Seis operaciones

En matemáticas , las seis operaciones de Grothendieck , que llevan el nombre de Alexander Grothendieck , son un formalismo en álgebra homológica , también conocido como formalismo de seis functores . ^{[ 1 ]} Originalmente surgió de las relaciones en cohomología étale que surgen de un morfismo de esquemas f  : X → Y. La idea básica fue que muchos de los hechos elementales que relacionan la cohomología en X e Y eran consecuencias formales de un pequeño número de axiomas. Estos axiomas se cumplen en muchos casos completamente ajenos al contexto original, y por lo tanto las consecuencias formales también se cumplen. Desde entonces se ha demostrado que el formalismo de las seis operaciones se aplica a contextos como D -módulos en variedades algebraicas , haces en espacios topológicos localmente compactos y motivos .

Las operaciones son seis functores . Por lo general, estos son functores entre categorías derivadas y, por lo tanto, son functores derivados izquierdos y derechos .

• la imagen directa${\displaystyle f_{*}}$
• la imagen inversa${\displaystyle f^{*}}$
• la imagen directa adecuada (o extraordinaria)${\displaystyle f_{!}}$
• la imagen inversa propia (o extraordinaria)${\displaystyle f^{!}}$
• producto tensorial interno
• Inicio interno

Los functores${\displaystyle f^{*}}$y${\displaystyle f_{*}}$forman un par de funtores adjuntos , como lo hacen${\displaystyle f_{!}}$y${\displaystyle f^{!}}$. ^{[ 2 ]} De manera similar, el producto tensorial interno es adjunto izquierdo de Hom interno.

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas. El morfismo f induce varios functores. Específicamente, da functores adjuntos .${\displaystyle f^{*}}$y${\displaystyle f_{*}}$entre las categorías de haces en X e Y , y da el functor${\displaystyle f_{!}}$de imagen directa con soporte adecuado. En la categoría derivada , Rf _! admite un adjunto derecho${\displaystyle f^{!}}$. Finalmente, al trabajar con haces abelianos, hay un functor de producto tensorial ⊗ y un functor interno Hom, y estos son adjuntos. Las seis operaciones son los functores correspondientes en la categoría derivada: Lf ^* , Rf _* , Rf _! , f ^! , ⊗ ^L , y RHom .

Supongamos que nos restringimos a una categoría de${\displaystyle \ell }$-haces de torsión ádica , donde${\displaystyle \ell }$es coprima con la característica de X y de Y. En SGA 4 III, Grothendieck y Artin demostraron que si f es suave de dimensión relativa d , entonces${\displaystyle Lf^{*}}$es isomorfo a f ^! ( − d )[ − 2 d ] , donde ( − d ) denota el d -ésimo giro inverso de Tate y [ − 2 d ] denota un cambio de grado por − 2 d . Además, supongamos que f es separado y de tipo finito . Si g  : Y ′ → Y es otro morfismo de esquemas, si X ′ denota el cambio de base de X por g , y si f ′ y g ′ denotan los cambios de base de f y g por g y f , respectivamente, entonces existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}$

${\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}$

Suponiendo nuevamente que f es separada y de tipo finito, para cualesquiera objetos M en la categoría derivada de X y N en la categoría derivada de Y , existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}$

${\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

Si i es una inmersión cerrada de Z en S con inmersión abierta complementaria j , entonces hay un triángulo distinguido en la categoría derivada:

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

donde los dos primeros mapas son la counidad y la unidad, respectivamente, de las adjunciones. Si Z y S son regulares , entonces existe un isomorfismo:

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

donde 1 _Z y 1 _S son las unidades de las operaciones de producto tensorial (que varían según la categoría de${\displaystyle \ell }$-Se está considerando el uso de poleas de torsión -ádicas).

Si S es regular y g  : X → S , y si K es un objeto invertible en la categoría derivada sobre S con respecto a ⊗ ^L , entonces definimos D _X como el functor RHom(—, g ^! K ) . Entonces, para los objetos M y M ′ en la categoría derivada sobre X , las aplicaciones canónicas son:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

son isomorfismos. Finalmente, si f  : X → Y es un morfismo de esquemas S , y si M y N son objetos en las categorías derivadas de X e Y , entonces existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

• Dualidad coherente
• Dualidad local de Grothendieck
• Funtores de imagen para haces
• Dualidad más verde
• Cambio de anillos

• Laszlo, Yves ; Olsson, Martin (2005). "Las seis operaciones para haces en pilas de Artin I: Coeficientes finitos". arXiv : math/0512097 .
• Ayoub, José. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des Cycles évanescents dans le monde motivique (PDF) (Tesis).
• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Categorías trianguladas de motivos mixtos . Springer Monographs in Mathematics. arXiv : 0912.2110 . doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9. S2CID 115163824 . 
• Mebkhout, Zoghman (1989). El formalismo de las seis operaciones de Grothendieck para los módulos D _X coherentes . Trabajos en curso. vol.  35. París: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6.

• seis operaciones en el laboratorio n
• ¿Qué unifica (si es que existe algo) la teoría de la homotopía estable y el formalismo de los seis functores de Grothendieck?