conjunto gaussiano

Existen diversas convenciones para definir los conjuntos gaussianos. En este artículo, especificamos precisamente una de ellas.

En todas las definiciones, el conjunto gaussiano tiene una expectativa de cero .

• ${\displaystyle \beta }$: un número real positivo. Llamado índice de Dyson . Los casos de${\displaystyle \beta =1,2,4}$son especiales.
• ${\displaystyle N}$: la longitud del lado de una matriz. Siempre es un número entero positivo.
• ${\displaystyle W_{N}}$: una matriz muestreada de un conjunto gaussiano con tamaño${\displaystyle N\times N}$La carta${\displaystyle W}$significa "Wigner".
• ${\displaystyle M^{*}}$: el adjunto de una matriz. Suponemos${\displaystyle W_{N}=W_{N}^{*}}$( autoadjunto ) cuando${\displaystyle W_{N}}$se obtiene mediante muestreo de un conjunto gaussiano.
  • Si${\displaystyle M}$es real, entonces${\displaystyle M^{*}}$es su transpuesta .
  • Si${\displaystyle M}$es complejo o cuaterniónico, entonces${\displaystyle M^{*}}$es su transpuesta conjugada .
• ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$: los valores propios de la matriz, que son todos reales, ya que siempre se supone que las matrices son autoadjuntas.
• ${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$: la varianza de las entradas diagonales de la matriz. Suponemos que para cada${\displaystyle N}$, todas las entradas de la matriz en la diagonal tienen la misma varianza. Siempre se define como${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,}|^{2}]}$.
• ${\displaystyle \sigma _ {od}^{2}}$: la varianza de las entradas fuera de la diagonal de la matriz. Suponemos que para cada${\displaystyle N}$, todas las entradas de la matriz fuera de la diagonal tienen la misma varianza. Siempre se define como${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,ij}|^{2}]}$dónde${\displaystyle i\neq j}$.
  • Para un número complejo,${\displaystyle |a+bi|^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
  • Para un cuaternión ,${\displaystyle |a+bi+cj+dk|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$.
• ${\displaystyle Z}$: la función de partición .

Al consultar las principales obras de referencia, es necesario traducir las fórmulas que contienen, ya que cada convención da lugar a diferentes factores de escala constantes para las fórmulas.

A continuación se presentan definiciones equivalentes para los conjuntos GβE(N).

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$En estos casos, el conjunto GβE(N) se define por cómo se muestrea:

• Muestrear una matriz gaussiana${\displaystyle X_{N}}$, de tal manera que todas sus entradas sean muestras IID de la distribución normal estándar correspondiente.
  • Si${\displaystyle \beta =1}$, entonces${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.
  • Si${\displaystyle \beta =2}$, entonces${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$.
  • Si${\displaystyle \beta =4}$, entonces${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/4)+i{\mathcal {N}}(0,1/4)+j{\mathcal {N}}(0,1/4)+k{\mathcal {N}}(0,1/4)}$.
• Dejar${\displaystyle W_{N}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+X^{*})}$.

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$En estos casos, el conjunto GβE(N) se define con la función de densidad$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {\beta }{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$$donde la función de partición es${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\left({\frac {2\pi }{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}}$.

El conjunto ortogonal gaussiano GOE(N) se define como la distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$matrices simétricas con función de densidad$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}W_{N,ij}^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\mathrm {Tr} W_ {N}^{2}}}$$donde la función de partición es${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{4}}N(N+3)}\pi ^{{\frac {1}{4}}N(N+1)}}$.

Explícitamente, puesto que solo hay${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N+1)}$grados de libertad, la parametrización es la siguiente:$${\displaystyle \rho (W_{N})\prod _{1\leq i\leq j\leq N}dW_{N,ij}}$$donde seleccionamos las entradas de la diagonal superior${\displaystyle \{W_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$como los grados de libertad.

El conjunto unitario gaussiano GUE(N) se define como la distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$Matrices hermíticas con función de densidad$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$donde la función de partición es${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\pi ^{{\frac {1}{2}}N^{2}}}$.

