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Número de Fermat

En matemáticas , un número de Fermat , llamado así en honor a Pierre de Fermat (1601-1665), el primero conocido en estudiarlos, es un entero positivo de la forma: F norte = 2 2 ...

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En matemáticas , un número de Fermat , llamado así en honor a Pierre de Fermat (1601-1665), el primero conocido en estudiarlos, es un entero positivo de la forma:Fnorte=22norte+1,{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}donde n es un entero no negativo . Los primeros números de Fermat son: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, 340282366920938463463374607431768211457, ... (secuencia A000215 en el OEIS ) .

Si 2k + 1 es primo y k > 0 , entonces k mismo debe ser una potencia de 2, [ 1 ] por lo que 2k + 1 es un número de Fermat; tales primos se llaman primos de Fermat . A partir de 2026, los únicos primos de Fermat conocidos son F 0 = 3 , F 1 = 5 , F 2 = 17 , F 3 = 257 , y F 4 = 65537 (secuencia A019434 en el OEIS ) .

Propiedades básicas

Los números de Fermat satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia :

Fnorte=(Fnorte−1−1)2+1{\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}
Fnorte=F0F1⋯Fnorte−1+2{\displaystyle F_{n}=F_{0}F_{1}\cdots F_{n-1}+2}

para n ≥ 1,

Fnorte=Fnorte−1+22norte−1F0F1⋯Fnorte−2{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\cdots F_{n-2}}
Fnorte=Fnorte−12−2(Fnorte−2−1)2{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}

para n ≥ 2. Cada una de estas relaciones se puede demostrar por inducción matemática . De la segunda ecuación, podemos deducir el teorema de Goldbach (llamado así por Christian Goldbach ): no hay dos números de Fermat que compartan un factor entero común mayor que 1. Para ver esto, supongamos que 0 ≤ i < j y F i y F j tienen un factor común a > 1. Entonces a divide a ambos

F0F1⋯Fj−1{\displaystyle F_{0}F_{1}\cdots F_{j-1}}

y F j ; por lo tanto, a divide su diferencia, 2. Dado que a > 1 , esto obliga a a = 2 . Esto es una contradicción , porque cada número de Fermat es claramente impar. Como corolario , obtenemos otra prueba de la infinitud de los números primos : para cada F n , elijamos un factor primo p n ; entonces la secuencia { p n } es una secuencia infinita de primos distintos.

Otras propiedades

  • Ningún número primo de Fermat puede expresarse como la diferencia de dos potencias p , donde p es un número primo impar.
  • Con la excepción de F 0 y F 1 , el último dígito decimal de un número de Fermat es 7.
  • La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (secuencia A051158 en la OEIS ) es irracional . ( Solomon W. Golomb , 1963)

Primalidad

Los números de Fermat y los primos de Fermat fueron estudiados por primera vez por Pierre de Fermat, quien conjeturó que todos los números de Fermat son primos. De hecho, se demuestra fácilmente que los primeros cinco números de Fermat F₀ , ..., F₄ son primos. La conjetura de Fermat fue refutada por Leonhard Euler en 1732 cuando demostró, dividiendo por 641 que

F5=225+1=232+1=4294967297=641×6700417.{\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}

Euler demostró que cada factor de F n debe tener la forma k 2 n +1 + 1 (más tarde mejorada a k 2 n +2 + 1 por Lucas ) para n ≥ 2 .

Que 641 es un factor de F 5 se puede deducir, en retrospectiva, de la siguiente manera: De las igualdades 641  =  2 7  ×  5  +  1 y 641  =  2 4  +  5 4 . Se deduce de la primera igualdad que 2 7  ×  5  ≡  −1  (mod  641) y por lo tanto (elevando a la cuarta potencia) que 2 28  ×  5 4  ≡  1  (mod  641). Por otro lado, la segunda igualdad implica que 5 4  ≡  −2 4  (mod  641). Estas congruencias implican que 2 32  ≡  −1  (mod  641).

