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Articulo de referencia

Cópula (estadística)

En teoría de la probabilidad y estadística , una cópula es una función de distribución acumulativa multivariante cuya distribución de probabilidad marginal de cada variable es u...

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En teoría de la probabilidad y estadística , una cópula es una función de distribución acumulativa multivariante cuya distribución de probabilidad marginal de cada variable es uniforme en el intervalo  [0,  1]. Las cópulas se utilizan para describir/modelar la dependencia (intercorrelación) entre variables aleatorias . [ 1 ] Su nombre, introducido por el matemático aplicado Abe Sklar en 1959, proviene del latín para "enlace" o "vínculo", similar pero solo metafóricamente relacionado con las cópulas gramaticales en lingüística . Las cópulas se han utilizado ampliamente en finanzas cuantitativas para modelar y minimizar el riesgo de cola [ 2 ] y en aplicaciones de optimización de carteras . [ 3 ]

El teorema de Sklar establece que cualquier distribución conjunta multivariada puede escribirse en términos de funciones de distribución marginales univariadas y una cópula que describe la estructura de dependencia entre las variables.

Las cópulas son populares en aplicaciones estadísticas de alta dimensionalidad, ya que permiten modelar y estimar fácilmente la distribución de vectores aleatorios mediante la estimación independiente de las distribuciones marginales y las cópulas. Existen numerosas familias de cópulas paramétricas, cuyos parámetros suelen controlar la intensidad de la dependencia. A continuación, se describen algunos modelos de cópulas paramétricas populares.

Las cópulas bidimensionales se conocen en otras áreas de las matemáticas con el nombre de permutones y medidas doblemente estocásticas .

Motivación matemática

Consideremos un vector aleatorio (incógnita1,incógnita2,…,incógnitad).{\displaystyle \ {\bigl (}X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}{\bigr )}.}Supongamos que sus marginales son continuas, es decir, las funciones de distribución acumulada marginales. Fi(incógnita)=Pr[ incógnitai≤incógnita ] {\displaystyle \ F_{i}(x)=\Pr {\bigl [}\ X_{i}\leq x\ {\bigr ]}\ }son funciones continuas . Al aplicar la transformada integral de probabilidad a cada componente, el vector aleatorio

(U1,U2,…,Ud)=( F1(incógnita1),F2(incógnita2),…,Fd(incógnitad) ){\displaystyle {\bigl (}U_{1},U_{2},\dots ,U_{d}{\bigr )}={\Bigl (}\ F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\ {\Bigr )}}

tiene distribuciones marginales que se distribuyen uniformemente en el intervalo  [0,  1].

La cópula de ( incógnita1,incógnita2,…,incógnitad ) {\displaystyle \ {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}\ }se define como la función de distribución acumulativa conjunta de ( U1,U2,…,Ud ) :{\displaystyle \ {\bigl (}\ U_{1},U_{2},\dots ,U_{d}\ {\bigr )}\ :}

do( tú1,tú2,…,túd )=Pr[ U1≤tú1, U2≤tú2, …, Ud≤túd ] .{\displaystyle C\!\left(\ u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\ \right)=\Pr {\Bigl [}\ U_{1}\leq u_{1},\ U_{2}\leq u_{2},\ \dots ,\ U_{d}\leq u_{d}\ {\Bigr ]}~.}

La cópula C contiene toda la información sobre la estructura de dependencia entre los componentes de ( incógnita1,incógnita2,…,incógnitad ) {\displaystyle \ {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}\ }mientras que las funciones de distribución acumulativa marginalFi{\displaystyle F_{i}}contienen toda la información sobre las distribuciones marginales de incógnitai .{\displaystyle \ X_{i}~.}

El proceso inverso a estos pasos puede utilizarse para generar muestras pseudoaleatorias a partir de clases generales de distribuciones de probabilidad multivariadas . Es decir, dado un procedimiento para generar una muestra(U1,U2,…,Ud){\ Displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ puntos, U_ {d})}A partir de la función de cópula, la muestra requerida se puede construir como

( incógnita1,incógnita2,…,incógnitad )=( F1−1(U1), F2−1(U2), …, Fd−1(Ud) ) .{\displaystyle {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}={\Bigl (}\ F_{1}^{-1}(U_{1}),\ F_{2}^{-1}(U_{2}),\ \dots ,\ F_{d}^{-1}(U_{d})\ {\Bigr )}~.}

