)$ ; un generador se llama módulo raíz primitivo $q$ . ^{[ 15 ]} Dejemos $g_{q}$ ser una raíz primitiva y para $(a,q)=1$ definir la función $\nu _{q}(a)$ (el índice de $a$ ) por

a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},

0\leq \nu _{q}<\phi (q).

Para $(ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ si y solo si $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$ Desde

\chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},

\chi

está determinado por su valor en

g_{q}.

Dejar $\omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}$ ser un primitivo $\phi (q)$ -ésima raíz de la unidad. De la propiedad 7) anterior, los posibles valores de $\chi (g_{q})$ son $\omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.$ Estos valores distintos dan lugar a $\phi (q)$ Mod de personajes de Dirichlet $q.$ Para $(r,q)=1$ definir $\chi _{q,r}(a)$ como

\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}

Entonces para $(rs,q)=1$ y todo $a$ y $b$

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),

demostrando que

\chi _{q,r}

es un personaje y

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),

lo que proporciona un isomorfismo explícito

{\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

Ejemplos m = 3, 5, 7, 9

2 es un módulo raíz primitivo 3. ( $\phi (3)=2$ )

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},

por lo tanto los valores de $\nu _{3}$ son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 3 son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}

2 es un módulo raíz primitivo 5. ( $\phi (5)=4$ )

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},

por lo tanto los valores de $\nu _{5}$ son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 5 son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}

3 es un módulo raíz primitivo 7. ( $\phi (7)=6$ )

3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},

por lo tanto los valores de $\nu _{7}$ son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 7 son ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$ )

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}

.

2 es un módulo raíz primitivo 9. ( $\phi (9)=6$ )

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},

por lo tanto los valores de $\nu _{9}$ son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 9 son ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$ )

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

.

Potencias de 2

$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }$ es el grupo trivial con un elemento. $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }$ es cíclico de orden 2. Para 8, 16 y potencias superiores de 2, no hay raíz primitiva; las potencias de 5 son las unidades. $\equiv 1{\pmod {4}}$ y sus negativos son las unidades $\equiv 3{\pmod {4}}.$ ^{[ 16 ]} Por ejemplo

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.

Dejar $q=2^{k},\;\;k\geq 3$ ; entonces $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ es el producto directo de un grupo cíclico de orden 2 (generado por −1) y un grupo cíclico de orden ${\frac {\phi (q)}{2}}$ (generado por 5). Para números impares $a$ definir las funciones $\nu _{0}$ y $\nu _{q}$ por

a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},

0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.

Para impares $a$ y $b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ si y solo si $\nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)$ y $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$ Para impares $a$ el valor de $\chi (a)$ está determinado por los valores de $\chi (-1)$ y $\chi (5).$

Dejar $\omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}$ ser un primitivo ${\frac {\phi (q)}{2}}$ -ésima raíz de la unidad. Los posibles valores de $\chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})$ son $\pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.$ Estos valores distintos dan lugar a $\phi (q)$ Mod de personajes de Dirichlet $q.$ Para impares $r$ definir $\chi _{q,r}(a)$ por

\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}

Entonces, para impares $r$ y $s$ y todo $a$ y $b$

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)

demostrando que

\chi _{q,r}

es un personaje y

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)

demostrando que

{\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

Ejemplos m = 2, 4, 8, 16

El único mod de personaje 2 es el personaje principal. $\chi _{2,1}$ .

−1 es una raíz primitiva módulo 4 ( $\phi (4)=2$ )

{\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 4 son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}

−1 es y 5 generan las unidades módulo 8 ( $\phi (8)=4$ )

{\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 8 son

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}

−1 y 5 generan las unidades módulo 16 ( $\phi (16)=8$ )

{\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 16 son

{\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

.

Productos de potencias primordiales

Dejar $m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}$ dónde $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ sea la factorización de $m$ en potencias principales. El grupo de unidades mod $m$ es isomorfo al producto directo de los grupos módulo el $q_{i}$ : ^{[ 17 ]}

(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

Esto significa que 1) existe una correspondencia uno a uno entre $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ y $k$ -tuplas $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ dónde $a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ y 2) multiplicación módulo $m$ corresponde a la multiplicación por coordenadas de $k$ -tuplas:

ab\equiv c{\pmod {m}}

corresponde a

(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})

dónde

c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.

