Distribución logística generalizada

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

La función de densidad de probabilidad correspondiente es:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

Este tipo también se conoce como distribución "logística asimétrica".

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

La función de densidad de probabilidad correspondiente es:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

Aquí B es la función beta . La función generadora de momentos para este tipo es

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}$

La función de distribución acumulativa correspondiente es:

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha$ ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0\\[4pt]&={\frac {\sigma (x)^{\alpha }\sigma (-x)^{\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

Donde B es la función beta y${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$es la función logística estándar . La función generadora de momentos para este tipo es

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}$

Este tipo también se denomina "beta generalizada exponencial de segundo tipo". ^{[ 1 ]}

La función de distribución acumulativa correspondiente es:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta$ ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}

El tipo IV es la forma más general de la distribución. La distribución de tipo III se puede obtener a partir del tipo IV fijando${\displaystyle \beta =\alpha}$La distribución de tipo II se puede obtener a partir de la de tipo IV fijando${\displaystyle \alpha =1}$(y cambio de nombre${\displaystyle \beta }$a${\displaystyle \alpha }$). La distribución de tipo I se puede obtener a partir de la de tipo IV fijando${\displaystyle \beta =1}$. Reparando${\displaystyle \alpha =\beta =1}$proporciona la distribución logística estándar .

Como sugiere el nombre logístico-beta, si${\displaystyle x}$sigue una beta logística con parámetros${\displaystyle \alpha ,\beta }$, entonces${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$

Esta distribución se puede obtener en términos de la distribución gamma de la siguiente manera. Sea${\displaystyle y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\gamma )}$y de forma independiente ,${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$y dejar${\displaystyle x=\ln y-\ln z}$. Entonces${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$, entonces${\displaystyle -x\sim B_{\sigma }(\beta ,\alpha )}$.

La distribución logística beta admite la siguiente representación de mezcla de varianza-media normal: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}}=\int _{0}^{\infty }N(x;0.5\lambda (\alpha -\beta ),\lambda )p_{\text{Polya}}(\lambda$ ;\alpha ,\beta )d\lambda }

dónde${\displaystyle N(x;\mu ,\lambda )}$es una densidad normal con media${\displaystyle \mu }$, varianza${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle p_{\text{Polya}}(\lambda$ ;\alpha ,\beta )} es una densidad de la distribución de Polya con parámetros${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$, definido como${\displaystyle \lambda {\stackrel {d}{=}}\sum _{k=0}^{\infty }2\epsilon _{k}/\{(k+\alpha )(k+\beta )\},\epsilon _{k}{\stackrel {iid}{\sim }}{\text{Exp}}(1)}$.

Utilizando las expectativas logarítmicas de la distribución gamma, la media y la varianza se pueden derivar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}[x]&=\psi (\alpha )-\psi (\beta )\\{\text{var}}[x]&=\psi '(\alpha )+\psi '(\beta )\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \psi }$es la función digamma , mientras que${\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}$es su primera derivada, también conocida como la función trigamma o la primera función poligamma . Dado que${\displaystyle \psi }$es estrictamente creciente , el signo de la media es el mismo que el signo de${\displaystyle \alpha -\beta }$. Desde${\displaystyle \psi '}$es estrictamente decreciente, los parámetros de forma también pueden interpretarse como parámetros de concentración. De hecho, como se muestra a continuación, las colas izquierda y derecha respectivamente se vuelven más delgadas a medida que${\displaystyle \alpha }$o${\displaystyle \beta }$aumentan. Los dos términos de la varianza representan las contribuciones a la varianza de las partes izquierda y derecha de la distribución.