Las inversas generalizadas Fi−1 {\displaystyle \ F_{i}^{-1}\ }son casi con seguridad no problemáticos , ya que el Fi {\displaystyle \ F_{i}\ }Se asumió que eran continuas. Además, la fórmula anterior para la función cópula se puede reescribir como:

do( tú1,tú2,…,túd )=Pr[ incógnita1≤F1−1(tú1), incógnita2≤F2−1(tú2), …, incógnitad≤Fd−1(túd) ] .{\displaystyle C\!\left(\ u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\ \right)=\Pr {\Bigl [}\ X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),\ X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\ \dots ,\ X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})\ {\Bigr ]}~.}

Definición

En términos probabilísticos ,do:[0,1]d→[0,1]{\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}es una cópula d -dimensional si C es una función de distribución acumulativa conjunta de un vector aleatorio d -dimensional en el cubo unitario.[0,1]d{\displaystyle [0,1]^{d}}con márgenes uniformes . [ 4 ]

En términos analíticos ,do:[0,1]d→[0,1]{\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}es una cópula d -dimensional si

  • do(tú1,…,túi−1,0,túi+1,…,túd)=0{\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}, la cópula es cero si alguno de los argumentos es cero,
  • do(1,…,1,tú,1,…,1)=tú{\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}, la cópula es igual a u si un argumento es u y todos los demás son 1,
  • C es d -no decreciente, es decir, para cada hiperrectánguloB=∏i=1d[incógnitai,yi]⊆[0,1]d{\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}El volumen C de B es no negativo:
    ∫Bddo(tú)=∑z∈∏i=1d{incógnitai,yi}(−1)norte(z)do(z)≥0,{\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}
donde elnorte(z)=#{k:zk=incógnitak}{\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}.

Por ejemplo, en el caso bivariado,do:[0,1]×[0,1]→[0,1]{\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}es una cópula bivariada sido(0,tú)=do(tú,0)=0{\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0},do(1,tú)=do(tú,1)=tú{\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}ydo(tú2,v2)−do(tú2,v1)−do(tú1,v2)+do(tú1,v1)≥0{\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}a pesar de0≤tú1≤tú2≤1{\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}y0≤v1≤v2≤1{\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}.

Teorema de Sklar

Gráfico de densidad y contorno de una distribución gaussiana bivariada.
Gráfico de densidad y contorno de dos distribuciones marginales normales unidas mediante una cópula de Gumbel.

El teorema de Sklar, que lleva el nombre de Abe Sklar , proporciona la base teórica para la aplicación de las cópulas. [ 5 ] [ 6 ] El teorema de Sklar establece que toda función de distribución acumulativa multivariada

H(incógnita1,…,incógnitad)=Pr[incógnita1≤incógnita1,…,incógnitad≤incógnitad]{\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}

de un vector aleatorio(incógnita1,incógnita2,…,incógnitad){\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}puede expresarse en términos de sus marginalesFi(incógnitai)=Pr[incógnitai≤incógnitai]{\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}y una cópulado{\displaystyle C}. En efecto:

H(incógnita1,…,incógnitad)=do(F1(incógnita1),…,Fd(incógnitad)).{\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}

Si la distribución multivariada tiene una densidadh{\displaystyle h}y si esta densidad está disponible, también se cumple que

h(incógnita1,…,incógnitad)=do(F1(incógnita1),…,Fd(incógnitad))⋅F1(incógnita1)⋅⋯⋅Fd(incógnitad),{\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}

dóndedo{\displaystyle c}es la densidad de la cópula.

El teorema también establece que, dadoH{\displaystyle H}, la cópula es única enCorrió⁡(F1)×⋯×Corrió⁡(Fd){\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}que es el producto cartesiano de los rangos de las funciones de distribución acumulada marginales. Esto implica que la cópula es única si las marginalesFi{\displaystyle F_{i}}son continuos.

Lo contrario también es cierto: dada una cópulado:[0,1]d→[0,1]{\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}y marginalesFi(incógnita){\displaystyle F_{i}(x)}entoncesdo(F1(incógnita1),…,Fd(incógnitad)){\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}define una función de distribución acumulativa d -dimensional con distribuciones marginalesFi(incógnita){\displaystyle F_{i}(x)}.

condición de estacionariedad

Las cópulas funcionan principalmente cuando las series temporales son estacionarias [ 7 ] y continuas [ 8 ] . Por lo tanto, un paso de preprocesamiento muy importante es comprobar la autocorrelación , la tendencia y la estacionalidad dentro de las series temporales.

Cuando las series temporales están autocorrelacionadas, pueden generar una dependencia inexistente entre conjuntos de variables y dar como resultado una estructura de dependencia de cópula incorrecta. [ 9 ]

Límites de la cópula de Fréchet-Hoeffding

Gráficas de los límites de la cópula bivariada de Fréchet-Hoeffding y de la cópula de independencia (en el centro).