Fermat probablemente conocía la forma de los factores que Euler demostró posteriormente, por lo que resulta curioso que no llevara a cabo el cálculo sencillo para hallar el factor. [ 2 ] Una explicación común es que Fermat cometió un error de cálculo.

No se conocen otros números primos de Fermat F n con n > 4 , pero se sabe poco sobre los números de Fermat para n grande . [ 3 ] De hecho, cada uno de los siguientes es un problema abierto:

A diciembre de 2025 Se sabe que F n es compuesto para 5 ≤ n ≤ 32 , aunque de estos, las factorizaciones completas de F n se conocen solo para 0 ≤ n ≤ 11 , y no se conocen factores primos para n = 20 y n = 24. [ 5 ] El mayor número de Fermat conocido que es compuesto es F 18233954 , y su factor primo 7 × 2 18233956 + 1 fue descubierto en octubre de 2020.

argumentos heurísticos

Las heurísticas sugieren que F 4 es el último número primo de Fermat.

El teorema de los números primos implica que un entero aleatorio en un intervalo adecuado alrededor de N es primo con probabilidad 1 / ln N. Si se utiliza la heurística de que un número de Fermat es primo con la misma probabilidad que un entero aleatorio de su tamaño, y que F 5 , ..., F 32 son compuestos, entonces el número esperado de primos de Fermat más allá de F 4 (o equivalentemente, más allá de F 32 ) debería ser

∑norte≥331ln⁡Fnorte<1ln⁡2∑norte≥331registro2⁡(22norte)=1ln⁡22−32<3.36×10−10.{\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}

Este número puede interpretarse como un límite superior para la probabilidad de que exista un número primo de Fermat más allá de F 4 .

Este argumento no constituye una prueba rigurosa. Para empezar, presupone que los números de Fermat se comportan de forma aleatoria, pero los factores de los números de Fermat poseen propiedades especiales. Boklan y Conway publicaron un análisis más preciso que sugiere que la probabilidad de que exista otro primo de Fermat es inferior a una entre mil millones. [ 6 ]

Anders Bjorn y Hans Riesel estimaron el número de factores cuadrados de los números de Fermat desde F 5 en adelante como

∑norte≥5∑k≥11k(k2norte+1)ln⁡(k2norte)<π26ln⁡2∑norte≥51norte2norte≈0,02576;{\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\aprox 0,02576;}

En otras palabras, es improbable que existan números de Fermat que no sean libres de cuadrados, y en general factores cuadrados dea2norte+b2norte{\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}son muy raros para n grande . [ 7 ]

Condiciones equivalentes

DejarFnorte=22norte+1{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}Sea el n -ésimo número de Fermat. La prueba de Pépin establece que para n > 0 ,

Fnorte{\displaystyle F_{n}}es primo si y solo si3(Fnorte−1)/2≡−1(modFnorte).{\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}

La expresión3(Fnorte−1)/2{\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}puede evaluarse móduloFnorte{\displaystyle F_{n}}mediante elevación al cuadrado repetida . Esto convierte la prueba en un algoritmo rápido de tiempo polinomial . Pero los números de Fermat crecen tan rápidamente que solo se puede comprobar un puñado de ellos en un tiempo y espacio razonables.

Existen algunas pruebas para números de la forma k 2 m + 1 , como los factores de los números de Fermat, para determinar su primalidad.

Teorema de Proth (1878). Sea N = k 2 m + 1 con k impar < 2 m . Si existe un entero a tal que
a(norte−1)/2≡−1(modnorte){\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}
entoncesnorte{\displaystyle N}es primo. Por el contrario, si la congruencia anterior no se cumple, y además
(anorte)=−1{\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}(Véase el símbolo de Jacobi )
entoncesnorte{\displaystyle N}es compuesto.

Si N = F n > 3 , entonces el símbolo de Jacobi anterior siempre es igual a −1 para a = 3 , y este caso especial del teorema de Proth se conoce como la prueba de Pépin . Aunque la prueba de Pépin y el teorema de Proth se han implementado en computadoras para demostrar la composición de algunos números de Fermat, ninguna de las pruebas proporciona un factor no trivial específico. De hecho, no se conocen factores primos específicos para n = 20 y  24.

