Mundo múltiple

En la teoría de la gravitación , una variedad de mundo dotada de una métrica pseudoriemanniana lorentziana y una estructura espaciotemporal asociada es un espaciotiempo . La teoría de la gravitación se formula como una teoría de campos clásica sobre fibrados naturales en una variedad de mundo.

Una variedad de mundo es una variedad real lisa orientable de cuatro dimensiones . Se supone que es un espacio topológico de Hausdorff y de segundo orden numerable . En consecuencia, es un espacio localmente compacto que es una unión de un número numerable de subconjuntos compactos, un espacio separable , un espacio paracompacto y completamente regular . Al ser paracompacto, una variedad de mundo admite una partición de la unidad por funciones lisas. La paracompacidad es una característica esencial de una variedad de mundo. Es necesaria y suficiente para que una variedad de mundo admita una métrica riemanniana y necesaria para la existencia de una métrica pseudoriemanniana. Se supone que una variedad de mundo es conexa y, en consecuencia, es conexa por arcos .

El fibrado tangente${\displaystyle TX}$de un mundo múltiple${\displaystyle X}$y el conjunto de marcos principales asociado${\displaystyle FX}$de marcos tangentes lineales en${\displaystyle TX}$poseer una estructura de grupo lineal general grupo${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$Un mundo múltiple${\displaystyle X}$Se dice que es paralelizable si el fibrado tangente${\displaystyle TX}$y, en consecuencia, el conjunto de marcos${\displaystyle FX}$son triviales, es decir, existe una sección global (un campo de marco ) de${\displaystyle FX}$Es esencial que la tangente y los haces asociados sobre una variedad de mundo admitan un atlas de haces de un número finito de cartas de trivialización.

Los fibrados tangentes y de marco sobre una variedad de mundo son fibrados naturales caracterizados por transformaciones covariantes generales . Estas transformaciones son simetrías de gauge de la teoría de la gravitación en una variedad de mundo.

En virtud del conocido teorema sobre la reducción de grupos de estructura , un grupo de estructura${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$de un paquete de marcos${\displaystyle FX}$sobre un mundo múltiple${\displaystyle X}$siempre es reducible a su subgrupo compacto máximo.${\displaystyle SO(4)}$. La sección global correspondiente del conjunto cociente${\displaystyle FX/SO(4)}$es una métrica riemanniana${\displaystyle g^{R}}$en${\displaystyle X}$Por lo tanto, una variedad de mundo siempre admite una métrica riemanniana que hace que...${\displaystyle X}$un espacio topológico métrico .

De acuerdo con el principio de equivalencia geométrica , una variedad de mundo posee una estructura lorentziana , es decir, un grupo estructural de un fibrado de marcos.${\displaystyle FX}$debe reducirse a un grupo de Lorentz${\displaystyle SO(1,3)}$. La sección global correspondiente del conjunto cociente${\displaystyle FX/SO(1,3)}$es una métrica pseudoriemanniana${\displaystyle g}$de firma${\displaystyle (+,---)}$en${\displaystyle X}$Se trata como un campo gravitatorio en la relatividad general y como un campo de Higgs clásico en la teoría de la gravitación de gauge .

No es necesario que exista una estructura lorentziana. Por lo tanto, se supone que una variedad de mundo satisface una determinada condición topológica: un espacio topológico no compacto o un espacio compacto con característica de Euler nula . Generalmente, también se requiere que la variedad de mundo admita una estructura espinorial para describir los campos de fermiones de Dirac en la teoría de la gravitación. Existe una obstrucción topológica adicional para la existencia de esta estructura. En particular, una variedad de mundo no compacta debe ser paralelizable.

Si un grupo de estructuras de un paquete de marcos${\displaystyle FX}$es reducible a un grupo de Lorentz, este último siempre es reducible a su subgrupo compacto maximal.${\displaystyle SO(3)}$Por lo tanto, existe el diagrama conmutativo.

${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )\to SO(4)}$

${\displaystyle \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow }$

${\displaystyle SO(1,3)\to SO(3)}$

de la reducción de grupos estructurales de un haz de marcos${\displaystyle FX}$en la teoría de la gravitación. Este diagrama de reducción da como resultado lo siguiente.