El teorema de Fréchet-Hoeffding (después de Maurice René Fréchet y Wassily Hoeffding [ 10 ] ) establece que para cualquier cópulado:[0,1]d→[0,1]{\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}y cualquier(tú1,…,túd)∈[0,1]d{\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}Se cumplen los siguientes límites:

W(tú1,…,túd)≤do(tú1,…,túd)≤METRO(tú1,…,túd).{\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}

La función W se denomina cota inferior de Fréchet-Hoeffding y se define como

W(tú1,…,túd)=máximo{1−d+∑i=1dtúi,0}.{\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}

La función M se denomina cota superior de Fréchet-Hoeffding y se define como

METRO(tú1,…,túd)=min{tú1,…,túd}.{\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}

El límite superior es preciso: M es siempre una cópula, corresponde a variables aleatorias comonótonas .

El límite inferior es puntualmente preciso, en el sentido de que para u fijo , existe una cópula.do~{\displaystyle {\tilde {C}}}de tal manera quedo~(tú)=W(tú) .{\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)~.}Sin embargo, W es una cópula solo en dos dimensiones, en cuyo caso corresponde a variables aleatorias contramonótonas.

En dos dimensiones, es decir, el caso bivariado, el teorema de Fréchet-Hoeffding establece:

máximo{tú+v−1,0}≤do(tú,v)≤min{tú,v}.{\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}

Familias de cópulas

Se han descrito varias familias de cópulas.

cópula gaussiana

Distribución acumulativa y de densidad de la cópula gaussiana con ρ  =  0,4

La cópula gaussiana es una distribución sobre el hipercubo unitario.[0,1]d{\displaystyle [0,1]^{d}}Se construye a partir de una distribución normal multivariada sobreRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}mediante el uso de la transformada integral de probabilidad .

Para una matriz de correlación dadaR∈[−1,1]d×d{\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}, la cópula gaussiana con matriz de parámetrosR{\displaystyle R}se puede escribir como

doRGauss(tú)=ΦR(Φ−1(tú1),…,Φ−1(túd)),{\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}

dóndeΦ−1{\displaystyle \Phi ^{-1}}es la función de distribución acumulativa inversa de una distribución normal estándar yΦR{\displaystyle \Phi _{R}}es la función de distribución acumulativa conjunta de una distribución normal multivariada con vector de media cero y matriz de covarianza igual a la matriz de correlaciónR{\displaystyle R}Aunque no existe una fórmula analítica simple para la función cópula,doRGauss(tú){\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}, puede estar acotada superior o inferiormente, y aproximarse mediante integración numérica. [ 11 ] [ 12 ] La densidad puede escribirse como [ 13 ]

doRGauss(tú)=1 detR   exp⁡(−12[Φ−1(tú1)⋮Φ−1(túd)]T(R−1−I)[Φ−1(tú1)⋮Φ−1(túd)]) ,{\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\ {\sqrt {\det {R}\ }}\ }}\ \exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}\,\left(R^{-1}-I\right)\,{\begin{bmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{bmatrix}}\right)\ ,}

dóndeI{\displaystyle I}es la matriz identidad.

cópulas arquimedianas

Las cópulas arquimedianas constituyen una clase asociativa de cópulas. La mayoría de las cópulas arquimedianas comunes admiten una fórmula explícita, algo que no es posible, por ejemplo, para la cópula gaussiana. En la práctica, las cópulas arquimedianas son populares porque permiten modelar la dependencia en dimensiones arbitrariamente altas con un solo parámetro, que rige la intensidad de dicha dependencia.

Una cópula C se llama arquimediana si admite la representación [ 14 ].

do( tú1,…,túd ; θ )=ψ−1( ψ(tú1;θ) + ⋯ + ψ(túd;θ) ; θ ){\displaystyle C(\ u_{1},\dots ,u_{d}\ ;\ \theta \ )=\psi ^{-1}\!{\bigl (}\ \psi (u_{1};\theta )\ +\ \cdots \ +\ \psi (u_{d};\theta )\  ;\ \theta \ {\bigr )}}

dónde ψ:[0,1]×Θ→[0,∞) {\displaystyle \ \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )\ }es una función continua, estrictamente decreciente y convexa tal que ψ(1;θ)=0 ,{\displaystyle \ \psi (1;\theta )=0\ ,} θ {\displaystyle \ \theta \ }es un parámetro dentro de algún espacio de parámetros Θ ,{\displaystyle \ \Theta \ ,}y ψ {\displaystyle \ \psi \ }es la llamada función generadora y ψ−1 {\displaystyle \ \psi ^{-1}\ }es su pseudoinversa, definida por