El teorema chino del resto (TCR) implica que el $a_{i}$ son simplemente $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$

Hay subgrupos $G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ de tal manera que ^{[ 18 ]}

G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }

y

G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}

Entonces $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}$ y cada $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ corresponde a un $k$ - tupla $(a_{1},a_{2},...a_{k})$ dónde $a_{i}\in G_{i}$ y $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$ Cada $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ puede ser factorizado de forma única como $a=a_{1}a_{2}...a_{k}.$ ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

Si $\chi _{m,\_}$ es un mod de personaje $m,$ en el subgrupo $G_{i}$ debe ser idéntico a algunos $\chi _{q_{i},\_}$ mod $q_{i}$ Entonces

\chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{q_{2},\_}(a_{2})...,

mostrando que cada mod de personaje $m$ es el producto de los personajes mod el $q_{i}$ .

Para $(t,m)=1$ definir ^{[ 21 ]}

\chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...

Entonces para $(rs,m)=1$ y todo $a$ y $b$ ^{[ 22 ]}

\chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),

demostrando que

\chi _{m,r}

es un personaje y

\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),

mostrando un isomorfismo

{\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.

Ejemplos m = 15, 24, 40

$(\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$

La factorización de los caracteres módulo 15 es

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 15 son

{\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}

.

$(\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.$ La factorización de los caracteres módulo 24 es

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 24 son

{\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}

.

$(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$ La factorización de los caracteres módulo 40 es

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}

Los valores distintos de cero de los caracteres módulo 40 son

{\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}

.

Resumen

Dejar $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots$ , $p_{1}<p_{2}<\dots$ sea la factorización de $m$ y asumir $(rs,m)=1.$

Hay $\phi (m)$ Mod de personajes de Dirichlet $m.$ Se denotan por $\chi _{m,r},$ dónde $\chi _{m,r}=\chi _{m,s}$ es equivalente a $r\equiv s{\pmod {m}}.$ La identidad $\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;$ es un isomorfismo ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$ ^{[ 23 ]}

Cada mod de personaje $m$ tiene una factorización única como producto de caracteres módulo las potencias primas que dividen $m$ :

\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...

Si $m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1$ el producto $\chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}$ es un personaje $\chi _{m,t}$ dónde $t$ es dado por $t\equiv r{\pmod {m_{1}}}$ y $t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.$

Además, ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} $\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)$

Ortogonalidad

Las dos relaciones de ortogonalidad son ^{[ 26 ]}

\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}

y

\sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}

Las relaciones se pueden escribir en forma simétrica.

\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}

y

\sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}

La primera relación es fácil de demostrar: Si $\chi =\chi _{0}$ hay $\phi (m)$ sumandos distintos de cero, cada uno igual a 1. Si $\chi \neq \chi _{0}$ hay ^{[ 27 ]} algunos $a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.$ Entonces

\chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),

^{[ 28 ]} implicando

(\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.

Dividiendo por el primer factor se obtiene

\sum _{a}\chi (a)=0,

QED. La identidad

\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)

para

(rs,m)=1

muestra que las relaciones son equivalentes entre sí.

La segunda relación se puede demostrar directamente de la misma manera, pero requiere un lema ^{[ 29 ].}

Dado

a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,

hay un

\chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.

La segunda relación tiene un corolario importante: si $(a,m)=1,$ definir la función

f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).