Factorización

Debido al tamaño de los números de Fermat, es difícil factorizarlos o incluso comprobar su primalidad. La prueba de Pépin proporciona una condición necesaria y suficiente para la primalidad de los números de Fermat y puede ser implementada por ordenadores modernos. El método de la curva elíptica es un método rápido para encontrar divisores primos pequeños de números. El proyecto de computación distribuida Fermatsearch ha encontrado algunos factores de los números de Fermat. El método de Yves Gallot proth.exese ha utilizado para encontrar factores de números de Fermat grandes. Édouard Lucas , mejorando el resultado de Euler mencionado anteriormente, demostró en 1878 que cada factor del número de FermatFnorte{\displaystyle F_{n}}, con n al menos 2, es de la formak×2norte+2+1{\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}(véase el número de Proth ), donde k es un entero positivo. Por sí solo, esto facilita demostrar la primalidad de los primos de Fermat conocidos.

Las factorizaciones de los primeros 12 números de Fermat son:

A partir de enero de 2025 , solo F 0 a F 11 han sido factorizados completamente . [ 5 ] El proyecto de computación distribuida Fermat Search está buscando nuevos factores de los números de Fermat. [ 9 ] El conjunto de todos los factores de Fermat es A050922 (o, ordenado, A023394 ) en OEIS .

Los siguientes factores de los números de Fermat eran conocidos antes de 1950 (desde entonces, las computadoras digitales han ayudado a encontrar más factores):

A diciembre de 2025 Se conocen 375 factores primos de los números de Fermat, y se sabe que 330 números de Fermat son compuestos. [ 5 ] Cada año se descubren varios factores de Fermat nuevos. [ 10 ]

Números pseudoprimos y números de Fermat

Al igual que los números compuestos de la forma 2 p − 1, cada número de Fermat compuesto es un pseudoprimo fuerte en base 2. Esto se debe a que todos los pseudoprimos fuertes en base 2 también son pseudoprimos de Fermat , es decir,

2Fnorte−1≡1(modFnorte){\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}

para todos los números de Fermat. [ 11 ]

En 1904, Cipolla demostró que el producto de al menos dos números de Fermat primos o compuestos distintosFaFb…Fs,{\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}a>b>⋯>s>1{\displaystyle a>b>\dots >s>1}será un pseudoprimo de Fermat en base 2 si y solo si2s>a{\displaystyle 2^{s}>a}. [ 12 ]

Otros teoremas sobre los números de Fermat

Un número de Fermat no puede ser un número perfecto ni formar parte de un par de números amigos . ( Luca 2000 )

La serie de recíprocos de todos los divisores primos de los números de Fermat es convergente . ( Křížek, Luca y Somer 2002 )

Si n n + 1 es primo ynorte≥2{\displaystyle n\geq 2}Existe un entero m tal que n = 2 2 m . La ecuación n n + 1 = F (2 m + m ) se cumple en ese caso. [ 13 ] [ 14 ]

Sea P ( Fn ) el mayor factor primo del número de Fermat Fn . Entonces ,

PAG(Fnorte)≥2norte+2(4norte+9)+1.{\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}( Grytczuk, Luca y Wójtowicz 2001 )

Relación con los polígonos construibles

Número de lados de polígonos construibles conocidos con hasta 1000 lados (en negrita) o con un número impar de lados (en rojo).

Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae y formuló una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó que esta condición también era necesaria , [ 15 ] pero nunca publicó una demostración. Pierre Wantzel dio una demostración completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel :

Se puede construir un polígono regular de n lados con compás y regla si y solo si n es el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos: en otras palabras, si y solo si n es de la forma n = 2 k p 1 p 2 ... p s , donde k , s son enteros no negativos y los p i son primos de Fermat distintos.

Un entero positivo n es de la forma anterior si y solo si su totiente φ ( n ) es una potencia de 2.