ψ−1(t;θ)={ψ−1(t;θ) si  0 ≤ t ≤ ψ(0;θ)0 si ψ(0;θ) ≤ t ≤ ∞ .{\displaystyle \psi ^{-1}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{ if }}\qquad ~0~\quad \leq \ t\ \leq \ \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{ if }}\quad \psi (0;\theta )\ \leq \ t\ \leq \ \infty ~.\end{array}}\right.}

Además, la fórmula anterior para C produce una cópula para ψ−1 {\displaystyle \ \psi ^{-1}\ }si y solo siψ−1{\displaystyle \psi ^{-1}}es d - monótono en [0,∞) .{\displaystyle \ [0,\infty )~.}[ 15 ] Es decir, si es diferenciable d − 2 {\displaystyle \ d\ -\ 2\ }veces, y esos derivados satisfacen

(−1)kψ−1,(k)(t;θ)≥0{\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}

a pesar de t≥0 {\displaystyle \ t\geq 0\ }y k=0,1,…,d−2 {\displaystyle \ k=0,1,\dots ,d-2\ }y( −1)d−2ψ−1,(d−2)(t;θ) {\displaystyle (\ -1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )\ }es una función no creciente y convexa .

Las cópulas arquimedianas más importantes

Las siguientes tablas destacan las cópulas arquimedianas bivariadas más prominentes, con su generador correspondiente. No todas son completamente monótonas , es decir, d -monótonas para todas. d∈norte {\displaystyle \ d\in \mathbb {N} \ }o d -monótono para ciertos θ∈Θ {\displaystyle \ \theta \in \Theta \ }solo.

Expectativas para modelos de cópula e integración de Monte Carlo

En aplicaciones estadísticas, muchos problemas pueden formularse de la siguiente manera. Uno está interesado en la esperanza de una función de respuesta.gramo:Rd→R{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }aplicado a algún vector aleatorio(incógnita1,…,incógnitad){\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}. [ 18 ] Si denotamos la función de distribución acumulada de este vector aleatorio conH{\displaystyle H}, la cantidad de interés se puede escribir así como

mi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]=∫Rdgramo(incógnita1,…,incógnitad)dH(incógnita1,…,incógnitad).{\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}

SiH{\displaystyle H}viene dado por un modelo de cópula, es decir,

H(incógnita1,…,incógnitad)=do(F1(incógnita1),…,Fd(incógnitad)){\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}

Esta expectativa puede ser reescrita como

mi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]=∫[0,1]dgramo(F1−1(tú1),…,Fd−1(túd))ddo(tú1,…,túd).{\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}

En caso de que la cópula C sea absolutamente continua , es decir, C tiene una densidad c , esta ecuación se puede escribir como

mi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]=∫[0,1]dgramo(F1−1(tú1),…,Fd−1(túd))⋅do(tú1,…,túd)dtú1⋯dtúd,{\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}

y si cada distribución marginal tiene la densidadFi{\displaystyle f_{i}}Además, sostiene que

mi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]=∫Rdgramo(incógnita1,…incógnitad)⋅do(F1(incógnita1),…,Fd(incógnitad))⋅F1(incógnita1)⋯Fd(incógnitad)dincógnita1⋯dincógnitad.{\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}

Si se conocen la cópula y las distribuciones marginales (o si se han estimado), esta esperanza se puede aproximar mediante el siguiente algoritmo de Monte Carlo:

  1. Dibuja una muestra(U1k,…,Udk)∼do(k=1,…,norte){\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}de tamaño n de la cópula C
  2. Aplicando las funciones de distribución acumulada marginales inversas, se obtiene una muestra de(incógnita1,…,incógnitad){\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}al establecer(incógnita1k,…,incógnitadk)=(F1−1(U1k),…,Fd−1(Udk))∼H(k=1,…,norte){\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}
  3. Aproximadomi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]{\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}por su valor empírico:
mi⁡[gramo(incógnita1,…,incógnitad)]≈1norte∑k=1nortegramo(incógnita1k,…,incógnitadk){\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}

Cópulas empíricas

Al estudiar datos multivariados, uno podría querer investigar la cópula subyacente. Supongamos que tenemos observaciones

(incógnita1i,incógnita2i,…,incógnitadi),i=1,…,norte{\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}

a partir de un vector aleatorio(incógnita1,incógnita2,…,incógnitad){\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}con marginales continuas. Las observaciones de cópula "verdaderas" correspondientes serían

(U1i,U2i,…,Udi)=(F1(incógnita1i),F2(incógnita2i),…,Fd(incógnitadi)),i=1,…,norte.{\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}

Sin embargo, las funciones de distribución marginalesFi{\displaystyle F_{i}}Por lo general, no se conocen. Por lo tanto, se pueden construir observaciones de pseudocópula utilizando las funciones de distribución empíricas.