Entonces

f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}

Eso es $f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}$ la función indicadora de la clase de residuos $[a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}$ Es fundamental en la demostración del teorema de Dirichlet. ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

Clasificación de los personajes

Conductor; caracteres primitivos e inducidos

Cualquier modificador de personaje de un poder principal también es un modificador de personaje de cualquier poder mayor. Por ejemplo, modificador 16 ^{[ 32 ]}

{\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

$\chi _{16,3}$ tiene el período 16, pero $\chi _{16,9}$ tiene el período 8 y $\chi _{16,15}$ tiene período 4: $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}$ y $\chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.$

Decimos que un personaje $\chi$ de módulo $q$ tiene un cuasiperíodo de $d$ si $\chi (m)=\chi (n)$ a pesar de $m$ , $n$ coprimo a $q$ satisfactorio $m\equiv n$ mod $d$ . ^{[ 33 ]} Por ejemplo, $\chi _{2,1}$ , el único carácter de Dirichlet del módulo $2$ , tiene un cuasiperíodo de $1$ , pero no un período de $1$ (tiene un período de $2$ , sin embargo). El entero positivo más pequeño para el cual $\chi$ es cuasiperiódico es el conductor de $\chi$ . ^{[ 34 ]} Así, por ejemplo, $\chi _{2,1}$ tiene un director de orquesta $1$ .

El director de orquesta de $\chi _{16,3}$ tiene 16 años, el conductor de $\chi _{16,9}$ es 8 y el de $\chi _{16,15}$ y $\chi _{8,7}$ es 4. Si el módulo y el conductor son iguales, el carácter es primitivo ; de lo contrario, es imprimitivo . Un carácter imprimitivo es inducido por el carácter para el módulo más pequeño: $\chi _{16,9}$ se induce desde $\chi _{8,5}$ y $\chi _{16,15}$ y $\chi _{8,7}$ son inducidos por $\chi _{4,3}$ .

Un fenómeno similar puede ocurrir con un carácter módulo el producto de números primos; sus valores distintos de cero pueden ser periódicos con un período menor.

Por ejemplo, módulo 15,

{\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}

.

Los valores distintos de cero de $\chi _{15,8}$ tienen período 15, pero los de $\chi _{15,11}$ tienen el período 3 y los de $\chi _{15,13}$ tienen el período 5. Esto se ve más fácilmente al yuxtaponerlos con los caracteres módulo 3 y 5:

{\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}

.

Si un mod de personaje $m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1$ se define como

\chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}

, o equivalentemente como

\chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},

Sus valores distintos de cero están determinados por el mod del carácter. $q$ y tener período $q$ .

El período más pequeño de los valores distintos de cero es el conductor del carácter. Por ejemplo, el conductor de $\chi _{15,8}$ tiene 15 años, el conductor de $\chi _{15,11}$ es 3, y el de $\chi _{15,13}$ es 5.

Como en el caso de potencia prima, si el conductor es igual al módulo, el carácter es primitivo ; de lo contrario, es imprimitivo . Si es imprimitivo, se induce a partir del carácter con el módulo más pequeño. Por ejemplo, $\chi _{15,11}$ se induce desde $\chi _{3,2}$ y $\chi _{15,13}$ se induce desde $\chi _{5,3}$

El personaje principal no es primitivo. ^{[ 35 ]}

El personaje $\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...$ es primitivo si y solo si cada uno de los factores es primitivo. ^{[ 36 ]}

Los caracteres primitivos a menudo simplifican (o hacen posibles) fórmulas en las teorías de las funciones L ^{[ 37 ]} y las formas modulares .

Paridad

$\chi (a)$ es incluso si $\chi (-1)=1$ y es extraño si $\chi (-1)=-1.$

Esta distinción aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

Orden

El orden de un personaje es su orden como elemento del grupo. ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ es decir, el entero positivo más pequeño $n$ de tal manera que $\chi ^{n}=\chi _{0}.$ Debido al isomorfismo ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ el orden de $\chi _{m,r}$ es lo mismo que el orden de $r$ en $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$ El personaje principal tiene orden 1; los demás personajes reales tienen orden 2, y los personajes imaginarios tienen orden 3 o superior. Según el teorema de Lagrange, el orden de un personaje divide el orden de los demás personajes reales. ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ que es $\phi (m)$

Personajes reales

$\chi (a)$ es real o cuadrática si todos sus valores son reales (deben ser $0,\;\pm 1$ ); de lo contrario, es complejo o imaginario.

