Kurt Gödel

Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, Austria-Hungría (actualmente Brno , República Checa), en el seno de la familia de habla alemana de Rudolf Gödel, ^{[ 6 ]} director gerente y copropietario de una importante empresa textil, ^{[ a ]} y Marianne Gödel ( de soltera Handschuh). ^{[ 11 ]} Su padre era católico y su madre protestante, y los hijos fueron criados como protestantes. Muchos de los antepasados ​​de Kurt Gödel participaron activamente en la vida cultural de Brünn. Por ejemplo, su abuelo Joseph Gödel fue un famoso cantante en su época y durante algunos años miembro del Brünner Männergesangverein (Coro Masculino de Brünn). ^{[ 12 ]}

Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano checoslovaco a los 12 años, cuando el Imperio austrohúngaro se derrumbó tras su derrota en la Primera Guerra Mundial . Según su compañero de clase Klepetař , al igual que muchos residentes de los Sudetes, de mayoría alemana , «Gödel siempre se consideró austriaco y un exiliado en Checoslovaquia». ^{[ 13 ]} En febrero de 1929, se le concedió la renuncia a su ciudadanía checoslovaca y, en abril, la austriaca. ^{[ 14 ]} Cuando Alemania anexó Austria en 1938, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán a los 32 años. En 1948, tras la Segunda Guerra Mundial , a los 42 años, obtuvo la ciudadanía estadounidense. ^{[ 15 ]}

En su familia, al joven Gödel lo apodaban Herr Warum ("Señor Por qué") debido a su insaciable curiosidad. Según su hermano Rudolf, a los seis o siete años, Kurt sufrió de fiebre reumática ; se recuperó por completo, pero permaneció convencido durante el resto de su vida de que su corazón había sufrido daños permanentes. A partir de los cuatro años, Gödel tuvo "frecuentes episodios de mala salud", que continuaron durante toda su vida. ^{[ 16 ]}

Gödel asistió a la Evangelische Volksschule , una escuela luterana en Brünn, de 1912 a 1916, y estuvo matriculado en el Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, destacando con honores en todas las materias, particularmente matemáticas, lenguas y religión. Aunque inicialmente sobresalió en lenguas, se interesó más por la historia y las matemáticas. Su interés por las matemáticas aumentó cuando en 1920 su hermano mayor, Rudolf, se marchó a Viena , donde estudió medicina en la Universidad de Viena . Durante su adolescencia, Gödel estudió taquigrafía de Gabelsberg , ^{[ 17 ]} la crítica de Isaac Newton y los escritos de Immanuel Kant . ^{[ 18 ]}

A los 18 años, Gödel se unió a su hermano en la Universidad de Viena . Ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. ^{[ 19 ]} Aunque inicialmente pretendía estudiar física teórica , también asistió a cursos de matemáticas y filosofía. ^{[ 20 ]} Durante este tiempo, adoptó ideas del realismo matemático . Leyó Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant y participó en el Círculo de Viena con Moritz Schlick , Hans Hahn y Rudolf Carnap . Gödel estudió entonces teoría de números , pero cuando participó en un seminario dirigido por Moritz Schlick que estudiaba el libro de Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy , se interesó por la lógica matemática . Según Gödel, la lógica matemática era "una ciencia anterior a todas las demás, que contiene las ideas y los principios subyacentes a todas las ciencias". ^{[ 21 ]}

Asistir a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre completitud y consistencia en sistemas matemáticos pudo haber marcado el rumbo de la vida de Gödel. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron Grundzüge der theoretischen Logik ( Principios de lógica matemática ), una introducción a la lógica de primer orden en la que se planteaba el problema de la completitud: "¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar toda afirmación que sea verdadera en todos los modelos del sistema?" ^{[ 22 ]}

Gödel eligió este tema para su trabajo doctoral. ^{[ 22 ]} En 1929, a los 23 años, completó su disertación doctoral bajo la supervisión de Hans Hahn. En ella, estableció su teorema de completitud homónimo sobre lógica de primer orden . ^{[ 22 ]} Recibió su doctorado en 1930, ^{[ 22 ]} y su tesis (acompañada de trabajo adicional) fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena .

