Superficie de Seifert

En matemáticas , una superficie de Seifert (llamada así en honor al matemático alemán Herbert Seifert ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es una superficie orientable cuyo límite es un nudo o enlace dado .

Estas superficies pueden utilizarse para estudiar las propiedades del nudo o enlace asociado. Por ejemplo, muchos invariantes de nudos se calculan con mayor facilidad mediante una superficie de Seifert. Las superficies de Seifert también son interesantes por sí mismas y objeto de numerosas investigaciones.

Específicamente, sea L un nudo o enlace orientado y manso en el espacio euclidiano tridimensional (o en la 3-esfera ). Una superficie de Seifert es una superficie compacta , conexa y orientada S incrustada en el espacio tridimensional cuyo límite es L, de tal manera que la orientación en L es precisamente la orientación inducida por S.

Cabe destacar que cualquier superficie compacta, conectada y orientada con frontera no vacía en el espacio euclidiano tridimensional es la superficie de Seifert asociada a su enlace frontera. Un mismo nudo o enlace puede tener varias superficies de Seifert distintas y no equivalentes. Una superficie de Seifert debe estar orientada . También es posible asociar superficies a nudos que no estén ni orientados ni sean orientables.

La cinta de Möbius estándar tiene el nudo indefinido como límite, pero no es una superficie de Seifert para dicho nudo indefinido porque no es orientable.

La coloración en forma de tablero de ajedrez de la proyección de cruce mínimo habitual del nudo de trébol da como resultado una cinta de Möbius con tres medios giros. Al igual que en el ejemplo anterior, esta no es una superficie de Seifert, ya que no es orientable. Al aplicar el algoritmo de Seifert a este diagrama, como era de esperar, se obtiene una superficie de Seifert; en este caso, se trata de un toro perforado de género g = 1, y la matriz de Seifert es

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Es un teorema que cualquier enlace siempre tiene una superficie de Seifert asociada. Este teorema fue publicado por primera vez por Frankl y Pontryagin en 1930. ^{[ 3 ]} Una demostración diferente fue publicada en 1934 por Herbert Seifert y se basa en lo que ahora se llama el algoritmo de Seifert. El algoritmo produce una superficie de Seifert.${\displaystyle S}$, dada una proyección del nudo o enlace en cuestión.

Supongamos que el enlace tiene m componentes ( m = 1 para un nudo), el diagrama tiene d puntos de cruce y que al resolver los cruces (conservando la orientación del nudo) se obtienen f círculos. Entonces la superficie${\displaystyle S}$Se construye a partir de f discos disjuntos mediante la unión de d bandas. El grupo de homología${\displaystyle H_{1}(S)}$es abeliano libre en generadores 2 g , donde

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)}$

es el género de${\displaystyle S}$. La forma de intersección Q en${\displaystyle H_{1}(S)}$es antisimétrico y hay una base de 2 g ciclos.${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$con ${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$igual a una suma directa de las g copias de la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

La matriz de Seifert entera de 2 g × 2 g

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

tiene${\displaystyle v(i,j)}$el número de enlace en el espacio euclidiano tridimensional (o en la esfera tridimensional ) de un _i y el "empuje" de un _j en la dirección positiva de${\displaystyle S}$. Más precisamente, recordando que las superficies de Seifert son bicolaradas, lo que significa que podemos extender la incrustación de${\displaystyle S}$a una incrustación de${\displaystyle S\times [-1,1]}$dado algún bucle representativo${\displaystyle x}$que es el generador de homología en el interior de${\displaystyle S}$, el empuje positivo es${\displaystyle x\times \{1\}}$y el empuje negativo es${\displaystyle x\times \{-1\}}$. ^{[ 4 ]}

Con esto, tenemos

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

donde V ^∗ = ( v ( j , i )) la matriz transpuesta. Cada matriz entera de 2 g × 2 g${\displaystyle V}$con${\displaystyle V-V^{*}=Q}$surge como la matriz de Seifert de un nudo con superficie de Seifert de género g .

El polinomio de Alexander se calcula a partir de la matriz de Seifert mediante${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),}$que es un polinomio de grado como máximo 2 g en la indeterminada${\displaystyle t.}$ El polinomio de Alexander es independiente de la elección de la superficie de Seifert.${\displaystyle S,}$y es un invariante del nudo o enlace.

La firma de un nudo es la firma de la matriz de Seifert simétrica.${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$ Es nuevamente una invariante del nudo o enlace.

Las superficies de Seifert no son únicas en absoluto: una superficie de Seifert S de género g y matriz de Seifert V puede modificarse mediante una cirugía topológica , dando como resultado una superficie de Seifert S ′ de género g + 1 y matriz de Seifert

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El género de un nudo K es el invariante del nudo definido por el género mínimo g de una superficie de Seifert para K.

Por ejemplo:

• Un nudo simple —que, por definición, es el límite de un disco— tiene género cero. Además, el nudo simple es el único nudo con género cero.
• El nudo de trébol tiene género 1, al igual que el nudo de ocho .
• El género de un nudo toroide ( p , q ) es ( p − 1)( q − 1)/2
• El grado del polinomio de Alexander de un nudo es una cota inferior del doble de su género.

Una propiedad fundamental del género es que es aditivo con respecto a la suma del nudo :

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

En general, el género de un nudo es difícil de calcular, y el algoritmo de Seifert normalmente no produce una superficie de Seifert de género mínimo. Por esta razón, a veces son útiles otros invariantes relacionados. El género canónico${\displaystyle g_{c}}$de un nudo es el género más pequeño de todas las superficies de Seifert que se pueden construir mediante el algoritmo de Seifert, y el género libre${\displaystyle g_{f}}$es el género más pequeño de todas las superficies de Seifert cuyo complemento en${\displaystyle S^{3}}$es un cuerpo de asa . (El complemento de una superficie de Seifert generada por el algoritmo de Seifert es siempre un cuerpo de asa). Para cualquier nudo, la desigualdad${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$Obviamente se cumple, por lo que en particular estos invariantes establecen límites superiores para el género. ^{[ 5 ]}

El género de nudos es NP-completo gracias al trabajo de Ian Agol , Joel Hass y William Thurston . ^{[ 6 ]}

Se ha demostrado que existen superficies de Seifert del mismo género que no se vuelven isotópicas ni topológica ni suavemente en la 4-bola. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Número de Crosscap
• Invariante Arf de un nudo
• suma murasugi
• Género de rebanada

• El programa SeifertView de Jack van Wijk visualiza las superficies de Seifert de nudos construidos utilizando el algoritmo de Seifert.