$\chi$ es real si y solo si $\chi ^{2}=\chi _{0}$ ; $\chi _{m,k}$ es real si y solo si $k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}$ ; En particular, $\chi _{m,-1}$ es real y no principal. ^{[ 38 ]}

La prueba original de Dirichlet de que $L(1,\chi )\neq 0$ (que solo era válido para los módulos primos) tomó dos formas diferentes dependiendo de si $\chi$ era real o no. Su prueba posterior, válida para todos los módulos, se basó en su fórmula de número de clase . ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

Los caracteres reales son símbolos de Kronecker ; ^{[ 41 ]} por ejemplo, el carácter principal se puede escribir ^{[ 42 ]} $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ .

Los personajes reales en los ejemplos son:

Principal

Si $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...$ El personaje principal es ^{[ 43 ]} $\chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).$

$\chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)$ $\chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)$ $\chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)$

Primitivo

Si el módulo es el valor absoluto de un discriminante fundamental , existe un carácter primitivo real (hay dos si el módulo es múltiplo de 8); de lo contrario, si existen caracteres primitivos ^{[ 36 ],} son imaginarios. ^{[ 44 ]}

$\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$ $\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)$ $\chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)$ $\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)$

Imprimitivo

$\chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$

$\chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)$

$\chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)$

Aplicaciones

funciones L

La serie L de Dirichlet para un carácter $\chi$ es

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.

Esta serie converge absolutamente para ${\mathfrak {R}}(s)>1$ . Si el carácter no es principal, entonces además converge (pero no absolutamente) para ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>0}$ y puede continuarse analíticamente a una función completa , definida y diferenciable en todo el plano complejo . Si el carácter es principal, entonces la serie converge solo para ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$ ; en este caso, se puede continuar analíticamente a una función meromorfa con polo simple en ${\textstyle s=1}$ .

Dirichlet introdujo el $L$ -funcionar junto con los personajes en su artículo de 1837.

Formas y funciones modulares

Los caracteres de Dirichlet aparecen en varios lugares de la teoría de formas y funciones modulares. Un ejemplo típico es ^{[ 45 ].}

Dejar $\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}$ y dejar $\chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}$ ser primitivo.

Si

f(z)=\sum a_{n}z^{n}\in M_{k}(M,\chi )

^{[ 46 ]}

definir

f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}

, ^{[ 47 ]}

Entonces

f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})

. Si

f

es una forma de cúspide, por lo tanto es

f_{\chi _{1}}.

Consulte la serie theta de un carácter de Dirichlet para ver otro ejemplo.

suma de Gauss

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo $N$ es

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.

Aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

Jacobi sum

Si $\chi$ y $\psi$ ¿Son los personajes de Dirichlet un mod principal? $p$ Su suma Jacobi es

J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).

Las sumas de Jacobi se pueden factorizar en productos de sumas de Gauss.

suma de Kloosterman

Si $\chi$ es un mod de personaje de Dirichlet $q$ y $\zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ la suma de Kloosterman $K(a,b,\chi )$ se define como ^{[ 48 ]}

K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.

Si $b=0$ Es una suma de Gauss.

Condiciones suficientes

No es necesario establecer las propiedades definitorias 1) – 3) para demostrar que una función es un carácter de Dirichlet.

Del libro de Davenport

Si $\mathrm {X$ tal que

1)

\mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),

2)

\mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)

,

3) Si

\gcd(a,m)>1

entonces

\mathrm {X} (a)=0

, pero

4)

\mathrm {X} (a)

no siempre es 0,

entonces $\mathrm {X} (a)$ es uno de los $\phi (m)$ mod de personajes $m$ ^{[ 49 ]}

La condición de Sárközy

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ que satisface una relación de recurrencia lineal : es decir, si $a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0$

para todos los enteros positivos $n$ , dónde $a_{1},\ldots ,a_{k}$ no todos son cero y $b_{1},\ldots ,b_{k}$ son distintos entonces $f$ es un carácter de Dirichlet. ^{[ 50 ]}