Explícitamente, puesto que solo hay${\displaystyle N^{2}}$grados de libertad, la parametrización es la siguiente: $${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}d(\mathrm {Re} \,W_{N,ij})\,d(\mathrm {Im} \,W_{N,ij})}$$donde seleccionamos las entradas de la diagonal superior${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{\mathrm {Re} \,W_{N,ij},\,\mathrm {Im} \,W_{N,ij}\}_{1\leq i<j\leq N}}$como los grados de libertad.

El conjunto simpléctico gaussiano GSE(N) se define como la distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$Matrices cuaterniónicas autoadjuntas con función de densidad$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-2\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$donde la función de partición es${\displaystyle Z=2^{-N(N-1)}\pi ^{{\frac {1}{2}}N(2N-1)}}$.

Explícitamente, puesto que solo hay${\displaystyle N(2N-1)}$grados de libertad, la parametrización es la siguiente:$${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}\prod _{a=0}^{3}dW_{N,ij}^{(a)}}$$donde escribimos${\displaystyle W_{N,ij}=W_{N,ij}^{(0)}+i\,W_{N,ij}^{(1)}+j\,W_{N,ij}^{(2)}+k\,W_{N,ij}^{(3)}}$y seleccione las entradas de la diagonal superior${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{W_{N,ij}^{(a)}\}_{1\leq i<j\leq N,\;0\leq a\leq 3}}$como los grados de libertad.

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$En estos casos, el conjunto GβE(N) se caracteriza de forma única (salvo transformación afín ) por sus simetrías o invariancia bajo transformaciones apropiadas. ^{[ 3 ]}

Para GOE, considere una distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$Matrices simétricas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Invariancia bajo transformación ortogonal : Para cualquier fijo (no aleatorio)${\displaystyle N\times N}$matriz ortogonal${\displaystyle O}$, dejar${\displaystyle M}$Sea una muestra aleatoria de la distribución. Entonces${\displaystyle OMO^{T}}$tiene la misma distribución que${\displaystyle M}$.
• Independencia : Las entradas${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$se distribuyen de forma independiente.

Para GUE, considere una distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$Matrices hermíticas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Invariancia bajo transformación unitaria : Para cualquier fijo (no aleatorio)${\displaystyle N\times N}$matriz unitaria${\displaystyle U}$, dejar${\displaystyle M}$Sea una muestra aleatoria de la distribución. Entonces${\displaystyle UMU^{*}}$tiene la misma distribución que${\displaystyle M}$.
• Independencia: Las entradas${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$se distribuyen de forma independiente.

Para GSE, considere una distribución de probabilidad sobre${\displaystyle N\times N}$Matrices cuaterniónicas autoadjuntas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Invariancia bajo transformación simpléctica : Para cualquier fijo (no aleatorio)${\displaystyle N\times N}$matriz simpléctica${\displaystyle S}$, dejar${\displaystyle M}$Sea una muestra aleatoria de la distribución. Entonces${\displaystyle SMS^{*}}$tiene la misma distribución que${\displaystyle M}$.
• Independencia: Las entradas${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$se distribuyen de forma independiente.

En los 3 casos, estas condiciones obligan a que la distribución tenga la forma${\displaystyle \rho (M)={\frac {1}{Z}}e^{-a\operatorname {Tr} (M^{2})+b\operatorname {Tr} (M)}}$, dónde${\displaystyle a>0}$y${\displaystyle b,Z\in \mathbb {R} }$. Por lo tanto, con la especificación adicional de${\displaystyle {\frac {1}{N}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M)]=0,{\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$, recuperamos el GOE, GUE, GSE. ^{[ 4 ]} Cabe destacar que, si se exige mera invariancia, cualquier distribución espectral puede producirse multiplicando por una función de forma${\displaystyle f(\operatorname {Tr} (X),\operatorname {Tr} (X^{2}),\operatorname {Tr} (X^{3}),\dots )}$. ^{[ 5 ]}

Dicho de forma más concisa, cada uno de los GOE, GUE y GSE se especifica de manera única mediante la invariancia, la independencia, la media y la varianza.

