Acciones grupales en anatomía computacional

Las acciones de grupo son fundamentales para la geometría riemanniana y la definición de órbitas (teoría de control) . Las órbitas de la anatomía computacional consisten en formas anatómicas e imágenes médicas ; las formas anatómicas son subvariedades de geometría diferencial que constan de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes. Esto generalizó las ideas de las órbitas más conocidas del álgebra lineal , que son espacios vectoriales lineales . Las imágenes médicas son imágenes escalares y tensoriales de imágenes médicas . Las acciones de grupo se utilizan para definir modelos de la forma humana que se adaptan a la variación. Estas órbitas son plantillas deformables, tal como se formularon originalmente de forma más abstracta en la teoría de patrones .

El modelo orbital de anatomía computacional

El modelo central de anatomía humana en anatomía computacional es un grupo y acción de grupo , una formulación clásica de la geometría diferencial . La órbita se llama espacio de formas y figuras . ^{[ 1 ]} El espacio de formas se denota $m\in {\mathcal {M}}$ , con el grupo $({\mathcal {G}},\circ )$ con la ley de composición $\circ$ ; la acción del grupo sobre las formas se denota $g\cdot m$ donde la acción del grupo $g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}$ se define para satisfacer

(g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.

La órbita ${\mathcal {M}}$ de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas, ${\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}$ .

Varias acciones grupales en anatomía computacional

El grupo central en CA definido en volúmenes en ${\mathbb {R} }^{3}$ son el grupo de difeomorfismos ${\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff}$ que son mapeos con 3 componentes $\phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))$ , ley de composición de funciones $\phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))$ , con inversa $\phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatorname {id}$ .

Subvariedades: órganos, estructuras subcorticales, diagramas e inmersiones

Para subvariedades $X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$ , parametrizado por una carta o inmersión $m(u),u\in U$ , la acción difeomórfica el flujo de la posición

\phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U

.

Imágenes escalares como resonancia magnética, tomografía computarizada y tomografía por emisión de positrones (PET).

Las imágenes escalares son las más populares. $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ , con acción a la derecha a través de la inversa.

\phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}

.

Tangentes orientadas en curvas, autovectores de matrices tensoriales

Se utilizan muchas modalidades de imágenes diferentes con diversas acciones. Para imágenes como esas $I(x)$ es un vector tridimensional entonces

\varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},

\varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}

Matrices tensoriales

Cao et al. ^{[ 2 ]} examinaron acciones para mapear imágenes de resonancia magnética medidas mediante imágenes de tensor de difusión y representadas mediante su vector propio principal. Para campos tensoriales, una base ortonormal orientada positivamente $I(x)=(I_{1}(x),I_{2}(x),I_{3}(x))$ de ${\mathbb {R} }^{3}$ , denominados marcos, producto vectorial cruzado denotado $I_{1}\times I_{2}$ entonces

\varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\|D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,

El marco de Frénet de tres vectores ortonormales, $I_{1}$ se deforma como una tangente, $I_{3}$ se deforma como una normal al plano generado por $I_{1}\times I_{2}$ , y $I_{3}$ . H está restringido de forma única por el hecho de que la base sea positiva y ortonormal.

Para $3\times 3$ matrices simétricas no negativas, una acción se convertiría en $\varphi \cdot I=(D\varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}$ .

Para mapear imágenes de DTI de resonancia magnética ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} (tensores), entonces los valores propios se conservan con el difeomorfismo que rota los vectores propios y conserva los valores propios. Dados los elementos propios $\{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}$ , entonces la acción se convierte en

\varphi \cdot I\doteq (\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1}

{\hat {e}}_{1}={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .

Función de distribución de orientación y HARDI de alta resolución angular

La función de distribución de orientación (FDO) caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua y puede reconstruirse a partir de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI). La FDO es una función de densidad de probabilidad definida en una esfera unitaria , ${\mathbb {S} }^{2}$ . En el campo de la geometría de la información , ^{[ 5 ]} el espacio de ODF forma una variedad riemanniana con la métrica de Fisher-Rao. Para el propósito del mapeo LDDMM ODF, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha, ya que las diversas operaciones riemannianas, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas logarítmicos, están disponibles en forma cerrada. En lo que sigue, denotaremos raíz cuadrada ODF ( ${\sqrt {\text{ODF}}}$ ) como $\psi ({\bf {s}})$ , dónde $\psi ({\bf {s}})$ es no negativo para asegurar la singularidad y $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ .

Denotemos la transformación difeomórfica como $\phi$ . Acción de grupo del difeomorfismo sobre $\psi ({\bf {s}})$ , $\phi \cdot \psi$ , necesita garantizar la no negatividad y $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ . Basándose en la derivación en ^{[ 6 ]} , esta acción de grupo se define como

{\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}

dónde $(D\phi )$ es el jacobiano de $\phi$ .

Referencias

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[2] Cao Y1, Miller MI, Winslow RL, Younes, Mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones de campos vectoriales. IEEE Trans Med Imaging. 2005 Sep;24(9):1216-30.

[3] Alexander, DC; Pierpaoli, C.; Basser, PJ; Gee, JC (2001-11-01). "Transformaciones espaciales de imágenes de resonancia magnética de tensor de difusión" ( PDF) . IEEE Transactions on Medical Imaging . 20 (11): 1131– 1139. doi : 10.1109/42.963816 . ISSN 0278-0062 . PMID 11700739. S2CID 6559551 .

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[5] Amari, S (1985). Métodos geométrico-diferenciales en estadística . Springer.

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