Aplicaciones de los números de Fermat

Generación de números pseudoaleatorios

Los números primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1, ..., N , donde N es una potencia de 2. El método más común consiste en tomar cualquier valor semilla entre 1 y P − 1 , donde P es un número primo de Fermat. Luego, se multiplica este valor por un número A , que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, no es un residuo cuadrático ). Finalmente, se toma el resultado módulo P. El resultado es el nuevo valor para el generador de números aleatorios.

Vj+1=(A×Vj)modPAG{\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}(véase generador congruencial lineal )

Esto es útil en ciencias de la computación, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con 2 X valores posibles. Por ejemplo, un byte tiene 256 (2 8 ) valores posibles (0–255). Por lo tanto, para llenar uno o varios bytes con valores aleatorios, se puede usar un generador de números aleatorios que produzca valores del 1 al 256, tomando el byte el valor de salida -1. Los primos de Fermat muy grandes son de particular interés en el cifrado de datos por esta razón. Este método produce solo valores pseudoaleatorios , ya que después de P − 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede hacer que la secuencia se repita antes de P − 1 .

Números de Fermat generalizados

Números de la formaa2norte+b2nortegramodod(a+b,2){\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{gcd(a+b,2)}}}con a , b cualesquiera enteros coprimos , a > b > 0 , se denominan números de Fermat generalizados . Un primo impar p es un número de Fermat generalizado si y solo si p es congruente con 1 (mod 4) . (Aquí consideramos solo el caso n > 0 , por lo que 3 =220+1{\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}(no es un contraejemplo.)

Un ejemplo de un primo probable de esta forma es 200 262144 + 119 262144 (encontrado por Kellen Shenton). [ 16 ]

Por analogía con los números de Fermat ordinarios, es común escribir números de Fermat generalizados de la formaa2norte+1{\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}como F n ( a ). En esta notación, por ejemplo, el número 100,000,001 se escribiría como F 3 (10). En lo que sigue nos limitaremos a los primos de esta forma,a2norte+1{\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}, tales primos se llaman "primos de Fermat en base a ". Por supuesto, estos primos existen solo si a es par .

Primos de Fermat generalizados de la forma F n ( a )

Debido a la facilidad con la que se puede demostrar su primalidad, los primos de Fermat generalizados se han convertido en los últimos años en un tema de investigación dentro del campo de la teoría de números. Muchos de los primos más grandes conocidos hoy en día son primos de Fermat generalizados.

Los números de Fermat generalizados solo pueden ser primos para a par , porque si a es impar , entonces todo número de Fermat generalizado será divisible por 2. El número primo más pequeñoFnorte(a){\displaystyle F_{n}(a)}connorte>4{\displaystyle n>4}esF5(30){\displaystyle F_{5}(30)}, o 30 32 + 1. Además, podemos definir "números de Fermat semi-generalizados" para una base impar, un número de Fermat semi-generalizado en base a (para a impar ) esa2norte+12{\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}y también es de esperar que haya solo un número finito de primos de Fermat semi-generalizados para cada base impar.

En esta lista, los números de Fermat generalizados (Fnorte(a){\displaystyle F_{n}(a)}) a un incluso un sona2norte+1{\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}, para impares a , sona2norte+12{\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}. Si a es una potencia perfecta con un exponente impar (secuencia A070265 en la OEIS ) , entonces todos los números de Fermat generalizados se pueden factorizar algebraicamente, por lo que no pueden ser primos.

Consulte [ 17 ] [ 18 ] para bases pares hasta 1000, y [ 19 ] para bases impares. Para el número más pequeñonorte{\displaystyle n}de tal manera queFnorte(a){\displaystyle F_{n}(a)}es primo, ver (secuencia A253242 en el OEIS ) .

Para la base par más pequeña a tal queFnorte(a){\displaystyle F_{n}(a)}es primo, ver (secuencia A056993 en el OEIS ) .