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$En estos casos, el conjunto GβE(N) se define como el conjunto obtenido por${\displaystyle ADA^{*}}$, dónde

• ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N})}$es una matriz real diagonal cuyos elementos se muestrean según la densidad espectral, definida a continuación;
• ${\displaystyle A}$es una matriz ortogonal/unitaria/simpléctica muestreada uniformemente, es decir, a partir de la medida de Haar normalizada del grupo ortogonal / unitario / simpléctico .

De esta forma, el conjunto GβE(N) puede definirse después de que se haya definido primero la densidad espectral, de modo que cualquier método para motivar la densidad espectral luego motiva el conjunto GβE(N), y viceversa.

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$En estos casos, el conjunto GβE(N) se caracteriza de forma única como la distribución de probabilidad absolutamente continua.${\displaystyle \rho }$encima${\displaystyle N\times N}$Matrices reales/complejas/cuaterniónicas simétricas/ortogonales/simplécticas que maximizan la entropía${\displaystyle \mathbb {E} _{M\sim \rho }[-\ln \rho (M)]}$, bajo la restricción de${\displaystyle {\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} _{M\sim \rho }[\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$. ^{[ 6 ]}

Definir funciones${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}}}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}\operatorname {He} _{n}(x)}$, dónde${\displaystyle \operatorname {He} }$es el polinomio de Hermite del probabilista . Estos son los estados de la función de onda del oscilador armónico cuántico .

El espectro de GUE(N) es un proceso puntual determinante con núcleo${\displaystyle K_{N}(x,x'):=\sum _{n=0}^{N-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(x')}$y por la fórmula de Christoffel-Darboux ,$${\displaystyle K_{N}(x,x')={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}\left(x^{2}+x^{\prime 2}\right)}}{(N-1)!{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\operatorname {He} _{N}(x)\operatorname {He} _{N-1}\left(x^{\prime }\right)-\operatorname {He} _{N-1}(x)\operatorname {He} _{N}\left(x^{\prime }\right)}{x-x^{\prime }}}}$$Utilizando la forma confluente de Christoffel–Darboux y la recurrencia de tres términos de los polinomios de Hermite, la densidad espectral de GUE(N) para valores finitos de${\displaystyle N}$: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x)&={\frac {1}{N}}K_{N}(x,x)\\&={\frac {1}{N{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {1}{n!}}\operatorname {He} _{n}(x)^{2}\\&={\frac {e^{-x^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}N!}}\left(\operatorname {He} _{N}(x)^{2}-\operatorname {He} _{N+1}(x)\operatorname {He} _{N-1}(x)\right)\end{aligned}}}$$La distribución espectral de${\displaystyle \beta =1,4}$También se puede escribir como un proceso puntual determinante cuaterniónico que involucra polinomios antisimétricos ortogonales. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

A pesar de${\displaystyle \beta =1,2,4}$casos, dada una matriz muestreada${\displaystyle W_{N}}$A partir del conjunto GβE(N), podemos realizar una tridiagonalización mediante transformación de Householder para obtener una matriz tridiagonal.${\displaystyle T_{\beta ,N}}$, que tiene la misma distribución que$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{\beta }}}{\begin{bmatrix}a_{N}{\sqrt {2}}&b_{N-1}&0&\cdots &0\\b_{N-1}&a_{N-1}{\sqrt {2}}&b_{N-2}&\ddots &\vdots \\0&b_{N-2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{2}{\sqrt {2}}&b_{1}\\0&\cdots &0&b_{1}&a_{1}{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$$donde cada${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$tiene una distribución gaussiana y cada${\displaystyle b_{i}\sim \chi _{i\beta }}$tiene una distribución chi y todos${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N},b_{1},\dots ,b_{N-1}}$son independientes. El${\displaystyle \beta =1}$El caso se observó por primera vez en 1984, ^{[ 11 ]} y el caso general se observó en 2002. ^{[ 12 ]} Al igual que el operador diferencial de Laplace se puede discretizar en la matriz laplaciana , esta forma tridiagonal del conjunto gaussiano permite una reinterpretación de los conjuntos gaussianos como un conjunto no sobre matrices, sino sobre operadores diferenciales , específicamente, un "operador de Airy estocástico". Esto conduce, de manera más general, al estudio de matrices aleatorias como operadores estocásticos. ^{[ 2 ]}