(i) En la teoría de la gravitación en una variedad de mundo${\displaystyle X}$Siempre se puede elegir un atlas de un conjunto de marcos.${\displaystyle FX}$(caracterizado por campos de marco local)${\displaystyle \{h^{\lambda }\}}$) con${\displaystyle SO(3)}$funciones de transición con valores en . Estas funciones de transición conservan un componente de tipo temporal.${\displaystyle h_{0}=h_{0}^{\mu }\partial _{\mu }}$de campos de marco local que, por lo tanto, está definido globalmente. Es un campo vectorial que no se anula en ninguna parte.${\displaystyle X}$. En consecuencia, el campo covectorial dual de tipo temporal${\displaystyle h^{0}=h_{\lambda }^{0}dx^{\lambda }}$También se define globalmente y produce una distribución espacial.${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset TX}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle h^{0}\rfloor {\mathfrak {F}}=0}$. Entonces el fibrado tangente${\displaystyle TX}$de un mundo múltiple${\displaystyle X}$admite una descomposición espacio-temporal ${\displaystyle TX={\mathfrak {F}}\oplus T^{0}X}$, dónde${\displaystyle T^{0}X}$es un haz de fibras unidimensional generado por un campo vectorial de tipo temporal.${\displaystyle h_{0}}$Esta descomposición se llama${\displaystyle g}$-estructura espaciotemporal compatible . Hace que el mundo sea una variedad del espaciotemporal.

(ii) Dado el diagrama de reducción de grupos estructurales mencionado anteriormente, sea${\displaystyle g}$y${\displaystyle g^{R}}$sean las métricas pseudoriemannianas y riemannianas correspondientes en${\displaystyle X}$Forman un trío${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$obedeciendo la relación

${\displaystyle g=2h^{0}\otimes h^{0}-g^{R}}$.

Por el contrario, dejemos un mundo múltiple${\displaystyle X}$admitir una forma única que desaparece en ninguna parte${\displaystyle \sigma }$(o, equivalentemente, un campo vectorial que no se anula en ninguna parte). Entonces, cualquier métrica riemanniana${\displaystyle g^{R}}$en${\displaystyle X}$produce la métrica pseudoriemanniana

${\displaystyle g={\frac {2}{g^{R}(\sigma ,\sigma )}}\sigma \otimes \sigma -g^{R}}$.

De ello se deduce que un mundo múltiple${\displaystyle X}$admite una métrica pseudoriemanniana si y solo si existe un campo vectorial (o covector) que no se anula en ningún punto.${\displaystyle X}$.

Tengamos en cuenta que un${\displaystyle g}$-métrica riemanniana compatible${\displaystyle g^{R}}$ en un triple ${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$define un${\displaystyle g}$Función de distancia compatible en una variedad del mundo${\displaystyle X}$. Dicha función trae${\displaystyle X}$en un espacio métrico cuya topología euclidiana local es equivalente a una topología de variedad en${\displaystyle X}$Dado un campo gravitatorio${\displaystyle g}$, el${\displaystyle g}$Las métricas riemannianas compatibles y las funciones de distancia correspondientes son diferentes para distintas distribuciones espaciales.${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ y${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$De ello se deduce que los observadores físicos asociados a estas diferentes distribuciones espaciales perciben un mundo múltiple.${\displaystyle X}$como diferentes espacios riemannianos. Los conocidos cambios relativistas de tamaño de los cuerpos en movimiento ejemplifican este fenómeno.

Sin embargo, se intenta derivar una topología del mundo directamente de una estructura espaciotemporal (una topología de caminos , una topología de Alexandrov ). Si un espaciotemporal satisface la condición de causalidad fuerte , dichas topologías coinciden con una topología de variedad familiar de una variedad del mundo. En el caso general, sin embargo, resultan bastante extraordinarias.

Una estructura espacio-temporal se denomina integrable si una distribución espacial${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ es involutiva. En este caso, sus variedades integrales constituyen una foliación espacial de una variedad del mundo cuyas hojas son subespacios espaciales tridimensionales. Una foliación espacial se denomina causal si ninguna curva transversal a sus hojas interseca cada hoja más de una vez. Esta condición es equivalente a la causalidad estable de Stephen Hawking . Una foliación espacio-temporal es causal si y solo si es una foliación de superficies de nivel de alguna función real suave en${\displaystyle X}$cuya diferencial no desaparece en ninguna parte. Tal foliación es una variedad fibrada.${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$Sin embargo, este no es el caso de un colector mundial compacto que no puede ser un colector fibrado sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La causalidad estable no proporciona la estructura causal más simple. Si una variedad fibrada${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$es un fibrado, es trivial, es decir, una variedad de mundo${\displaystyle X}$es una variedad hiperbólica global${\displaystyle X=\mathbb {R} \times M}$Dado que cualquier variedad tridimensional orientada es paralelizable, una variedad de mundo globalmente hiperbólica también lo es.

• Espaciotiempo
• Matemáticas de la relatividad general
• teoría de la gravitación de gauge

• SW Hawking , GFR Ellis , La estructura a gran escala del espacio-tiempo (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973) ISBN 0-521-20016-4
• CTG Dodson, Categorías, paquetes y topología del espacio-tiempo (Shiva Publ. Ltd., Orpington, Reino Unido, 1980) ISBN 0-906812-01-1

• Sardanashvily, G. (2011). "Teoría clásica de la gravitación de gauge". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 8 (8): 1869– 1895. arXiv : 1110.1176 . Bibcode : 2011IJGMM..08.1869S . doi : 10.1142/S0219887811005993 . S2CID 119711561 .