En 1929, Gödel conoció a Adele Nimbursky (de soltera Porkert), una mujer divorciada que vivía con sus padres al otro lado de la calle. ^{[ 23 ]} Los dos se casaron (en una ceremonia civil) una década después, en septiembre de 1938. ^{[ 24 ]} Bailarina de ballet profesional, Adele trabajaba como masajista cuando se conocieron. ^{[ 23 ]} En un momento dado, trabajó como bailarina en un club nocturno del centro llamado Nachtfalter ("polilla nocturna"). ^{[ 23 ]} Los padres de Gödel se opusieron a su relación debido a sus antecedentes y edad (seis años mayor que él). ^{[ 25 ]} Parece que fue un matrimonio feliz. ^{[ 26 ]} Adele fue un importante apoyo para Gödel, cuyos problemas psicológicos afectaban su vida diaria. ^{[ 27 ]} Los dos no tuvieron hijos.

El logro de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental; de hecho, es más que un monumento, es un hito que permanecerá visible a través del tiempo y el espacio. ... La lógica ha transformado por completo su naturaleza y sus posibilidades gracias al logro de Gödel.

En 1930, Gödel asistió a la Segunda Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas , celebrada en Königsberg del 5 al 7 de septiembre. Allí presentó su teorema de completitud de la lógica de primer orden y, al final de su ponencia, mencionó que este resultado no se generaliza a la lógica de orden superior, insinuando así sus teoremas de incompletitud . ^{[ 29 ]}

Gödel publicó sus teoremas de incompletitud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (titulado en inglés " On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems "). En ese artículo, demostró para cualquier sistema axiomático computable lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección), que:

1. Si un sistema (lógico o formal axiomático) es omega-consistente , no puede ser sintácticamente completo .
2. La consistencia de los axiomas no puede probarse dentro de su propio sistema . ^{[ 30 ]}

Estos teoremas pusieron fin a medio siglo de intentos, que comenzaron con la obra de Frege y culminaron en Principia Mathematica y el programa de Hilbert , por encontrar una axiomatización relativamente consistente suficiente para la teoría de números (que serviría de base para otros campos de las matemáticas). ^{[ 31 ]}

Gödel construyó una fórmula que afirma ser indemostrable en un sistema formal dado. Si fuera demostrable, sería falsa. Por lo tanto, siempre habrá al menos una afirmación verdadera pero indemostrable. Es decir, para cualquier conjunto de axiomas computablemente enumerable para la aritmética (es decir, un conjunto que, en principio, puede ser impreso por una computadora idealizada con recursos ilimitados), existe una fórmula que es verdadera para la aritmética, pero no demostrable en ese sistema. Para precisar esto, Gödel tuvo que crear un método para codificar (como números naturales) afirmaciones, demostraciones y el concepto de demostrabilidad; lo hizo mediante un proceso conocido como numeración de Gödel . ^{[ 32 ]}

En su artículo de dos páginas titulado Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutó la finitud de valores de la lógica intuicionista . En la demostración, utilizó implícitamente lo que posteriormente se conocería como lógica intermedia de Gödel-Dummett (o lógica difusa de Gödel ). ^{[ 33 ]}

Gödel obtuvo su habilitación en Viena en 1932 y en 1933 se convirtió en profesor adjunto ( Privatdozent ) allí. En 1933, Adolf Hitler llegó al poder en Alemania y, durante los años siguientes, el nazismo aumentó su influencia en Austria y entre los matemáticos vieneses. En junio de 1936, Moritz Schlick , cuyo seminario había despertado el interés de Gödel por la lógica, fue asesinado por uno de sus antiguos alumnos, Johann Nelböck . Esto desencadenó en Gödel una grave crisis nerviosa. ^{[ 34 ]} Desarrolló síntomas paranoides, incluyendo miedo a ser envenenado, y pasó varios meses en un sanatorio para enfermedades nerviosas. ^{[ 35 ]}