La condición de Chudakov

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ que satisfacen las siguientes tres propiedades: a) $f$ solo toma un número finito de valores; b) $f$ se desvanece solo en un número finito de primos; c) hay un $\alpha \in \mathbb {C}$ para lo cual el resto

$\left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|$

está uniformemente acotado, como $x\rightarrow \infty$ Esta definición equivalente de caracteres de Dirichlet fue conjeturada por Chudakov ^{[ 51 ]} en 1956 y demostrada en 2017 por Klurman y Mangerel. ^{[ 52 ]}

Algunos módulos especiales notables

8, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet necesitan más de un generador. ^{[ 53 ]}
13, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet contienen números $\alpha$ de tal manera que no haya primos p en $\mathbb {Z}$ que siguen siendo primos en $\mathbb {Z} [\alpha ]$ . ^{[ 54 ]}^{[ 55 ]}
19, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet contienen números cuyas partes real e imaginaria no son números construibles . ^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}
24, el módulo más grande cuyos caracteres de Dirichlet son todos reales (los caracteres de Dirichlet del número n son todos reales si y solo si n es divisor de 24). ^{[ 58 ]}
47, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet contienen números $\alpha$ de tal manera que el número de clase $h^{-}$ del campo ciclotómico $\mathbb {Q} (\alpha )$ es mayor que 1. ^{[ 59 ]}
120, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet necesitan más de tres generadores. ^{[ 53 ]}
149, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet contienen números $\alpha$ de tal manera que el número de clase completo $h^{-}\cdot h^{+}$ del campo ciclotómico $\mathbb {Q} (\alpha )$ no es coprimo con el número más pequeño tal que $\alpha ^{n}=1$ (relacionado con primos irregulares ).
240, el módulo más grande cuyos caracteres de Dirichlet son todos enteros gaussianos (los caracteres de Dirichlet del número n son todos enteros gaussianos si y solo si n es divisor de 240). ^{[ 58 ]}
383, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet contienen números $\alpha$ de tal manera que el número de clase $h^{+}$ del campo ciclotómico $\mathbb {Q} (\alpha )$ es mayor que 1.
504, el módulo más grande cuyos caracteres de Dirichlet son todos enteros de Eisenstein (los caracteres de Dirichlet del número n son todos enteros de Eisenstein si y solo si n es divisor de 504). ^{[ 58 ]}
840, el módulo más pequeño cuyos caracteres de Dirichlet necesitan más de cuatro generadores. ^{[ 53 ]}

