Conjetura de Smith

En matemáticas , la conjetura de Smith afirma que si f es un difeomorfismo de la 3-esfera de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .

Paul A. Smith ( 1939 , comentario después del teorema 4) demostró que un difeomorfismo no trivial que preserva la orientación de orden finito con puntos fijos debe tener un conjunto de puntos fijos igual a un círculo, y preguntó en ( Eilenberg 1949 , Problema 36) si el conjunto de puntos fijos podía ser anudado. Friedhelm Waldhausen ( 1969 ) demostró la conjetura de Smith para el caso especial de difeomorfismos de orden 2 (y por lo tanto cualquier orden par). La demostración del caso general fue descrita por John Morgan y Hyman Bass ( 1984 ) y dependió de varios avances importantes en la teoría de 3-variedades , en particular el trabajo de William Thurston sobre estructuras hiperbólicas en 3-variedades, y los resultados de William Meeks y Shing-Tung Yau sobre superficies mínimas en 3-variedades, con alguna ayuda adicional de Bass, Cameron Gordon , Peter Shalen y Rick Litherland.   

Deane Montgomery y Leo Zippin ( 1954 ) dieron un ejemplo de una involución continua de la 3-esfera cuyo conjunto de puntos fijos es un círculo salvajemente incrustado, por lo que la conjetura de Smith es falsa en la categoría topológica (en lugar de la suave o PL). Charles Giffen ( 1966 ) demostró que el análogo de la conjetura de Smith en dimensiones superiores es falso: el conjunto de puntos fijos de un difeomorfismo periódico de una esfera de dimensión al menos 4 puede ser una esfera anudada de codimensión 2.  

• Conjetura de Hilbert-Smith

• Eilenberg, Samuel (1949), "Sobre los problemas de la topología", Annals of Mathematics , Segunda serie, 50 (2): 247– 260, doi : 10.2307/1969448 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969448 , MR 0030189   
• Giffen, Charles H. (1966), "La conjetura generalizada de Smith", American Journal of Mathematics , 88 (1): 187– 198, doi : 10.2307/2373054 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373054 , MR 0198462   
• Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1954), "Ejemplos de grupos de transformación", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 5 (3): 460– 465, doi : 10.2307/2031959 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031959 , MR 0062436   
• Morgan, John W.; Bass , Hyman , eds. (1984), La conjetura de Smith , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  112, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-506980-9, MR 0758459 
• Smith, Paul A. (1939), "Transformaciones de período finito. II", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 40 (3): 690– 711, Bibcode : 1939AnMat..40..690S , doi : 10.2307/1968950 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968950 , MR 0000177   
• Waldhausen, Friedhelm (1969), "Über Involutionen der 3-Sphäre" , Topología , 8 : 81– 91, doi : 10.1016/0040-9383(69)90033-0 , ISSN 0040-9383 , MR 0236916