El lema de Gordon

Dejar${\displaystyle \sigma }$Sea el cono dual del cono poliédrico racional dado.${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$sean vectores enteros de modo que${\displaystyle \sigma =\{x\mid \langle u_{i},x\rangle \geq 0,1\leq i\leq r\}.}$Entonces el${\displaystyle u_{i}}$generan el cono doble${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$; de hecho, escribir C para el cono generado por${\displaystyle u_{i}}$'s, tenemos:${\displaystyle \sigma \subset C^{\vee }}$, que debe ser la igualdad. Ahora, si x está en el semigrupo

${\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},}$

entonces se puede escribir como

${\displaystyle x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},}$

dónde${\displaystyle n_{i}}$son enteros no negativos y${\displaystyle 0\leq r_{i}\leq 1}$. Pero como x y la primera suma del lado derecho son enteros, la segunda suma es un punto de la red en una región acotada, y por lo tanto solo hay un número finito de posibilidades para la segunda suma (la razón topológica). Por lo tanto,${\displaystyle S_{\sigma }}$es generado de forma finita.

La demostración ^{[ 3 ]} se basa en el hecho de que un semigrupo S es finitamente generado si y solo si su álgebra de semigrupos${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$Para demostrar el lema de Gordan, por inducción (véase la demostración anterior), basta con probar la siguiente afirmación: para cualquier subsemigrupo unitario S de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$,

Si S es finitamente generado, entonces${\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geq 0\}}$, v un vector integral, es finitamente generado.

Poner${\displaystyle A=\mathbb {C} [S]}$, que tiene una base${\displaystyle \chi ^{a},\,a\in S}$Tiene${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificación otorgada por

${\displaystyle A_{n}=\operatorname {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\}}$.

Por hipótesis, A es finitamente generado y, por lo tanto, es noetheriano. Del lema algebraico que se presenta a continuación se deduce que${\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}}$es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle A_{0}}$Ahora, el semigrupo${\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\}}$es la imagen de S bajo una proyección lineal, por lo tanto, finitamente generada y así${\displaystyle A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]}$es finitamente generado. Por lo tanto,${\displaystyle S^{+}}$entonces se genera de forma finita.

Lema : Sea A un${\displaystyle \mathbb {Z} }$- anillo graduado . Si A es un anillo noetheriano , entonces${\displaystyle A^{+}=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}}$es un finito generado${\displaystyle A_{0}}$-álgebra.

Demostración: Sea I el ideal de A generado por todos los elementos homogéneos de A de grado positivo. Dado que A es noetheriano, I es generado en realidad por un número finito de elementos homogéneos de A.${\displaystyle f_{i}'s}$, homogéneo de grado positivo. Si f es homogéneo de grado positivo, entonces podemos escribir${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$con${\displaystyle g_{i}}$homogéneo. Si f tiene un grado suficientemente grande, entonces cada${\displaystyle g_{i}}$tiene grado positivo y estrictamente menor que el de f . Además, cada pieza de grado${\displaystyle A_{n}}$es un finito generado${\displaystyle A_{0}}$-módulo. (Prueba: Sea${\displaystyle N_{i}}$ser una cadena creciente de submódulos generados finitamente de${\displaystyle A_{n}}$con unión${\displaystyle A_{n}}$. Luego la cadena de los ideales${\displaystyle N_{i}A}$se estabiliza en pasos finitos; también lo hace la cadena${\displaystyle N_{i}=N_{i}A\cap A_{n}.}$) Así, por inducción sobre el grado, vemos${\displaystyle A^{+}}$es un finito generado${\displaystyle A_{0}}$-álgebra.