Fknorte(incógnita)=1norte∑i=1norte1(incógnitaki≤incógnita){\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}

En cambio, entonces las observaciones de la pseudocópula se definen como

(U~1i,U~2i,…,U~di)=(F1norte(incógnita1i),F2norte(incógnita2i),…,Fdnorte(incógnitadi)),i=1,…,norte.{\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}

La cópula empírica correspondiente se define entonces como

donorte(tú1,…,túd)=1norte∑i=1norte1(U~1i≤tú1,…,U~di≤túd).{\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}

Los componentes de las muestras de pseudocópula también se pueden escribir comoU~ki=Rki/norte{\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}, dóndeRki{\displaystyle R_{k}^{i}}es el rango de la observaciónincógnitaki{\displaystyle X_{k}^{i}}:

Rki=∑j=1norte1(incógnitakj≤incógnitaki){\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}

Por lo tanto, la cópula empírica puede considerarse como la distribución empírica de los datos transformados por rango.

Versión de muestra del coeficiente rho de Spearman: [ 19 ]

r=12norte2−1∑i=1norte∑j=1norte[donorte(inorte,jnorte)−inorte⋅jnorte]{\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}

Aplicaciones

finanzas cuantitativas

Ejemplos de cópulas bivariadas utilizadas en finanzas.
Ejemplos de cópulas bivariadas utilizadas en finanzas.

En finanzas cuantitativas, las cópulas se aplican a la gestión de riesgos , a la gestión y optimización de carteras y a la valoración de derivados .

En el primer caso, las cópulas se utilizan para realizar pruebas de estrés y comprobaciones de robustez, especialmente importantes durante "regímenes de crisis/pánico" donde pueden ocurrir eventos de caída extrema (por ejemplo, la crisis financiera de 2008 ). La fórmula también se adaptó para los mercados financieros y se utilizó para estimar la distribución de probabilidad de pérdidas en carteras de préstamos o bonos .

Durante un período bajista, un gran número de inversores que han mantenido posiciones en activos de mayor riesgo, como acciones o bienes raíces, pueden buscar refugio en inversiones más seguras, como efectivo o bonos. Esto también se conoce como efecto de huida hacia la calidad , y los inversores tienden a liquidar sus posiciones en activos de mayor riesgo en grandes cantidades en un corto período de tiempo. Como resultado, durante los períodos bajistas, las correlaciones entre las acciones son mayores a la baja que al alza, lo que puede tener efectos desastrosos en la economía. [ 22 ] [ 23 ] Por ejemplo, a modo de anécdota, a menudo leemos titulares de noticias financieras que informan sobre pérdidas de cientos de millones de dólares en la bolsa en un solo día; sin embargo, rara vez leemos informes de ganancias positivas en el mercado de valores de la misma magnitud y en el mismo corto período de tiempo.

Las cópulas ayudan a analizar los efectos de los regímenes bajistas al permitir modelar por separado las distribuciones marginales y la estructura de dependencia de un modelo de probabilidad multivariante. Por ejemplo, consideremos la bolsa de valores como un mercado compuesto por un gran número de operadores, cada uno con sus propias estrategias para maximizar sus ganancias. El comportamiento individual de cada operador puede describirse modelando las distribuciones marginales. Sin embargo, dado que todos los operadores operan en la misma bolsa, las acciones de cada operador interactúan entre sí. Esta interacción puede describirse modelando la estructura de dependencia. Por lo tanto, las cópulas permiten analizar los efectos de interacción, que son de particular interés durante los regímenes bajistas, ya que los inversores tienden a actuar en conjunto en sus decisiones de compraventa . (Véase también economía computacional basada en agentes , donde el precio se trata como un fenómeno emergente , resultado de la interacción de los diversos participantes del mercado, o agentes).

Los usuarios de la fórmula han sido criticados por crear "culturas de evaluación" que continuaron utilizando cópulas simples a pesar de que se reconoció que las versiones simples eran inadecuadas para ese propósito. [ 24 ] [ 25 ] Por lo tanto, anteriormente, los modelos de cópula escalables para grandes dimensiones solo permitían el modelado de estructuras de dependencia elípticas (es decir, cópulas gaussianas y t de Student) que no permiten asimetrías de correlación donde las correlaciones difieren en los regímenes alcistas o bajistas. Sin embargo, el desarrollo de cópulas de vid [ 26 ] (también conocidas como cópulas de pares ) permite el modelado flexible de la estructura de dependencia para carteras de grandes dimensiones. [ 27 ] La cópula de vid canónica de Clayton permite la ocurrencia de eventos bajistas extremos y se ha aplicado con éxito en aplicaciones de optimización de carteras y gestión de riesgos. El modelo es capaz de reducir los efectos de las correlaciones bajistas extremas y produce un mejor rendimiento estadístico y económico en comparación con las cópulas de dependencia elípticas escalables como la cópula gaussiana y la t de Student. [ 28 ]