En 1933, Gödel viajó por primera vez a Estados Unidos, donde conoció a Albert Einstein , con quien entabló una gran amistad. ^{[ 36 ]} Pronunció un discurso en la reunión anual de la Sociedad Matemática Americana . Durante ese año, Gödel también desarrolló las ideas de computabilidad y funciones recursivas hasta el punto de poder presentar una conferencia sobre funciones recursivas generales y el concepto de verdad. Este trabajo se desarrolló en el campo de la teoría de números, utilizando la numeración de Gödel .

En 1934, Gödel impartió una serie de conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, Nueva Jersey , tituladas «Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales» . Stephen Kleene , que acababa de terminar su doctorado en Princeton, tomó apuntes de estas conferencias que posteriormente se publicaron.

Gödel volvió a visitar el IAS en otoño de 1935. Los viajes y el arduo trabajo lo habían agotado, y al año siguiente se tomó un descanso para recuperarse de un episodio depresivo. Regresó a la docencia en 1937. Durante este tiempo, trabajó en la demostración de la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo ; posteriormente, demostró que estas hipótesis no pueden refutarse a partir del sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.

Después de casarse con Adele Nimbursky en 1938, visitó nuevamente los EE. UU., pasando el otoño de 1938 en el IAS y publicando Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos , ^{[ 37 ]} un clásico de las matemáticas modernas. En él, introdujo el universo constructible , un modelo de la teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel demostró que tanto el axioma de elección (AC) como la hipótesis del continuo generalizado (GCH) son verdaderos en el universo constructible y, por lo tanto, deben ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). Este resultado tiene consecuencias considerables para los matemáticos en activo, ya que significa que pueden asumir el axioma de elección al demostrar el teorema de Hahn-Banach . Paul Cohen construyó más tarde un modelo de ZF en el que AC y GCH son falsos; En conjunto, estas demostraciones significan que AC y GCH son independientes de los axiomas ZF para la teoría de conjuntos.

Gödel pasó la primavera de 1939 en la Universidad de Notre Dame . ^{[ 38 ]}

Tras el Anschluss del 12 de marzo de 1938, Austria pasó a formar parte de la Alemania nazi . Alemania abolió el título de Privatdozent , por lo que Gödel tuvo que solicitar un puesto diferente bajo el nuevo orden. Su anterior relación con miembros judíos del Círculo de Viena, especialmente con Hahn, jugó en su contra. La Universidad de Viena rechazó su solicitud.

Su situación empeoró cuando el ejército alemán lo consideró apto para el servicio militar. La Segunda Guerra Mundial comenzó en septiembre de 1939. Antes de que terminara el año, Gödel y su esposa partieron de Viena hacia Princeton . Para evitar la dificultad de cruzar el Atlántico, los Gödel tomaron el Ferrocarril Transiberiano hasta el Pacífico, navegaron desde Japón hasta San Francisco (a donde llegaron el 4 de marzo de 1940) y luego viajaron a Princeton en tren. ^{[ 39 ]} Durante este viaje, Gödel debía llevar una carta secreta del físico vienés Hans Thirring a Einstein para alertar al presidente Franklin D. Roosevelt sobre la posibilidad de que Hitler estuviera fabricando una bomba atómica. Gödel nunca le entregó esa carta a Einstein, aunque sí se reunieron, porque no estaba convencido de que Hitler pudiera lograr tal hazaña. ^{[ 40 ]} En cualquier caso, Leo Szilard ya le había transmitido el mensaje a Einstein, y Einstein ya había advertido a Roosevelt.