Desde el punto de vista computacional, esto permite un muestreo eficiente de los valores propios, desde${\displaystyle O(N^{3})}$en la matriz completa, para simplemente${\displaystyle O(N^{2})}$en la matriz tridiagonal. Si solo se requiere un histograma de los valores propios con${\displaystyle m}$contenedores, el tiempo se puede reducir aún más a${\displaystyle O(Nm)}$, mediante el uso de las secuencias de Sturm . ^{[ 13 ]} Teóricamente, esta definición permite la extensión a todos${\displaystyle \beta >0}$casos, que conducen a los conjuntos beta gaussianos , ^{[ 14 ] [ 12 ]} y conjuntos beta gaussianos "antisimétricos". ^{[ 15 ]}

En relación con esto, dejemos${\displaystyle X_{N}}$ser un${\displaystyle N\times N}$matriz, con todas las entradas IID muestreadas de la distribución normal estándar correspondiente – por ejemplo, si${\displaystyle \beta =2}$, entonces${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$Luego, al aplicar repetidamente la transformación de Housholder solo en el lado izquierdo, se obtiene:${\displaystyle R_{N}=H_{1}\dots H_{N}X_{N}}$, donde cada${\displaystyle H_{i}}$es una matriz de Householder y${\displaystyle R_{N}}$es una matriz triangular superior con entradas independientes, de tal manera que cada${\displaystyle {\sqrt {\beta }}R_{N,ii}\sim \chi _{N+1-i}}$para${\displaystyle 1\leq i\leq N}$y cada uno${\displaystyle R_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/\beta )^{\otimes \beta }}$para${\displaystyle 1\leq i<j\leq N}$. ^{[ 16 ]}

La ley del semicírculo de Wigner establece que la distribución empírica de valores propios de${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}W_{N}}$converge en distribución a la distribución semicircular de Wigner con radio 2. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Es decir, la distribución en${\displaystyle [-2,+2]}$con función de densidad de probabilidad$${\displaystyle \rho _{sc}(x)={\frac {\sqrt {4-x^{2}}}{2\pi }}}$$

El requisito de que el conjunto de matrices sea un conjunto gaussiano es demasiado estricto para la ley del semicírculo de Wigner. De hecho, el teorema se aplica de forma general a conjuntos de matrices mucho más genéricos.

La densidad articular${\displaystyle \rho _{\beta ,N}}$se puede escribir como una medida de Gibbs :$${\displaystyle \rho _{\beta ,N}={\frac {1}{Z_{\beta ,N}^{\text{CG}}}}e^{-\beta E_{N}}}$$con la función de energía (también llamada hamiltoniano )${\displaystyle E_{N}={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}\ln |\lambda _{i}-\lambda _{j}|}$. Esto puede interpretarse físicamente como una distribución de Boltzmann de un sistema físico que consta de${\displaystyle N}$Cargas eléctricas unitarias idénticas, confinadas a moverse en la línea real, se repelen entre sí mediante el potencial de Coulomb bidimensional.${\displaystyle -\ln |x-y|}$, mientras que es atraído hacia el origen a través de un potencial cuadrático${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{2}}$Este es el modelo de gas de Coulomb para los valores propios.