Otros modelos desarrollados para aplicaciones de gestión de riesgos son las cópulas de pánico, que se combinan con estimaciones de mercado de las distribuciones marginales para analizar los efectos de los regímenes de pánico en la distribución de pérdidas y ganancias de la cartera. Las cópulas de pánico se crean mediante simulación de Monte Carlo , combinada con una ponderación de la probabilidad de cada escenario. [ 29 ]

En lo que respecta a la valoración de derivados , el modelado de dependencia con funciones de cópula se utiliza ampliamente en aplicaciones de evaluación de riesgos financieros y análisis actuarial , por ejemplo, en la valoración de obligaciones de deuda garantizadas (CDO). [ 30 ] Algunos creen que la metodología de aplicación de la cópula gaussiana a los derivados de crédito es una de las causas de la crisis financiera de 2008 ; [ 24 ] [ 31 ] [ 32 ] véase David X. Li §  CDO y cópula gaussiana .

A pesar de esta percepción, existen intentos documentados dentro de la industria financiera, ocurridos antes de la crisis, para abordar las limitaciones de la cópula gaussiana y de las funciones de cópula en general, específicamente la falta de dinámica de dependencia. La cópula gaussiana es deficiente ya que solo permite una estructura de dependencia elíptica, puesto que la dependencia solo se modela utilizando la matriz de varianza-covarianza. [ 28 ] Esta metodología es limitada de tal manera que no permite que la dependencia evolucione como los mercados financieros exhiben dependencia asimétrica, donde las correlaciones entre activos aumentan significativamente durante las recesiones en comparación con las alzas. Por lo tanto, los enfoques de modelado que utilizan la cópula gaussiana exhiben una representación deficiente de eventos extremos . [ 28 ] [ 33 ] Ha habido intentos de proponer modelos que rectifiquen algunas de las limitaciones de la cópula. [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

Además de los CDO, las cópulas se han aplicado a otras clases de activos como una herramienta flexible para analizar productos derivados multiactivos. La primera aplicación fuera del crédito consistió en utilizar una cópula para construir una superficie de volatilidad implícita de cesta , [ 36 ] teniendo en cuenta la sonrisa de volatilidad de los componentes de la cesta. Desde entonces, las cópulas han ganado popularidad en la valoración y gestión de riesgos [ 37 ] de opciones sobre multiactivos en presencia de una sonrisa de volatilidad, en derivados de renta variable , divisas y renta fija .

Ingeniería civil

Recientemente, las funciones de cópula se han aplicado con éxito a la formulación de bases de datos para el análisis de confiabilidad de puentes de carreteras y a diversos estudios de simulación multivariante en ingeniería civil, [ 38 ] confiabilidad de ingeniería eólica y sísmica, [ 39 ] e ingeniería mecánica y marina. [ 40 ] Los investigadores también están probando estas funciones en el campo del transporte para comprender la interacción entre los comportamientos de los conductores individuales que, en su conjunto, dan forma al flujo de tráfico.

Ingeniería de confiabilidad

Las cópulas se utilizan para el análisis de confiabilidad de sistemas complejos de componentes de máquinas con modos de falla competitivos. [ 41 ]

Análisis de datos de garantía

Las cópulas se utilizan para el análisis de datos de garantía en el que se analiza la dependencia de la cola. [ 42 ]

combustión turbulenta

Las cópulas se utilizan en el modelado de la combustión turbulenta parcialmente premezclada, que es común en los combustores prácticos. [ 43 ] [ 44 ]

Medicamento

Las cópulas tienen muchas aplicaciones en el ámbito de la medicina , por ejemplo,

