Polígono generalizado

En matemáticas , un polígono generalizado es una estructura de incidencia introducida por Jacques Tits en 1959. Los n -gonos generalizados incluyen como casos especiales los planos proyectivos (triángulos generalizados, n = 3) y los cuadriláteros generalizados ( n = 4). Muchos polígonos generalizados surgen de grupos de tipo Lie , pero también hay algunos exóticos que no se pueden obtener de esta manera. Los polígonos generalizados que satisfacen una condición técnica conocida como propiedad de Moufang han sido clasificados completamente por Tits y Weiss. Todo n -gono generalizado con n par es también un polígono cercano .

Un 2 -gono generalizado (o digon ) es una estructura de incidencia con al menos 2 puntos y 2 líneas, donde cada punto es incidente a cada línea.

Para${\displaystyle n\geq 3}$un n -gono generalizado es una estructura de incidencia (${\displaystyle P,L,I}$), dónde${\displaystyle P}$es el conjunto de puntos,${\displaystyle L}$es el conjunto de líneas y${\displaystyle I\subsetequ P\times L}$es la relación de incidencia , tal que:

• Es un espacio lineal parcial .
• No tiene m -gonos ordinarios como subgeometría para${\displaystyle 2\leq m<n}$.
• Tiene como subgeometría un n -gono ordinario.
• Para cualquier${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L}$ existe una subgeometría (${\displaystyle P',L',I'}$) isomorfo a un n -gono ordinario tal que${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'}$.

Una forma equivalente, pero a veces más sencilla, de expresar estas condiciones es: considerar el grafo de incidencia bipartito con el conjunto de vértices${\displaystyle P\cup L}$y las aristas que conectan los pares de puntos y líneas incidentes.

• La circunferencia de la gráfica de incidencia es el doble del diámetro n de la gráfica de incidencia.

Un polígono generalizado es de orden (s,t) si:

• todos los vértices del grafo de incidencia correspondientes a los elementos de${\displaystyle L}$tienen el mismo grado s + 1 para algún número natural s ; en otras palabras, cada línea contiene exactamente s + 1 puntos,
• todos los vértices del grafo de incidencia correspondientes a los elementos de${\displaystyle P}$tienen el mismo grado t + 1 para algún número natural t ; en otras palabras, cada punto se encuentra en exactamente t + 1 líneas.

Decimos que un polígono generalizado es grueso si cada punto (línea) incide en al menos tres líneas (puntos). Todos los polígonos generalizados gruesos tienen un orden.

El dual de un n -gono generalizado (${\displaystyle P,L,I}$), es la estructura de incidencia con la noción de puntos y líneas invertida y la relación de incidencia tomada como la relación inversa de${\displaystyle I}$Se puede demostrar fácilmente que esto es, de nuevo, un n -gono generalizado.

• El grafo de incidencia de un digon generalizado es un grafo bipartito completo K _{s +1, t +1} .
• Para cualquier número natural n ≥ 3, consideremos el contorno de un polígono ordinario de n lados. Declaremos que los vértices del polígono son los puntos y los lados son las líneas, con la inclusión de conjuntos como relación de incidencia. Esto da como resultado un n -gono generalizado con s = t = 1.
• Para cada grupo de Lie tipo G de rango 2 hay un n -gono generalizado X asociado con n igual a 3, 4, 6 u 8 tal que G actúa transitivamente sobre el conjunto de banderas de X. En el caso finito, para n=6, se obtiene el hexágono de Cayley dividido de orden (q, q) para G2(q ) y el hexágono de trialidad retorcida de orden (q3, q) para 3D4(q3 ) ^, y para n = 8 , _se obtiene el octágono de Ree - Tits ^de orden ( _q , q2 ^{) para} 2F4 ( q ) _con q ⁼ 22n + 1 . Salvo dualidad ^{, estos} son ^los únicos hexágonos u octágonos generalizados finitos gruesos conocidos.

Walter Feit y Graham Higman demostraron que los n -gonos generalizados finitos de orden ( s , t ) con s ≥ 2, t ≥ 2 solo pueden existir para los siguientes valores de n :    

2, 3, 4, 6 u 8.

Kilmoyer y Solomon aportaron otra prueba del resultado de Feit-Higman.

Los "n"-gonos generalizados para estos valores se denominan digones, triángulos, cuadriláteros, hexágonos y octágonos generalizados.