En Princeton, Gödel aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS), que había visitado durante 1933-34. ^{[ 41 ]}

Einstein también residía en Princeton durante este período. Gödel y Einstein entablaron una sólida amistad y solían dar largos paseos juntos hacia y desde el IAS. El contenido de sus conversaciones era un misterio para los demás miembros del Instituto. El economista Oskar Morgenstern relata que, hacia el final de su vida, Einstein le confió que su propio trabajo ya no significaba mucho, que venía al Instituto simplemente para tener el privilegio de caminar a casa con Gödel. ^{[ 42 ]}

Gödel y su esposa pasaron el verano de 1942 en Blue Hill, Maine , en el Blue Hill Inn, en la parte alta de la bahía. Gödel tuvo un verano de trabajo muy productivo. Utilizando el volumen 15 de los cuadernos de trabajo aún inéditos de Gödel , John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descubrió una demostración de la independencia del axioma de elección de la teoría de tipos finitos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos, mientras estaba en Blue Hill en 1942. El amigo íntimo de Gödel, Hao Wang, apoya esta conjetura, señalando que los cuadernos de Blue Hill de Gödel contienen su tratamiento más extenso del problema. ^{[ 43 ]}

El 5 de diciembre de 1947, Einstein y Morgenstern acompañaron a Gödel a su examen de ciudadanía estadounidense , donde actuaron como testigos. Gödel les había confiado que había descubierto una inconsistencia en la Constitución de los Estados Unidos que podría permitir que el país se convirtiera en una dictadura; esto se conoce desde entonces como la laguna jurídica de Gödel . Einstein y Morgenstern estaban preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pudiera poner en peligro su solicitud. El juez resultó ser Phillip Forman , quien conocía a Einstein y le había tomado juramento en su propia audiencia de ciudadanía. Todo transcurrió sin problemas hasta que Forman le preguntó a Gödel si creía que una dictadura como la del régimen nazi podría ocurrir en los Estados Unidos. Entonces Gödel comenzó a explicarle su descubrimiento a Forman. Forman comprendió lo que estaba sucediendo, interrumpió a Gödel y continuó la audiencia con otras preguntas y una conclusión rutinaria. ^{[ 44 ] [ 45 ]}

Gödel se convirtió en miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1946. Fue nombrado catedrático del Instituto en 1953 y profesor emérito en 1976. ^{[ 46 ]}

Durante su estancia en el instituto, los intereses de Gödel se orientaron hacia la filosofía y la física. En 1949, demostró la existencia de soluciones que involucran curvas temporales cerradas para las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general . ^{[ 47 ]} Se dice que le regaló esta elaboración a Einstein por su 70 cumpleaños. ^{[ 48 ]} Sus «universos rotatorios» permitirían viajar en el tiempo al pasado y provocaron dudas en Einstein sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel (una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein ).

Gödel estudió y admiró la obra de Gottfried Leibniz , pero llegó a creer que una conspiración hostil había provocado la supresión de parte de su obra. ^{[ 49 ]} En menor medida, estudió a Kant y a Edmund Husserl . A principios de la década de 1970, Gödel distribuyó entre sus amigos una elaboración de la versión de Leibniz del argumento ontológico de Anselmo de Canterbury sobre la existencia de Dios. Esto se conoce ahora como la prueba ontológica de Gödel .

Gödel creía que Dios era personal, ^{[ 58 ]} y llamó a su filosofía "racionalista, idealista, optimista y teológica". ^{[ 59 ]} Formuló un borrador de prueba formal de la existencia de Dios conocida como la prueba ontológica de Gödel .