  1. Las cópulas se han utilizado en el campo de la resonancia magnética (RM), por ejemplo, para segmentar imágenes , [ 45 ] para llenar un vacío de modelos gráficos en genética de imágenes en un estudio sobre esquizofrenia , [ 46 ] y para distinguir entre pacientes normales y pacientes con Alzheimer . [ 47 ]
  2. Las cópulas se han utilizado en el campo de la investigación cerebral basada en señales EEG , por ejemplo, para detectar somnolencia durante la siesta diurna, [ 48 ] para rastrear cambios en anchos de banda equivalentes instantáneos (IEBW), [ 49 ] para derivar sincronía para el diagnóstico temprano de la enfermedad de Alzheimer , [ 50 ] para caracterizar la dependencia en la actividad oscilatoria entre canales EEG, [ 51 ] y para evaluar la fiabilidad del uso de métodos para capturar la dependencia entre pares de canales EEG utilizando sus envolventes variables en el tiempo . [ 52 ] Las funciones de cópula se han aplicado con éxito al análisis de dependencias neuronales [ 53 ] y recuentos de picos en neurociencia. [ 54 ]
  3. Se ha desarrollado un modelo de cópula en el campo de la oncología , por ejemplo, para modelar conjuntamente genotipos , fenotipos y vías para reconstruir una red celular e identificar interacciones entre fenotipos específicos y múltiples características moleculares (por ejemplo, mutaciones y cambios en la expresión génica ). Bao et al. [ 55 ] utilizaron datos de la línea celular de cáncer NCI60 para identificar varios subconjuntos de características moleculares que, en conjunto, actúan como predictores de fenotipos clínicos. La cópula propuesta puede tener un impacto en la investigación biomédica , desde el tratamiento del cáncer hasta la prevención de enfermedades. Las cópulas también se han utilizado para predecir el diagnóstico histológico de lesiones colorrectales a partir de imágenes de colonoscopia [ 56 ] y para clasificar subtipos de cáncer [ 57 ] .
  4. Se ha desarrollado un modelo de análisis basado en cópulas en el campo de las enfermedades cardíacas y cardiovasculares , por ejemplo, para predecir la variación de la frecuencia cardíaca (FC). La frecuencia cardíaca (FC) es uno de los indicadores de salud más críticos para monitorear la intensidad y el grado de carga del ejercicio porque está estrechamente relacionada con la frecuencia cardíaca. Por lo tanto, una técnica precisa de predicción de FC a corto plazo puede brindar una alerta temprana eficaz para la salud humana y disminuir los eventos dañinos. Namazi (2022) [ 58 ] utilizó un nuevo algoritmo híbrido para predecir la FC.

Geodesia

La combinación de SSA y métodos basados ​​en cópulas se ha aplicado por primera vez como una nueva herramienta estocástica para la predicción de parámetros de orientación de la Tierra. [ 59 ] [ 60 ]

Investigación en hidrología

Las cópulas se han utilizado tanto en análisis teóricos como aplicados de datos hidroclimáticos. Los estudios teóricos adoptaron la metodología basada en cópulas, por ejemplo, para comprender mejor las estructuras de dependencia de la temperatura y la precipitación en diferentes partes del mundo. [ 9 ] [ 61 ] [ 62 ] Los estudios aplicados adoptaron la metodología basada en cópulas para examinar, por ejemplo, las sequías agrícolas [ 63 ] o los efectos conjuntos de los extremos de temperatura y precipitación en el crecimiento de la vegetación. [ 64 ]

Investigación sobre el clima y el tiempo

Las cópulas se han utilizado ampliamente en investigaciones relacionadas con el clima y el tiempo. [ 65 ] [ 66 ]

Variabilidad de la irradiancia solar

Se han utilizado cópulas para estimar la variabilidad de la irradiancia solar en redes espaciales y temporalmente para ubicaciones individuales. [ 67 ] [ 68 ]

Generación de vectores aleatorios

Se pueden generar trazas sintéticas grandes de vectores y series temporales estacionarias utilizando cópulas empíricas, preservando al mismo tiempo toda la estructura de dependencia de conjuntos de datos pequeños. [ 69 ] Dichas trazas empíricas son útiles en varios estudios de rendimiento basados ​​en simulación. [ 70 ]

Clasificación de motores eléctricos

Las cópulas se han utilizado para la clasificación de calidad en la fabricación de motores conmutados electrónicamente. [ 71 ]

Procesamiento de señales

Las cópulas son importantes porque representan una estructura de dependencia sin utilizar distribuciones marginales . Se han utilizado ampliamente en el campo de las finanzas , pero su uso en el procesamiento de señales es relativamente reciente. Se han empleado en el campo de las comunicaciones inalámbricas para clasificar señales de radar , la detección de cambios en aplicaciones de teledetección y el procesamiento de señales EEG en medicina .

Astronomía

Se han utilizado cópulas para determinar la función de luminosidad de radio central de los núcleos galácticos activos (AGN), [ 72 ] mientras que esto no se puede lograr utilizando métodos tradicionales debido a las dificultades en la completitud de la muestra.

