Las conjeturas de Greenberg

La conjetura de Greenberg es una de las dos conjeturas de la teoría algebraica de números propuestas por Ralph Greenberg . Ambas siguen sin resolverse a fecha de 2021.

La primera conjetura se propuso en 1976 y se refiere a los invariantes de Iwasawa . Esta conjetura está relacionada con la conjetura de Vandiver , la conjetura de Leopoldt y la conjetura de Birch-Tate , todas las cuales también permanecen sin resolver.

La conjetura, también conocida como la conjetura de los invariantes de Greenberg , apareció por primera vez en la tesis de Greenberg en la Universidad de Princeton en 1971 y originalmente afirmaba que, suponiendo que${\displaystyle F}$es un campo de números totalmente reales y eso${\displaystyle F_{\infty }/F}$es el ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-extensión,${\displaystyle \lambda (F_{\infty }/F)=\mu (F_{\infty }/F)=0}$, es decir, el poder de${\displaystyle p}$dividiendo el número de clase de${\displaystyle F_{n}}$está limitado como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Tenga en cuenta que si la conjetura de Leopoldt se cumple para${\displaystyle F}$y${\displaystyle p}$, el único${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-extensión de${\displaystyle F}$es la ciclotómica (ya que es totalmente real).

En 1976, Greenberg amplió la conjetura proporcionando más ejemplos y la reformuló ligeramente de la siguiente manera: dado que${\displaystyle k}$es una extensión finita de${\displaystyle \mathbf {Q} }$y eso${\displaystyle \ell }$es un primo fijo, considerando subcampos de extensiones ciclotómicas de${\displaystyle k}$Se puede definir una torre de campos numéricos. ${\displaystyle k=k_{0}\subset k_{1}\subset k_{2}\subset \cdots \subset k_{n}\subset \cdots }$de tal manera que${\displaystyle k_{n}}$es una extensión cíclica de${\displaystyle k}$de grado${\displaystyle \ell ^{n}}$. Si${\displaystyle k}$es totalmente real, es el poder de${\displaystyle l}$dividiendo el número de clase de${\displaystyle k_{n}}$limitado como  ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$¿Ahora bien, si...?${\displaystyle k}$es un campo numérico arbitrario, entonces existen números enteros${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$de tal manera que el poder de${\displaystyle \ell }$dividiendo el número de clase de${\displaystyle k_{n}}$es${\displaystyle \ell ^{e_{n}}}$, dónde${\displaystyle e_{n}={\lambda }n+\mu ^{\ell _{n}}+\nu }$para todos suficientemente grandes${\displaystyle n}$Los números enteros${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \nu }$depender únicamente de${\displaystyle k}$y${\displaystyle \ell }$. Entonces, preguntamos: es${\displaystyle \lambda =\mu =0}$para${\displaystyle k}$¿Totalmente real?

En pocas palabras, la conjetura pregunta si tenemos${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=\lambda _{\ell }(k)=0}$para cualquier campo de números totalmente reales${\displaystyle k}$y cualquier número primo${\displaystyle \ell }$, o la conjetura también puede reformularse preguntando si ambos invariantes λ y μ asociados al ciclotómico${\displaystyle Z_{p}}$-extensión de un campo de números totalmente reales que desaparece.

En 2001, Greenberg generalizó la conjetura (convirtiéndola así en la conjetura pseudo-nula de Greenberg o, a veces, en la conjetura generalizada de Greenberg ):

Suponiendo que${\displaystyle F}$es un campo de números totalmente reales y eso${\displaystyle p}$es un número primo, dejemos${\displaystyle {\tilde {F}}}$denotan el compuesto de todos${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-extensiones de${\displaystyle F}$. (Recuerde que si la conjetura de Leopoldt se cumple para${\displaystyle F}$y${\displaystyle p}$, entonces${\displaystyle {\tilde {F}}=F_{\infty }}$.) Dejar${\displaystyle {\tilde {L}}}$denotan el pro-${\displaystyle p}$Campo de clase de Hilbert de${\displaystyle {\tilde {F}}}$y dejar${\displaystyle {\tilde {X}}=\operatorname {Gal} ({\tilde {L}}/{\tilde {F}})}$, considerado como un módulo sobre el anillo${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}={\mathbb {Z} _{p}}[[\operatorname {Gal} ({\tilde {F}}/F)]]}$. Entonces${\displaystyle {\tilde {X}}}$es un pseudo-nulo${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}$-módulo.

Una posible reformulación: Dejemos${\displaystyle {\tilde {k}}}$ser el compuesto de todos los${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-extensiones de${\displaystyle k}$y dejar${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {k}}/k)\simeq \mathbb {Z} _{p}^{n}}$, entonces${\displaystyle Y_{\tilde {k}}}$es un pseudo-nulo${\displaystyle \Lambda _{n}}$-módulo.

Existe otra conjetura relacionada (que aún no se ha resuelto):

Tenemos${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=0}$para cualquier campo numérico${\displaystyle k}$y cualquier número primo${\displaystyle \ell }$.

Esta conjetura relacionada fue justificada por Bruce Ferrero y Larry Washington , quienes demostraron (véase: teorema de Ferrero-Washington ) que${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=0}$para cualquier extensión abeliana${\displaystyle k}$del campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$y cualquier número primo${\displaystyle \ell }$.

Otra conjetura, que puede denominarse conjetura de Greenberg , fue propuesta por Greenberg en 2016 y se conoce como la conjetura de Greenberg.${\displaystyle p}$-conjetura de racionalidad . Afirma que para cualquier primo impar${\displaystyle p}$y para cualquier${\displaystyle t}$, existe un${\displaystyle p}$-campo racional${\displaystyle K}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /\mathbb {2Z} )^{t}}$Esta conjetura está relacionada con el problema inverso de Galois .

• R. Greenberg, Sobre algunas cuestiones relativas a los invariantes de Iwasawa , tesis de la Universidad de Princeton (1971)
• R. Greenberg, "Sobre los invariantes de Iwasawa de cuerpos de números totalmente reales", American Journal of Mathematics , número 98 (1976), págs. 263–284
• R. Greenberg, "Teoría de Iwasawa: pasado y presente", Estudios avanzados en matemáticas puras , número 30 (2001), págs. 335-385
• R. Greenberg, "Representaciones de Galois con imagen abierta", Annales mathématiques du Québec , volumen 40, número 1 (2016), págs. 83-119
• B. Ferrero y LC Washington, "La invariante de Iwasawa"${\displaystyle \mu _{p}}$"Desaparición para cuerpos numéricos abelianos", Anales de Matemáticas (Segunda Serie), volumen 109, número 2 (mayo de 1979), págs. 377–395