En el límite macroscópico, uno se reescala${\displaystyle \lambda _{i}=N^{1/2}x_{i}}$y define la medida empírica${\displaystyle \mu _{N}=N^{-1}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i}}}$, obteniendo${\displaystyle E_{N}\approx {\frac {1}{2}}N^{2}\left({\mathcal {E}}[\mu ]+{\frac {1}{2}}\ln N\right)}$donde la función de campo medio$${\displaystyle {\mathcal {E}}[\mu ]={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }x^{2}\mu (dx)-\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\ln |x-y|\mu (dx)\mu (dy)}$$produce el orden principal${\displaystyle N^{2}}$término en${\displaystyle \ln Z_{\beta ,N}}$denominada energía libre del gas de Coulomb. La energía libre del gas de Coulomb se minimiza mediante la ley del semicírculo de Wigner.${\displaystyle d\mu _{sc}(x)=(2\pi )^{-1}{\sqrt {4-x^{2}}}1_{\{|x|\leq 2\}}dx}$, que da la densidad de autovalor límite. ^{[ 19 ]}

Alternativamente, supongamos que existe un${\displaystyle \rho _{b}}$, de modo que el potencial eléctrico cuadrático pueda recrearse (salvo una constante aditiva) mediante$${\displaystyle \int _{-2{\sqrt {N}}}^{2{\sqrt {N}}}-\ln |x-y|\rho _{b}(y)dy={\frac {1}{4}}x^{2}+C,\quad x\in [-2{\sqrt {N}},2{\sqrt {N}}].}$$Luego, imponiendo una carga eléctrica negativa de fondo fija de densidad${\displaystyle |\rho _{b}(y)|}$anula exactamente la repulsión eléctrica entre las cargas positivas que se mueven libremente. Tal función sí existe:${\displaystyle \rho _{b}(y)=-{\frac {\sqrt {4N-y^{2}}}{2N\pi }}}$, que se puede encontrar resolviendo una ecuación integral . Esto indica que la distribución semicircular de Wigner es la distribución de equilibrio. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

fluctuaciones gaussianas alrededor de${\displaystyle \mu _{sc}}$obtenido mediante expansión${\displaystyle E_{N}}$de segundo orden producen el núcleo sinusoidal en el volumen y el núcleo de Airy en el borde suave después del reescalado adecuado.

El mayor valor propio para GβE(N) sigue la distribución de Tracy-Widom después de una traslación y escalado adecuados. ^{[ 23 ]} Puede ser muestreado eficientemente por el algoritmo de Lanczos de desplazamiento e inversión en el${\displaystyle 10n^{1/3}\times 10n^{1/3}}$esquina superior izquierda de la forma de matriz tridiagonal . ^{[ 24 ]}

A partir de valores propios ordenados${\displaystyle \lambda _{1}<\dots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\dots <\lambda _{N}}$, definir espaciados normalizados${\displaystyle s_{n}={\frac {\lambda _{n+1}-\lambda _{n}}{\langle s\rangle }}}$con espaciamiento medio${\displaystyle \langle s\rangle }$Esto normaliza los espaciados mediante:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \int _{0}^{\infty }s\,p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \beta =1,2,4.}$$Con esto, las distribuciones de espaciamiento aproximadas son $${\displaystyle p_{\beta }(s)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}s\exp \left(-{\frac {\pi }{4}}s^{2}\right)&\beta =1\\{\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\exp \left(-{\frac {4}{\pi }}s^{2}\right)&\beta =2\\{\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\exp \left(-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}\right)&\beta =4\\\end{cases}}}$$

Para GOE(N), su función generadora de momentos es${\textstyle \mathbb {E} \left[e^{\operatorname {Tr} (VW_{N})}\right]=e^{{\frac {1}{4}}\|V+V^{\text{T}}\|_{F}^{2}}}$, dónde${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$es la norma de Frobenius .

El ensamble gaussiano se originó en la física teórica. En la década de 1940, Eugene Wigner estudió los espaciamientos irregulares de las resonancias de neutrones lentos en núcleos pesados. Trabajando con las pocas docenas de niveles disponibles entonces, notó una marcada repulsión entre líneas vecinas .