Derivación matemática de la función de densidad de cópula

Para cualesquiera dos variables aleatorias X e Y , la función de distribución de probabilidad conjunta continua se puede escribir como

FincógnitaY(incógnita,y)=Pr{incógnita≤incógnita,Y≤y},{\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}

dóndeFincógnita(incógnita)=Pr{incógnita≤incógnita}{\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}y FY(y)=Pr{Y≤y}{\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}son las funciones de distribución acumulativa marginal de las variables aleatorias X e Y , respectivamente.

luego la función de distribución de la cópulado(tú,v){\displaystyle C(u,v)}puede definirse utilizando el teorema de Sklar [ 73 ] [ 6 ] como:

FincógnitaY(incógnita,y)=do(Fincógnita(incógnita),FY(y))≜do(tú,v),{\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}

dóndetú=Fincógnita(incógnita){\displaystyle u=F_{X}(x)}yv=FY(y){\displaystyle v=F_{Y}(y)}son funciones de distribución marginal,FincógnitaY(incógnita,y){\displaystyle F_{XY}(x,y)}articulación ytú,v∈(0,1){\displaystyle u,v\in (0,1)}.

ArroganteFincógnitaY(⋅,⋅){\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}es dos veces diferenciable, comenzamos utilizando la relación entre la función de densidad de probabilidad conjunta (PDF) y la función de distribución acumulativa conjunta (CDF) y sus derivadas parciales.

FincógnitaY(incógnita,y)=∂2FincógnitaY(incógnita,y)∂incógnita∂y⋮FincógnitaY(incógnita,y)=∂2do(Fincógnita(incógnita),FY(y))∂incógnita∂y⋮FincógnitaY(incógnita,y)=∂2do(tú,v)∂tú∂v⋅∂Fincógnita(incógnita)∂incógnita⋅∂FY(y)∂y⋮FincógnitaY(incógnita,y)=do(tú,v)Fincógnita(incógnita)FY(y)⋮FincógnitaY(incógnita,y)Fincógnita(incógnita)FY(y)=do(tú,v){\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}

dóndedo(tú,v){\displaystyle c(u,v)}es la función de densidad de la cópula,Fincógnita(incógnita){\displaystyle f_{X}(x)}yFY(y){\displaystyle f_{Y}(y)}son las funciones de densidad de probabilidad marginales de X e Y , respectivamente. Hay cuatro elementos en esta ecuación, y si se conocen tres de ellos, se puede calcular el cuarto. Por ejemplo, se puede utilizar,

  • Cuando se conoce la función de densidad de probabilidad conjunta entre dos variables aleatorias, se conoce la función de densidad de la cópula y se conoce una de las dos funciones marginales, entonces se puede calcular la otra función marginal, o
  • Cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de la cópula, entonces se puede calcular la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, o
  • Cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, se puede calcular la función de densidad de la cópula.

Lista de funciones de densidad de cópula y sus aplicaciones.

Diversas funciones de densidad de cópula bivariadas son importantes en el área del procesamiento de señales.tú=Fincógnita(incógnita){\displaystyle u=F_{X}(x)}yv=FY(y){\displaystyle v=F_{Y}(y)}son funciones de distribución marginales yFincógnita(incógnita){\displaystyle f_{X}(x)}yFY(y){\displaystyle f_{Y}(y)}son funciones de densidad marginal. Se ha demostrado que la extensión y generalización de las cópulas para el procesamiento estadístico de señales permite construir nuevas cópulas bivariadas para las distribuciones exponencial, Weibull y Rice. Zeng et al. [ 74 ] presentaron algoritmos, simulaciones, selección óptima y aplicaciones prácticas de estas cópulas en el procesamiento de señales.

Véase también

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Further reading

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  • A book covering current topics in mathematical research on copulas:
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  • A reference for sampling applications and stochastic models related to copulas is
Mai, Jan-Frederik; Scherer, Matthias (2012). Simulating Copulas. Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications. World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9.
  • A paper covering the historic development of copula theory, by the person associated with the "invention" of copulas, Abe Sklar.
Sklar, Abe (1997). "Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward". In Rüschendorf, L.; Schweizer, B.; Taylor, M. (eds.). Distributions with Fixed Marginals & Related Topics. Lecture Notes – Monograph Series. Vol. 28. ISBN 978-0-940600-40-9.
  • A standard reference for multivariate models and copula theory in the context of financial and insurance models is
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  • Mai, Jan-Frederik; Scherer, Matthias (2012). «Capítulo  1» (PDF) . Simulación de cópulas: modelos estocásticos, algoritmos de muestreo y aplicaciones . Serie de Finanzas Cuantitativas. Vol.  4. World Scientific. doi : 10.1142/p842 . ISBN 978-1-84816-874-9– vía worldscientific.com.— Copia gratuita del capítulo  1 proporcionada por la editorial.