transformaciones covariantes generales

En física , las transformaciones covariantes generales son simetrías de la teoría de la gravitación en una variedad de mundo.${\displaystyle X}$Son transformaciones de gauge cuyas funciones de parámetros son campos vectoriales en${\displaystyle X}$Desde el punto de vista físico, las transformaciones covariantes generales se tratan como transformaciones de marco de referencia particulares ( holonómicas ) en la relatividad general . En matemáticas , las transformaciones covariantes generales se definen como automorfismos particulares de los llamados fibrados naturales .

Dejar${\displaystyle \pi :Y\to X}$ser una variedad fibrada con coordenadas fibradas locales${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$. Cada automorfismo de${\displaystyle Y}$se proyecta sobre un difeomorfismo de su base${\displaystyle X}$Sin embargo, lo contrario no es cierto. Un difeomorfismo de${\displaystyle X}$no tiene por qué dar lugar a un automorfismo de${\displaystyle Y}$.

En particular, un generador infinitesimal de un grupo de Lie de un parámetro de automorfismos de${\displaystyle Y}$es un campo vectorial proyectable

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

en${\displaystyle Y}$Este campo vectorial se proyecta sobre un campo vectorial.${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$en${\displaystyle X}$, cuyo flujo es un grupo uniparamétrico de difeomorfismos de${\displaystyle X}$. Por el contrario, dejemos${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\partial _ {\lambda }}$sea ​​un campo vectorial en${\displaystyle X}$. Existe un problema al construir su elevación a un campo vectorial proyectable en${\displaystyle Y}$proyectado sobre${\displaystyle \tau }$. Tal elevación siempre existe, pero no tiene por qué ser canónica. Dada una conexión${\displaystyle \Gamma }$en${\displaystyle Y}$, cada campo vectorial${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$da lugar al campo vectorial horizontal

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

en${\displaystyle Y}$Este elevador horizontal${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$produce un monomorfismo del${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-módulo de campos vectoriales en${\displaystyle X}$hacia${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$-módulo de campos vectoriales en${\displaystyle Y}$, pero este monomorfismo no es un morfismo de álgebra de Lie, a menos que${\displaystyle \Gamma }$es plano.

Sin embargo, existe una categoría de los conjuntos naturales mencionados anteriormente.${\displaystyle T\to X}$que admiten el levantamiento funtorial${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$sobre${\displaystyle T}$de cualquier campo vectorial${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$es un monomorfismo de álgebra de Lie

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

Este ascensor funcional${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$es una transformación covariante general infinitesimal de${\displaystyle T}$.

En un contexto general, se considera un monomorfismo.${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$de un grupo de difeomorfismos de${\displaystyle X}$a un grupo de automorfismos de fibrado de un fibrado natural${\displaystyle T\to X}$Automorfismos${\displaystyle {\widetilde {f}}}$se denominan transformaciones covariantes generales de${\displaystyle T}$. Por ejemplo, ningún automorfismo vertical de${\displaystyle T}$es una transformación covariante general.

Los haces naturales se ejemplifican con los haces tensoriales . Por ejemplo, el haz tangente.${\displaystyle TX}$de${\displaystyle X}$es un haz natural. Cada difeomorfismo${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$da lugar al automorfismo tangente${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$de${\displaystyle TX}$que es una transformación covariante general de${\displaystyle TX}$. Con respecto a las coordenadas holonómicas${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$en${\displaystyle TX}$, esta transformación se lee

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.}$

Un paquete de marcos${\displaystyle FX}$de marcos tangentes lineales en${\displaystyle TX}$también es un fibrado natural. Las transformaciones covariantes generales constituyen un subgrupo de automorfismos holonómicos de${\displaystyle FX}$. Todos los haces asociados con un haz de marco son naturales. Sin embargo, hay haces naturales que no están asociados con${\displaystyle FX}$.

• Covarianza general
• teoría de la gravitación de gauge
• colector de fibra

• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Fibrados, variedades de jets y teoría lagrangiana, Lambert Academic Publishing: Saarbrücken, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv : 0908.1886
• Saunders, DJ (1989), La geometría de los haces de jets , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7