Véase también

Notas

↑ Esta es la definición estándar; por ejemplo, Davenport, pág. 27; Landau, pág. 109; Ireland y Rosen, pág. 253.
↑ Nótese el caso especial del módulo 1: el único carácter módulo 1 es la constante 1; todos los demás caracteres son 0 en 0
↑ Davenport pág. 1
↑ La traducción al inglés se encuentra en Enlaces externos.
↑ Weisstein, Eric W. "Función totiente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de febrero de 2025 .
↑ Utilizado en Davenport, Landau, Irlanda y Rosen
↑ $(rs,m)=1$ es equivalente a $\gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1$
↑ Ver carácter multiplicativo
↑ Ireland y Rosen, págs. 253-254
↑ Véase Grupo de caracteres#Ortogonalidad de caracteres
↑ Davenport pág. 27
↑ Estas propiedades se derivan en todas las introducciones al tema, por ejemplo Davenport pág. 27, Landau pág. 109.
↑ En general, el producto de un mod de personaje $m$ y un mod de personaje $n$ es un mod de personaje $\operatorname {lcm} (m,n)$
↑ Excepto por el uso del etiquetado Conrie modificado, esta sección sigue a Davenport pp. 1-3, 27-30.
↑ Hay un mod raíz primitivo $p$ que es un mod raíz primitivo $p^{2}$ y todos los poderes superiores de $p$ Véase, por ejemplo, Landau, pág. 106.
↑ Landau págs. 107-108
↑ Consulte el grupo de unidades para obtener más detalles.
↑ Para construir el $G_{i},$ para cada $a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ usar el CRT para encontrar $a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ dónde
$a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}$
↑ Suponga que $a$ corresponde a $(a_{1},a_{2},...)$ Por construcción $a_{1}$ corresponde a $(a_{1},1,1,...)$ , $a_{2}$ a $(1,a_{2},1,...)$ etc. cuyo producto por coordenadas es $(a_{1},a_{2},...).$
↑ Por ejemplo, dejemos $m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.$ Entonces $G_{1}=\{1,11,21,31\}$ y $G_{2}=\{1,9,17,33\}.$ La factorización de los elementos de $(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }$ es
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}$
↑ Ver el etiquetado de Conrey .
↑ Porque estas fórmulas son verdaderas para cada factor.
↑ Esto es cierto para todos los grupos abelianos finitos: $A\cong {\hat {A}}$ Véase Ireland y Rosen, págs. 253-254.
↑ porque las fórmulas para $\chi$ Los poderes primos mod son simétricos en $r$ y $s$ y la fórmula para los productos conserva esta simetría. Véase Davenport, pág. 29.
↑ Esto es lo mismo que decir que la enésima columna y la enésima fila en las tablas de valores distintos de cero son lo mismo.
↑ Ver #Relación con los caracteres del grupo arriba.
↑ por definición de $\chi _{0}$
↑ porque multiplicar cada elemento de un grupo por un elemento constante simplemente permuta los elementos. Véase Grupo (matemáticas).
↑ Davenport p. 30 (paráfrasis) Para demostrar [la segunda relación] hay que usar ideas que hemos usado en la construcción [como en este artículo o Landau pp. 109-114], o recurrir al teorema de la base para grupos abelianos [como en Ireland y Rosen pp. 253-254]
↑ Davenport caps. 1, 4; Landau pág. 114
↑ Tenga en cuenta que si $g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C}$ es cualquier función $g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)$ ; véase Transformada de Fourier en grupos finitos#Transformada de Fourier para grupos abelianos finitos
↑ Esta sección sigue a Davenport pp. 35-36,
↑ Platt, Dave. "Caracteres de Dirichlet Def. 11.10" (PDF) . Consultado el 5 de abril de 2024 .
↑ "Conductor de un carácter Dirichlet (reseñado)" . LMFDB . Consultado el 5 de abril de 2024 .
↑ Davenport lo clasifica como ni primitivo ni imprimitivo; el LMFDB lo deduce de $\chi _{1,1}.$
1 2 Tenga en cuenta que si $m$ es dos veces un número impar, $m=2r$ , todos los personajes mod $m$ son imprimitivos porque $\chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}$
↑ Por ejemplo, la ecuación funcional de $L(s,\chi )$ solo es válido para primitivos $\chi$ Véase Davenport, pág. 85.
↑ De hecho, para el módulo primo $p\;\;\chi _{p,-1}$ es el símbolo de Legendre : $\chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;$ Bosquejo de la prueba: $\nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)$ es par (impar) si a es un residuo cuadrático (no residuo)
↑ Davenport, caps. 1, 4.
↑ La demostración de Ireland y Rosen, válida para todos los módulos, también incluye estos dos casos. págs. 259 y siguientes.
↑ Davenport pág. 40
↑ La notación $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ es una forma más corta de escribir $\chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)$
↑ El producto de los números primos garantiza que sea cero si $\gcd(m,\bullet )>1$ ; los cuadrados aseguran que su único valor distinto de cero sea 1.
↑ Davenport págs. 38-40
↑ Koblittz, prop. 17b pág. 127
↑ $f(z)\in M_{k}(M,\chi )$ significa 1) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)$ dónde $ad-bc=1$ y $a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.$ y 2) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)$ dónde $ad-bc=1$ y $c\equiv 0{\pmod {M}}.$ Véase Koblitz, cap. III.
↑ el giro de $f$ por $\chi _{1}$
^ Definición de LMFDB de suma de Kloosterman
↑ Davenport pág. 30
↑ Sarkozy
↑ Chudakov
↑ Klurman
1 2 3 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A102476 (Módulo mínimo con 2 ⁿ raíces cuadradas de 1)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396479 (Números k tales que λ(k) no tiene raíces primitivas, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396481 (Números primos p tales que p-1 no tiene raíces primitivas)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396554 (Números k tales que φ(λ(k)) no es una potencia de 2, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396555 (Números primos p tales que φ(p-1) no es una potencia de 2)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
1 2 3 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A143407 (Número k más grande tal que la función totiente reducida toma 1, 2, 4, 6, ...)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396477 (Números k tales que Q(ζ_{λ(k)}) tiene número de clase mayor que 1, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Referencias