La función generadora de cumulantes es${\displaystyle K(t)=\ln M(t)}$donde la función generadora de momentos${\displaystyle M(t)}$se da arriba . Los cumulantes ,${\displaystyle \kappa _{n}}$, son los${\displaystyle n}$-ésimo derivados de${\displaystyle K(t)}$, evaluado en${\displaystyle t=0}$:

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\psi ^{(n-1)}(\alpha )+(-1)^{n}\psi ^{(n-1)}(\beta )}$

dónde${\displaystyle \psi ^{(0)}=\psi }$y${\displaystyle \psi ^{(n-1)}}$son las funciones digamma y poligamma. De acuerdo con la derivación anterior, el primer cumulante,${\displaystyle \kappa _{1}}$, es la media y la segunda,${\displaystyle \kappa _{2}}$, es la varianza.

El tercer cumulante,${\displaystyle \kappa _{3}}$, es el tercer momento central${\displaystyle E[(x-E[x])^{3}]}$, que al ser escalada por la tercera potencia de la desviación estándar da como resultado la asimetría :

${\displaystyle {\text{skew}}[x]={\frac {\psi ^{(2)}(\alpha )-\psi ^{(2)}(\beta )}{{\sqrt {{\text{var}}[x]}}^{3}}}}$

El signo (y por lo tanto la lateralidad ) de la asimetría es el mismo que el signo de${\displaystyle \alpha -\beta }$.

La moda (máximo de la función de densidad de probabilidad) se puede obtener encontrando${\displaystyle x}$donde la derivada del logaritmo de la función de densidad de probabilidad es cero:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x;\alpha ,\beta )=\alpha \sigma (-x)-\beta \sigma (x)=0}$

Esto se simplifica a${\displaystyle \alpha /\beta =e^{x}}$, de modo que: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\text{mode}}[x]=\ln {\frac {\alpha }{\beta }}}$

En cada una de las colas izquierda y derecha, una de las funciones sigmoide en la función de densidad de probabilidad se satura a uno, de modo que la cola está formada por la otra función sigmoide. Para valores negativos grandes${\displaystyle x}$, la cola izquierda de la función de densidad de probabilidad es proporcional a${\displaystyle \sigma (x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}}$, mientras que la cola derecha (gran positivo)${\displaystyle x}$) es proporcional a${\displaystyle \sigma (-x)^{\beta }\approx e^{-\beta x}}$Esto significa que las colas están controladas independientemente por${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. Aunque las colas de tipo IV son más pesadas que las de la distribución normal (${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2v}}}}$, para la varianza${\displaystyle v}$), las medias y varianzas de tipo IV permanecen finitas para todos${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$Esto contrasta con la distribución de Cauchy, para la cual no existen la media ni la varianza. En los gráficos de función de densidad de probabilidad logarítmica que se muestran aquí, las colas de la distribución de tipo IV son lineales, las de la distribución normal son cuadráticas y las de Cauchy son logarítmicas.

${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$forma una familia exponencial con parámetros naturales${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$y estadísticas suficientes${\displaystyle \log \sigma (x)}$y${\displaystyle \log \sigma (-x)}$. Los valores esperados de las estadísticas suficientes se pueden encontrar mediante la diferenciación del log-normalizador: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E[\log \sigma (x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\\E[\log \sigma (-x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \beta }}=\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )\\\end{aligned}}}$

Dado un conjunto de datos${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$Se supone que se generó un IID a partir de${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$La estimación del parámetro de máxima verosimilitud es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i};\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i}){\Bigr )}+\beta {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i}){\Bigr )}-\log B(\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

donde las líneas superiores denotan los promedios de las estadísticas suficientes. La estimación de máxima verosimilitud depende de los datos únicamente a través de estas estadísticas promedio. De hecho, en la estimación de máxima verosimilitud, los valores esperados y los promedios coinciden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\hat {\alpha }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (x)}}\\\psi ({\hat {\beta }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (-x)}}\\\end{aligned}}}$

que es también donde se anulan las derivadas parciales del maximando anterior.