Cuando el teorema de Feit-Higman se combina con las desigualdades de Haemers-Roos, obtenemos las siguientes restricciones:

• Si n = 2, el grafo de incidencia es un grafo bipartito completo y, por lo tanto, "s" y "t" pueden ser enteros arbitrarios.
• Si n = 3, la estructura es un plano proyectivo finito y s = t .
• Si n = 4, la estructura es un cuadrilátero generalizado finito , y t ^1/2 ≤ s ≤ t ² .
• Si n = 6, entonces st es un cuadrado , y t ^1/3 ≤ s ≤ t ³ .
• Si n = 8, entonces 2st es un cuadrado y t ^1/2 ≤ s ≤ t ² .
• Si se permite que s o t sean 1 y la estructura no es el n -gono ordinario, entonces además de los valores de n ya enumerados, solo puede ser posible n = 12.

Todo hexágono generalizado finito conocido de orden ( s , t ) para s , t > 1 tiene orden

• ( q , q ): los hexágonos de Cayley divididos y sus duales,
• ( q ³ , q ): el hexágono de trialidad retorcido, o
• ( q , q ³ ): el hexágono de trialidad doblemente retorcido,

donde q es una potencia prima.

Todo octágono generalizado finito conocido de orden ( s , t ) para s , t > 1 tiene orden

• ( q , q ² ): el octágono de Ree-Tits o
• ( q ² , q ): el octágono doble de Ree-Tits,

donde q es una potencia impar de 2.

Si s y t son ambos infinitos, entonces existen polígonos generalizados para cada n mayor o igual a 2. Se desconoce si existen polígonos generalizados con uno de los parámetros finito (y mayor que 1 ) mientras que el otro es infinito (estos casos se denominan semifinitos ). Peter Cameron demostró la no existencia de cuadrángulos generalizados semifinitos con tres puntos en cada línea, mientras que Andries Brouwer y Bill Kantor demostraron independientemente el caso de cuatro puntos en cada línea. El resultado de no existencia para cinco puntos en cada línea fue demostrado por G. Cherlin utilizando la Teoría de Modelos . ^{[ 1 ]} No se conocen tales resultados sin hacer ninguna suposición adicional para hexágonos u octágonos generalizados, incluso para el caso más pequeño de tres puntos en cada línea.

Como se mencionó anteriormente, los grafos de incidencia de polígonos generalizados poseen propiedades importantes. Por ejemplo, todo n -gono generalizado de orden (s,s) es una jaula (s+1,2n) . También están relacionados con los grafos expansores , ya que poseen propiedades de expansión interesantes. ^{[ 2 ]} Varias clases de grafos expansores extremales se obtienen a partir de polígonos generalizados. ^{[ 3 ]} En la teoría de Ramsey , los grafos construidos utilizando polígonos generalizados nos proporcionan algunas de las mejores cotas inferiores constructivas conocidas para los números de Ramsey fuera de la diagonal. ^{[ 4 ]}

• Construcción (matemáticas)
• Par (B, N)
• Grupo Ree
• Polígono de Moufang
• Polígono cercano

• Godsil, Chris ; Royle, Gordon (2001), Teoría algebraica de grafos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  207, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4613-0163-9 , ISBN 978-0-387-95220-8, MR 1829620 .
• Feit, Walter ; Higman, Graham (1964), "La no existencia de ciertos polígonos generalizados", Journal of Algebra , 1 (2): 114–131 , doi : 10.1016/0021-8693(64)90028-6 , MR 0170955 .

• Haemers, WH; Roos, C. (1981), "Una desigualdad para hexágonos generalizados", Geometriae Dedicata , 10 ( 1–4 ): 219–222 , doi : 10.1007/BF01447425 , MR 0608143 .

• Kantor, WM (1986). «Polígonos generalizados, SCAB y GAB». Edificios y la geometría de los diagramas . Notas de clase en matemáticas. Vol.  1181. Springer-Verlag, Berlín. pp. 79–158 . CiteSeerX 10.1.1.74.3986 . doi : 10.1007/BFb0075513 . ISBN   978-3-540-16466-1.
• Kilmoyer, Robert; Solomon, Louis (1973), "Sobre el teorema de Feit-Higman", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 15 (3): 310–322 , doi : 10.1016/0097-3165(73)90076-9 , MR 0357157 
• Van Maldeghem, Hendrik (1998), Polígonos generalizados , Monografías de Matemáticas, vol.  93, Basilea: Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-0348-0271-0 , ISBN 978-3-7643-5864-8, MR 1725957 .
• Stanton, Dennis (1983), " N- gonos generalizados y polinomios de Chebyshev", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 34 (1): 15–27 , doi : 10.1016/0097-3165(83)90036-5 , MR 0685208 .
• Tits, Jacques ; Weiss, Richard M. (2002), Moufang polygons , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43714-7, SR 1938841 .