El primo de Fermat generalizado F 14 (71) es el primo de Fermat generalizado más grande conocido en bases b ≤ 1000, se demuestra que es primo mediante la prueba de primalidad de curvas elípticas . [ 20 ]

La base par más pequeña b tal que F n ( b ) = b 2 n + 1 (para un n dado = 0, 1, 2, ...) es prima son

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, 2524190, ... (secuencia A056993 en el OEIS )

La base impar más pequeña b tal que F n ( b ) = ( b 2 n + 1)/2 (para un n dado = 0, 1, 2, ...) es primo (o probable primo ) son

3, 3, 3, 9, 3, 3, 3, 113, 331, 513, 827, 799, 3291, 5041, 71, 220221, 23891, 11559, 187503, 35963, ... (secuencia A275530 en el OEIS )

Por el contrario, el k más pequeño tal que (2 n ) k + 1 (para un n dado ) es primo son

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (El siguiente término es desconocido) (secuencia A079706 en el OEIS ) (véase también (secuencia A228101 en el OEIS ) y (secuencia A084712 en el OEIS ) )

Se puede utilizar una teoría más elaborada para predecir el número de bases para las cualesFnorte(a){\displaystyle F_{n}(a)}será ideal para fijonorte{\displaystyle n}Se puede esperar que el número de primos de Fermat generalizados se reduzca aproximadamente a la mitad.norte{\displaystyle n}se incrementa en 1.

Primos de Fermat generalizados de la forma F n ( a , b )

También es posible construir primos de Fermat generalizados de la formaa2norte+b2norte{\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}. Como en el caso donde b =1, los números de esta forma siempre serán divisibles por 2 si a+b es par, pero aún es posible definir primos semifermat generalizados de este tipo. Para el primo más pequeño de la formaFnorte(a,b){\displaystyle F_{n}(a,b)}(para impares)a+b{\displaystyle a+b}), véase también (secuencia A111635 en el OEIS ) .

Los primos de Fermat generalizados más grandes conocidos

A continuación se muestra una lista de los diez primos de Fermat generalizados más grandes conocidos. [ 22 ] Los diez primeros fueron descubiertos por los participantes del proyecto PrimeGrid .

En las Páginas de Números Primos se pueden encontrar los 20 números primos de Fermat generalizados más importantes del momento y los 100 números primos de Fermat generalizados más importantes del momento .

Véase también

Notas

  1. ↑ Para cualquier número impar positivometro{\displaystyle m},22kmetro+1=(a+1)(ametro−1−ametro−2+…−a+1){\displaystyle 2^{2^{k}m}+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots -a+1)}dóndea=22k{\displaystyle a=2^{2^{k}}}.
  2. ↑ Křížek, Luca y Somer 2001 , p. 38, Observación 4.15 
  3. ↑ Chris Caldwell, "Prime Links++: formas especiales" Archivado el 24/12/2013 en Wayback Machine en The Prime Pages .
  4. ↑ Ribenboim 1996 , pág. 88 . 
  5. 1 2 3 Keller, Wilfrid (5 de diciembre de 2025), "Factores primos de los números de Fermat" , ProthSearch.com , consultado el 8 de enero de 2026
  6. ↑ Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "¡Espere como máximo una milmillonésima parte de un nuevo primo de Fermat!". The Mathematical Intelligencer . 39 (1): 3– 5. arXiv : 1605.01371 . doi : 10.1007/s00283-016-9644-3 . S2CID 119165671 . 
  7. ↑ Björn, Anders; Riesel, Hans (1998). "Factores de los números de Fermat generalizados" . Matemáticas de la Computación . 67 (221): 441– 446. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00891-6 . ISSN 0025-5718 . 
  8. ↑ Sandifer, Ed. "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . MAA Online . Asociación Matemática de América. Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022. Consultado el 13 de junio de 2020 .
  9. ↑ "FERMATSEARCH.ORG :: Página principal" . www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 . 
  10. ↑ "::FERMATSEARCH.ORG:: Noticias" . www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 .
  11. ↑ Schroeder, MR (2006). Teoría de números en la ciencia y la comunicación: con aplicaciones en criptografía, física, información digital, computación y autosimilitud . Serie Springer en ciencias de la información (4.ª ed.). Berlín; Nueva York: Springer. p. 216. ISBN   978-3-540-26596-2OCLC 61430240​​ 
  12. ↑ Krizek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (14 de marzo de 2013). 17 Lecciones sobre los números de Fermat: De la teoría de números a la geometría . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387218502Consultado el 7 de abril de 2018 a través de Google Libros.
  13. ^ Jeppe Stig Nielsen, "S(n) = n^n + 1" .
  14. ↑ Weisstein, Eric W. "Número de Sierpiński de primera especie" . MathWorld .
  15. ↑ Gauss, Carl Friedrich ( 1966). Disquisitiones arithmeticae . New Haven y Londres: Yale University Press. pp. 458–460 . Consultado el 25 de enero de 2023 . 
  16. ↑ PRP Top Records, búsqueda de x^262144+y^262144 , por Henri y Renaud Lifchitz.
  17. ↑ "Primos de Fermat generalizados" . jeppesn.dk . Consultado el 7 de abril de 2018 .
  18. ↑ "Números primos de Fermat generalizados para bases de hasta 1030" . noprimeleftbehind.net . Consultado el 7 de abril de 2018 .
  19. ↑ "Números primos de Fermat generalizados en bases impares" . fermatquotient.com . Consultado el 7 de abril de 2018 .
  20. ↑ La entrada del primo de Fermat generalizado F 14 (71) en la base de datos de factores en línea.
  21. ↑ "Números GFN para índices pequeños" . www.prothsearch.com .
  22. ↑ Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: Fermat generalizado" . The Prime Pages . Consultado el 5 de octubre de 2024 .
  23. ↑ 2524190 2097152  +  1
  24. ↑ 4×5 11786358  +  1
  25. ↑ 5336284 1048576  +  1
  26. ↑ 3843236 1048576  +  1
  27. ↑ 1963736 1048576  +  1
  28. ↑ 1951734 1048576  +  1
  29. ↑ 1059094 1048576  +  1
  30. ↑ 919444 1048576  +  1
  31. ↑ 81×2 20498148  +  1
  32. ↑ 4×5 8431178  +  1