Chudakov, NG "Teoría de los caracteres de los semigrupos numéricos". J. Indian Math. Soc . 20 : 11–15 .
Davenport, Harold (1967). Teoría multiplicativa de números . Lecciones de matemáticas avanzadas. Vol. 1. Chicago: Markham. Zbl 0159.06303 .
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Introducción clásica a la teoría moderna de números (Segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). "Teoremas de rigidez para funciones multiplicativas". Math. Ann . 372 (1): 651– 697. arXiv : 1707.07817 . Bibcode : 2017arXiv170707817K . doi : 10.1007/s00208-018-1724-6 . S2CID 119597384 .
Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 97 (2.ª ed. revisada). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97966-2.
Landau, Edmund (1966), Teoría elemental de números , Nueva York: Chelsea
Sarkozy, Andras. "Sobre funciones aritméticas multiplicativas que satisfacen una recursión lineal". Studia Sci. Math. Hung . 13 ( 1– 2): 79– 104.

Enlaces externos

Traducción al inglés del artículo de Dirichlet de 1837 sobre los números primos en las progresiones aritméticas.
LMFDB enumera 30.397.486 caracteres de Dirichlet con módulo de hasta 10.000 y sus funciones L.

[1] Esta es la definición estándar; por ejemplo, Davenport, pág. 27; Landau, pág. 109; Ireland y Rosen, pág. 253.

[2] Nótese el caso especial del módulo 1: el único carácter módulo 1 es la constante 1; todos los demás caracteres son 0 en 0

[3] Davenport pág. 1

[4] La traducción al inglés se encuentra en Enlaces externos.

[5] Weisstein, Eric W. "Función totiente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de febrero de 2025 .

[6] Utilizado en Davenport, Landau, Irlanda y Rosen

[7] $(rs,m)=1$ es equivalente a $\gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1$

[8] Ver carácter multiplicativo

[IR-9] Ireland y Rosen, págs. 253-254

[10] Véase Grupo de caracteres#Ortogonalidad de caracteres

[11] Davenport pág. 27

[12] Estas propiedades se derivan en todas las introducciones al tema, por ejemplo Davenport pág. 27, Landau pág. 109.

[13] En general, el producto de un mod de personaje $m$ y un mod de personaje $n$ es un mod de personaje $\operatorname {lcm} (m,n)$

[14] Excepto por el uso del etiquetado Conrie modificado, esta sección sigue a Davenport pp. 1-3, 27-30.

[15] Hay un mod raíz primitivo $p$ que es un mod raíz primitivo $p^{2}$ y todos los poderes superiores de $p$ Véase, por ejemplo, Landau, pág. 106.

[16] Landau págs. 107-108

[17] Consulte el grupo de unidades para obtener más detalles.

[18] Para construir el $G_{i},$ para cada $a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ usar el CRT para encontrar $a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ dónde
$a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}$

[19] Suponga que $a$ corresponde a $(a_{1},a_{2},...)$ Por construcción $a_{1}$ corresponde a $(a_{1},1,1,...)$ , $a_{2}$ a $(1,a_{2},1,...)$ etc. cuyo producto por coordenadas es $(a_{1},a_{2},...).$

[20] Por ejemplo, dejemos $m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.$ Entonces $G_{1}=\{1,11,21,31\}$ y $G_{2}=\{1,9,17,33\}.$ La factorización de los elementos de $(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }$ es
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}$

[21] Ver el etiquetado de Conrey .

[22] Porque estas fórmulas son verdaderas para cada factor.

