Estado del gráfico

En computación cuántica , un estado de grafo es un tipo especial de estado de múltiples cúbits que se puede representar mediante un grafo . Cada cúbit está representado por un vértice del grafo, y existe una arista entre cada par de cúbits que interactúan. En particular, son una forma conveniente de representar ciertos tipos de estados entrelazados .

Los estados de grafo son útiles en códigos de corrección de errores cuánticos , medición y purificación de entrelazamiento, y para la caracterización de recursos computacionales en modelos de computación cuántica basados ​​en mediciones. Un estado de grafo es un caso particular de un estado estabilizador, así como un estado de hipergrafo 2-uniforme , una generalización donde las aristas tienen cardinalidad entre 1 y N.

Los estados de grafos cuánticos se pueden definir de dos maneras equivalentes: mediante la noción de circuitos cuánticos y el formalismo de estabilizadores.

• Si${\displaystyle G=P_{3}}$es un camino de tres vértices , entonces el${\displaystyle S_{v}}$Los estabilizadores son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes I,\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

El estado cuántico correspondiente es

${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }+{\left|111\right\rangle })}$

• Si${\displaystyle G=K_{3}}$es un triángulo de tres vértices, entonces el${\displaystyle S_{v}}$Los estabilizadores son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{alineado}}}$

El estado cuántico correspondiente es

${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }-{\left|111\right\rangle })}$

Observa que${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }}$y${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }}$son localmente equivalentes entre sí, es decir, se pueden mapear entre sí aplicando transformaciones unitarias de un qubit. De hecho, cambiar${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{y}}$en el primer y último cúbits, mientras se cambia${\displaystyle \sigma _{y}}$y${\displaystyle \sigma _{z}}$En el cúbit central, mapea el grupo estabilizador de uno en el del otro.

Dos estados de grafo se denominan localmente equivalentes si uno puede convertirse en el otro mediante compuertas unitarias locales. Si la conversión de un estado a otro puede realizarse mediante compuertas locales del grupo de Clifford , los dos estados se denominan localmente equivalentes de Clifford. Si y solo si dos estados de grafo son localmente equivalentes de Clifford, un grafo puede convertirse en el otro mediante una secuencia de las llamadas "complementaciones locales". ^{[ 3 ]} Esto proporciona una herramienta útil para estudiar la equivalencia local de Clifford mediante una regla simple de manipulación de grafos, y las clases de equivalencia correspondientes de estados de grafo se han estudiado en las Refs. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]} Sin embargo, la equivalencia local de Clifford de los estados de grafo solo coincide con la equivalencia unitaria local para estados de grafo pequeños ^{[ 1 ]} y, en general, no es idéntica. ^{[ 6 ]}

Después de que se creó un estado gráfico en un experimento, es importante verificar que, efectivamente, se ha creado un estado cuántico entrelazado. La fidelidad con respecto a un${\displaystyle N}$-estado del gráfico de cúbits${\displaystyle |G_{N}\rangle }$es dado por

${\displaystyle F_{GN}={\rm {Tr}}(\rho |G_{N}\rangle \langle G_{N}|),}$

Se ha demostrado que si${\displaystyle F_{GN}>1/2}$para un estado de grafo no trivial correspondiente a un grafo conectado, entonces el estado${\displaystyle \rho }$tiene entrelazamiento multipartícula genuino. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Por lo tanto, se puede obtener un testigo de entrelazamiento detectando entrelazamiento cerca de los estados del grafo como

${\displaystyle W_{GN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identidad}}-|G_{N}\rangle \langle G_{N}|.}$

dónde${\displaystyle \langle W_{GN}\rangle <0}$Señales de entrelazamiento multipartícula genuino.

Dicha señal no puede medirse directamente. Debe descomponerse en una suma de términos de correlación, que sí pueden medirse. Sin embargo, para sistemas grandes, este enfoque puede resultar difícil.

También existen testigos de entrelazamiento que funcionan en sistemas muy grandes y que detectan entrelazamiento multipartito genuino cerca de estados de grafo. En este caso, el estado de grafo en sí debe estar genuinamente entrelazado multipartito, es decir, debe corresponder a un grafo conexo. Los testigos solo necesitan dos configuraciones de medición locales mínimas para estados de grafo correspondientes a grafos bicoloreables. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Condiciones similares también pueden utilizarse para establecer un límite inferior en la fidelidad con respecto a un estado de grafo ideal. ^{[ 8 ]} Estos criterios se utilizaron por primera vez en un experimento que realizaba estados de clúster de cuatro cúbits con fotones. ^{[ 9 ]} Estos enfoques también se han utilizado para proponer métodos para detectar entrelazamiento en una parte más pequeña de un estado de clúster grande o un estado de grafo realizado en redes ópticas. ^{[ 10 ]}

También se han desarrollado desigualdades de Bell para estados de clúster y estados de grafo. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Todas estas condiciones de entrelazamiento y desigualdades de Bell se basan en el formalismo del estabilizador. ^{[ 14 ]}

• Enredo
• Estado del clúster
• Computadora cuántica unidireccional

• M. Hein; J. Eisert; HJ Briegel (2004). "Entrelazamiento multipartito en estados de grafos". Physical Review A . 69 (6) 062311. arXiv : quant-ph/0307130 . Bibcode : 2004PhRvA..69f2311H . doi : 10.1103/PhysRevA.69.062311 . S2CID 108290803 . 
• S. Anders; HJ Briegel (2006). "Simulación rápida de circuitos estabilizadores mediante una representación de estado de grafo". Physical Review A . 73 (2) 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Bibcode : 2006PhRvA..73b2334A . doi : 10.1103/PhysRevA.73.022334 . S2CID 12763101 . 
• M. Van den Nest; J. Dehaene; B. De Moor (2005). "Equivalencia unitaria local versus equivalencia local de Clifford de estados estabilizadores". Physical Review A . 71 (6) 062323. arXiv : quant-ph/0411115 . Bibcode : 2005PhRvA..71f2323V . doi : 10.1103/PhysRevA.71.062323 . S2CID 119466090 . 

• Estados de grafos cuánticos: dos definiciones equivalentes