Las relaciones con otras distribuciones incluyen:

• El logaritmo de la razón de las variables gamma es de tipo IV como se detalla anteriormente .
• Si${\displaystyle y\sim {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$, entonces${\displaystyle x=\ln y}$tiene una distribución de tipo IV , con parámetros${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. Ver distribución beta prima .
• Si${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,1)}$y ${\displaystyle y\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z)}$, dónde${\displaystyle z}$se utiliza como parámetro de tasa de la segunda distribución gamma, entonces${\displaystyle y}$tiene una distribución gamma compuesta , que es la misma que${\displaystyle {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$, de modo que${\displaystyle x=\ln y}$tiene una distribución de tipo IV .
• Si${\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$, entonces${\displaystyle x={\text{logit}}\,p}$tiene una distribución de tipo IV , con parámetros${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. Ver distribución beta . La función logit ,${\displaystyle \mathrm {logit} (p)=\log {\frac {p}{1-p}}}$es la inversa de la función logística . Esta relación explica el nombre de beta logística para esta distribución: si se aplica la función logística a las variables beta logísticas, la distribución transformada es beta.

Para valores grandes de los parámetros de forma,${\displaystyle \alpha ,\beta \gg 1}$, la distribución se vuelve más gaussiana , con:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[x]&\approx \ln {\frac {\alpha }{\beta }}\\{\text{var}}[x]&\approx {\frac {\alpha +\beta }{\alpha \beta }}\end{aligned}}}$

Esto se demuestra en los gráficos pdf y log pdf que se muestran aquí.

Dado que el muestreo aleatorio de las distribuciones gamma y beta está fácilmente disponible en muchas plataformas de software, las relaciones anteriores con esas distribuciones se pueden utilizar para generar variables a partir de la distribución de tipo IV.

Como se indicó anteriormente ,${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$es una familia exponencial con parámetros naturales${\displaystyle \alpha ,\beta }$, cuyas estimaciones de máxima verosimilitud dependen únicamente de estadísticas suficientes promediadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\log \sigma (x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i})&&{\text{and}}&{\overline {\log \sigma (-x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i})\end{aligned}}}$

Una vez recopiladas estas estadísticas, la estimación de máxima verosimilitud viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta >0}&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

Mediante el uso de la parametrización${\displaystyle \theta _{1}=\log \alpha }$y${\displaystyle \theta _{2}=\log \beta }$Se puede utilizar un algoritmo de optimización numérica sin restricciones como BFGS . Las iteraciones de optimización son rápidas, ya que son independientes del tamaño del conjunto de datos.

Una alternativa es utilizar un algoritmo EM basado en la composición:${\displaystyle x-\log(\gamma \delta )\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$si${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$y${\displaystyle e^{x}\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z/\delta )}$. Debido a la autoconjugación de la distribución gamma , las expectativas posteriores,${\displaystyle \left\langle z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$y${\displaystyle \left\langle \log z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$Los parámetros necesarios para el paso E se pueden calcular de forma cerrada. La actualización de parámetros del paso M se puede resolver de forma análoga a la de máxima verosimilitud para la distribución gamma .

El problema de máxima verosimilitud para${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$, teniendo pdf${\displaystyle {\bar {f}}}$es:

${\displaystyle {\hat {\alpha }},{\hat {\beta }},{\hat {\mu }},{\hat {s}}=\arg \max _{\alpha ,\beta ,\mu ,s}\log {\frac {1}{n}}\sum _{i}{\bar {f}}(x_{i};\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

Ya no se trata de una familia exponencial, por lo que cada iteración de optimización debe recorrer todo el conjunto de datos. Además, el cálculo de las derivadas parciales (como las que requiere, por ejemplo, BFGS) es considerablemente más complejo que en el caso anterior de dos parámetros. Sin embargo, todas las funciones componentes están disponibles en paquetes de software con diferenciación automática . De nuevo, los parámetros positivos pueden parametrizarse en términos de sus logaritmos para obtener un problema de optimización numérica sin restricciones.

Para este problema, la optimización numérica puede fallar a menos que los parámetros de ubicación y escala iniciales se elijan adecuadamente. Sin embargo, la interpretabilidad mencionada anteriormente de estos parámetros en la parametrización de${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }}$se puede utilizar para hacer esto. Específicamente, los valores iniciales para${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle s^{2}}$se puede ajustar a la media y la varianza empíricas de los datos.