En 1951, modeló el hamiltoniano de un núcleo compuesto de forma mínima. ^{[ 26 ]} Observó que, por consideraciones de simetría, debía ser un operador simétrico real, por lo que lo modeló como una muestra aleatoria del GOE(N). Resolvió el caso 2×2 y halló la ley de espaciamiento de dos niveles.${\displaystyle P(s)={\frac {\pi }{2}}se^{-\pi s^{2}/4}}$, que coincidía bien con los datos. Difundió su suposición ("la conjetura de Wigner") durante una conferencia sobre física de neutrones por tiempo de vuelo en 1956: ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}

Quizás ahora me arriesgo demasiado al intentar adivinar la distribución de las distancias entre niveles sucesivos (de energías de núcleos pesados). Teóricamente, la situación es bastante sencilla si se aborda el problema de forma simple. La pregunta es, sencillamente, cuáles son las distancias de los valores característicos de una matriz simétrica con coeficientes aleatorios.

Freeman Dyson planteó el proyecto como una teoría estadística de los niveles de energía nuclear, en contraposición a los cálculos precisos basados ​​en un modelo analítico del núcleo. Argumentó que una teoría estadística era necesaria, ya que los niveles de energía medidos entonces eran del orden de millones, y para un orden tan elevado, los cálculos precisos eran simplemente imposibles. La idea era diferente de la forma entonces comprendida de mecánica estadística, pues en lugar de tener un sistema con leyes dinámicas precisamente definidas, con demasiadas partículas interactuando bajo él, lo que requeriría un tratamiento estadístico de las partículas, modelaría las leyes dinámicas mismas como desconocidas y, por lo tanto, tratadas estadísticamente. ^{[ 30 ]}

En 1962, Dyson propuso el "Método Triple" para motivar los tres conjuntos, demostrando que en 3 campos ( representación de grupos , mecánica cuántica, teoría de matrices aleatorias) existe una disyunción triple, que él rastreó hasta el teorema de Frobenius que establece que solo existen 3 álgebras de división reales: la real, la compleja y la cuaterniónica. ^{[ 31 ]} Una matriz aleatoria que representa un hamiltoniano${\displaystyle H}$puede ser clasificado por un operador antiunitario${\displaystyle T}$que describe la simetría de inversión temporal . La clasificación depende de si${\displaystyle T}$existe presente y, de ser así, el valor de${\displaystyle T^{2}}$Cada clase de simetría produce una restricción sobre la forma posible de${\displaystyle H}$y el conjunto gaussiano correspondiente puede entonces motivarse como una distribución de entropía máxima, como se describió anteriormente .

Si${\displaystyle T^{2}=+1}$, el hamiltoniano${\displaystyle H}$Debe ser simétrico real. Esto suele ocurrir en sistemas sin campo magnético y con partículas sin espín o partículas con espín entero y una interacción espín-órbita insignificante . Esto se da en la distribución del espaciado de niveles en estados compuestos nucleares, la motivación original de Wigner.

Si${\displaystyle T}$no existe, entonces${\displaystyle H}$Solo se requiere que sea hermitiana. La simetría de inversión temporal puede romperse mediante un campo magnético homogéneo , flujos magnéticos aleatorios o láseres selectivos de espín . En estos casos, los elementos de matriz fuera de la diagonal adquieren fases complejas independientes.

• Cavidades de microondas caóticas con ferrita: La adición de un fuerte campo magnético axial provoca que las estadísticas de nivel transiten continuamente de GOE a GUE, lo que fue una confirmación de la conjetura BGS . ^{[ 32 ]}
• Efecto Hall cuántico : La física de los estados de borde del efecto Hall cuántico y los niveles de Landau se modela mediante la ecuación GUE debido a que el fuerte campo magnético perpendicular rompe la simetría de inversión temporal.
• Localización de Anderson en 3-D: La aplicación de un flujo de Aharonov-Bohm puede llevar las estadísticas de un sistema de GOE a GUE en una transición metal-aislante inducida por desorden. ^{[ 33 ]}

Si${\displaystyle T^{2}=-1}$Entonces, esto es una consecuencia del teorema de Kramers para sistemas con espín semientero e interacción espín-órbita significativa . Los hamiltonianos resultantes se describen naturalmente mediante matrices cuaterniónicas hermíticas. Esto se ha observado en el doblete de Kramers ^{[ 34 ]} y en muchos sistemas cuánticos caóticos. También es posible construir un sistema de este tipo sin espín. ^{[ 35 ]}