Gödel creía en la vida después de la muerte y afirmaba: «Por supuesto, esto supone que existen muchas relaciones de las que la ciencia y la sabiduría convencional actuales no tienen ni idea. Pero estoy convencido de esto [la vida después de la muerte], independientemente de cualquier teología». Es «posible hoy percibir, mediante el razonamiento puro», que «es totalmente coherente con los hechos conocidos». «Si el mundo está racionalmente construido y tiene sentido, entonces debe existir algo así [como una vida después de la muerte]». ^{[ 60 ]} También leyó extensamente sobre otros temas paranormales , como la telepatía, la reencarnación y los fantasmas. ^{[ 61 ]}

En una respuesta no enviada a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterana bautizada (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta, siguiendo a Leibniz en lugar de Spinoza". ^{[ 62 ]} Sobre la(s) religión(es) en general, dijo: "Las religiones son en su mayoría malas, pero no la religión en sí". ^{[ 63 ]} Según su esposa, Adele, "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana", ^{[ 64 ]} mientras que sobre el Islam , dijo: "Me gusta el Islam: es una idea coherente [o consecuente] de religión y de mente abierta". ^{[ 65 ]}

• 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls". Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349–60.
• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–98.
• 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.

• 1940. La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos . Princeton University Press.
• 1947. "¿Qué es el problema del continuo de Cantor?" The American Mathematical Monthly 54 : 515-25. Versión revisada en Paul Benacerraf y Hilary Putnam , eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings . Cambridge Univ. Press: 470-85.
• 1950, "Universos en rotación en la teoría de la relatividad general". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos en Cambridge, vol. 1, págs.  175-181.

• Kurt Gödel, 1992. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados , trad. B. Meltzer, con una introducción exhaustiva de Richard Braithwaite . Reimpresión de Dover de la edición de 1962 de Basic Books.
• Kurt Gödel, 2000. ^{[ 72 ]} Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados , trad. Martin Hirzel
• Jean van Heijenoort , 1967. Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 . Harvard Univ. Press.
  • 1930. "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica", 582-91.
  • 1930. "Algunos resultados metamatemáticos sobre completitud y consistencia", 595-96. Resumen de (1931).
  • 1931. "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados", 596–616.
  • 1931a. "Sobre la completitud y la coherencia", 616-17.
• Obras completas : Oxford University Press: Nueva York. Editor en jefe: Solomon Feferman .
• Gödel, Kurt. Obras completas . Nueva York: Oxford University Press .
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  • — (1990). Feferman, Solomon ; Dawson, Jr., John W.; Kleene, Stephen C .; Moore, Gregory H.; Solovay, Robert M .; Van Heijenoort, Jean (eds.). Publicaciones 1938–1974 (PDF) . Vol.  II. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-503972-6./ Tapa blanda: ISBN 978-0-19-514721-6
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  • — (2003). Feferman, Solomon ; Dawson, Jr., John W.; Goldfarb , Warren ; Parsons, Charles ; Sieg, Wilfried (eds.). Correspondencia H–Z (PDF) . Vol.  V. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850075-9.

• Kurt Gödel, Philosophische Notizbücher / Cuadernos filosóficos : De Gruyter: Berlín/München/Boston. Editora: Eva-Maria Engelen .
  • Volumen 1 (2019): Filosofía I Maximen 0 / Filosofía I Máximas 0. ISBN 978-3-11-058374-8/ Tapa blanda: ISBN 978-3-11-077683-6.
  • Volumen 2 (2020): Zeiteinteilung (Maximen) I y II / Gestión del tiempo (Maxims) I y II. ISBN 978-3-11-067409-5/ Tapa blanda: ISBN 978-3-11-221621-7.
  • Volumen 3 (2021): Maximen III / Maxims III. ISBN 978-3-11-075325-7/ Tapa blanda: ISBN 978-3-11-221622-4.
  • Volumen 4 (2023): Maximen IV / Maxims IV. ISBN 978-3-11-077294-4/ Tapa blanda: ISBN 978-3-11-162253-8.
  • Volumen 5 (2024): Maximen V / Maxims V. ISBN 978-3-11-108114-4/ Tapa blanda: ISBN 978-3-11-221623-1.
  • Volumen 6 (2025): Maximen VI / Maxims VI. ISBN 978-3-11-139031-4.
  • Volumen 7 (2026): Maximen VII / Maxims VII. ISBN 978-3-11-140466-0.