[23] Esto es cierto para todos los grupos abelianos finitos: $A\cong {\hat {A}}$ Véase Ireland y Rosen, págs. 253-254.

[24] rque las fórmulas para $\chi$ Los poderes primos mod son simétricos en $r$ y $s$ y la fórmula para los productos conserva esta simetría. Véase Davenport, pág. 29.

[25] Esto es lo mismo que decir que la enésima columna y la enésima fila en las tablas de valores distintos de cero son lo mismo.

[26] Ver #Relación con los caracteres del grupo arriba.

[27] r definición de $\chi _{0}$

[permute-28] rque multiplicar cada elemento de un grupo por un elemento constante simplemente permuta los elementos. Véase Grupo (matemáticas).

[29] Davenport p. 30 (paráfrasis) Para demostrar [la segunda relación] hay que usar ideas que hemos usado en la construcción [como en este artículo o Landau pp. 109-114], o recurrir al teorema de la base para grupos abelianos [como en Ireland y Rosen pp. 253-254]

[30] Davenport caps. 1, 4; Landau pág. 114

[31] Tenga en cuenta que si $g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C}$ es cualquier función $g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)$ ; véase Transformada de Fourier en grupos finitos#Transformada de Fourier para grupos abelianos finitos

[32] Esta sección sigue a Davenport pp. 35-36,

[33] Platt, Dave. "Caracteres de Dirichlet Def. 11.10" (PDF) . Consultado el 5 de abril de 2024 .

[34] "Conductor de un carácter Dirichlet (reseñado)" . LMFDB . Consultado el 5 de abril de 2024 .

[35] Davenport lo clasifica como ni primitivo ni imprimitivo; el LMFDB lo deduce de $\chi _{1,1}.$

[twop-36] 1 2 Tenga en cuenta que si $m$ es dos veces un número impar, $m=2r$ , todos los personajes mod $m$ son imprimitivos porque $\chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}$

[37] Por ejemplo, la ecuación funcional de $L(s,\chi )$ solo es válido para primitivos $\chi$ Véase Davenport, pág. 85.

[38] De hecho, para el módulo primo $p\;\;\chi _{p,-1}$ es el símbolo de Legendre : $\chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;$ Bosquejo de la prueba: $\nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)$ es par (impar) si a es un residuo cuadrático (no residuo)

[39] Davenport, caps. 1, 4.

[40] La demostración de Ireland y Rosen, válida para todos los módulos, también incluye estos dos casos. págs. 259 y siguientes.

[41] Davenport pág. 40

[42] La notación $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ es una forma más corta de escribir $\chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)$

[43] El producto de los números primos garantiza que sea cero si $\gcd(m,\bullet )>1$ ; los cuadrados aseguran que su único valor distinto de cero sea 1.

[44] Davenport págs. 38-40

[45] Koblittz, prop. 17b pág. 127

[46] $f(z)\in M_{k}(M,\chi )$ significa 1) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)$ dónde $ad-bc=1$ y $a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.$ y 2) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)$ dónde $ad-bc=1$ y $c\equiv 0{\pmod {M}}.$ Véase Koblitz, cap. III.

[47] ro de $f$ por $\chi _{1}$

[48] Definición de LMFDB de suma de Kloosterman

[49] Davenport pág. 30

[50] Sarkozy

[51] Chudakov

[52] Klurman

[A102476-53] 1 2 3 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A102476 (Módulo mínimo con 2 ⁿ raíces cuadradas de 1)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

[54] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396479 (Números k tales que λ(k) no tiene raíces primitivas, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

[55] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396481 (Números primos p tales que p-1 no tiene raíces primitivas)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.

[56] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396554 (Números k tales que φ(λ(k)) no es una potencia de 2, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

[57] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396555 (Números primos p tales que φ(p-1) no es una potencia de 2)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.

[A143407-58] 1 2 3 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A143407 (Número k más grande tal que la función totiente reducida toma 1, 2, 4, 6, ...)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

[59] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A396477 (Números k tales que Q(ζ_{λ(k)}) tiene número de clase mayor que 1, donde λ es la función totiente reducida)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

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