Referencias

  • Golomb, SW (1 de enero de 1963), "Sobre la suma de los recíprocos de los números de Fermat y las irracionalidades relacionadas", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478 , doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 , S2CID 123138118 
  • Grytczuk, A.; Luca, F. y Wójtowicz, M. (2001), "Otra nota sobre los mayores factores primos de los números de Fermat", Southeast Asian Bulletin of Mathematics , 25 (1): 111– 115, doi : 10.1007/s10012-001-0111-4 , S2CID 122332537 
  • Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números , Libros de problemas en matemáticas, vol.  1 (3.ª  ed.), Nueva York: Springer Verlag , pp.  A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
  • Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2001), 17 Lecciones sobre los números de Fermat: De la teoría de números a la geometría , CMS books in mathematics, vol.  10, Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8- Este libro contiene una extensa lista de referencias.
  • Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2002), "Sobre la convergencia de series de recíprocos de primos relacionados con los números de Fermat", Journal of Number Theory , 97 (1): 95–112 , doi : 10.1006/jnth.2002.2782
  • Luca, Florian (2000), "El número de Fermat antisocial" , American Mathematical Monthly , 107 (2): 171– 173, doi : 10.2307/2589441 , JSTOR 2589441 
  • Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos (3.ª  ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
  • Robinson, Raphael M. (1954), "Números de Mersenne y Fermat", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 5 (5): 842– 846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR 2031878 
  • Yabuta, M. (2001), "Una demostración simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (5): 439–443 , doi : 10.1080/00150517.2001.12428701 , archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022
  • Chris Caldwell, El glosario Prime: Número de Fermat en The Prime Pages .
  • Luigi Morelli, Historia de los números de Fermat
  • John Cosgrave, Unificación de los números de Mersenne y Fermat
  • Wilfrid Keller, Factores primos de los números de Fermat
  • Weisstein, Eric W. "Número de Fermat" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Fermat Prime" . MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Número de Fermat generalizado" . MathWorld .
  • Yves Gallot, Búsqueda generalizada de primos de Fermat
  • Mark S. Manasse, Factorización completa del noveno número de Fermat (anuncio original)
  • Peyton Hayslette, el mayor anuncio conocido sobre un primo de Fermat generalizado.