Anatomía computacional

La anatomía computacional es un campo interdisciplinario de la biología centrado en la investigación cuantitativa y el modelado de la variabilidad de las formas anatómicas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Implica el desarrollo y la aplicación de métodos matemáticos, estadísticos y de análisis de datos para el modelado y la simulación de estructuras biológicas.

Este campo se define ampliamente e incluye fundamentos en anatomía , matemáticas aplicadas y puras , aprendizaje automático , mecánica computacional , ciencia computacional , imágenes biológicas , neurociencia , física , probabilidad y estadística ; además, mantiene fuertes vínculos con la mecánica de fluidos y la mecánica geométrica . Asimismo, complementa campos interdisciplinarios más recientes, como la bioinformática y la neuroinformática, ya que su interpretación utiliza metadatos derivados de las modalidades de imagen originales (de las cuales la resonancia magnética es un ejemplo). Se centra en las estructuras anatómicas que se visualizan, en lugar de en los dispositivos de imagen médica. Su espíritu es similar al de la lingüística computacional , una disciplina que se centra en las estructuras lingüísticas en lugar del sensor como medio de transmisión y comunicación.

En anatomía computacional, el grupo de difeomorfismos se utiliza para estudiar diferentes sistemas de coordenadas a través de transformaciones de coordenadas generadas a través de las velocidades lagrangianas y eulerianas del flujo en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$. Los flujos entre coordenadas en anatomía computacional están restringidos a ser flujos geodésicos que satisfacen el principio de mínima acción para la energía cinética del flujo . La energía cinética se define a través de una norma de suavidad de Sobolev con estrictamente más de dos derivadas generalizadas, de cuadrado integrable para cada componente de la velocidad del flujo , lo que garantiza que los flujos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$son difeomorfismos. ^{[ 3 ]} También implica que el momento de forma difeomórfica tomado punto por punto que satisface la ecuación de Euler-Lagrange para geodésicas está determinado por sus vecinos a través de derivadas espaciales en el campo de velocidad. Esto separa la disciplina del caso de fluidos incompresibles ^{[ 4 ]} para los cuales el momento es una función punto por punto de la velocidad. La anatomía computacional se cruza con el estudio de variedades riemannianas y análisis global no lineal , donde los grupos de difeomorfismos son el foco central. Las teorías emergentes de forma de alta dimensión ^{[ 5 ]} son ​​centrales para muchos estudios en anatomía computacional, al igual que las cuestiones que surgen del campo incipiente de la estadística de formas . Las estructuras métricas en anatomía computacional están relacionadas en espíritu con la morfometría , con la distinción de que la anatomía computacional se centra en un espacio de dimensiones infinitas de sistemas de coordenadas transformados por un difeomorfismo , de ahí el uso central de la terminología difeomorfometría , el estudio del espacio métrico de sistemas de coordenadas a través de difeomorfismos.

En el corazón de la anatomía computacional está la comparación de formas mediante el reconocimiento de otra en una. Esto la conecta con los desarrollos de D'Arcy Wentworth Thompson en Sobre el crecimiento y la forma, que han llevado a explicaciones científicas de la morfogénesis , el proceso por el cual se forman patrones en biología . Los Cuatro libros sobre la proporción humana de Albrecht Dürer fueron posiblemente las primeras obras sobre anatomía computacional. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Los esfuerzos de Noam Chomsky en su labor pionera de la lingüística computacional inspiraron la formulación original de la anatomía computacional como un modelo generativo de forma y figura a partir de ejemplares sobre los que se actúan mediante transformaciones. ^{[ 9 ]}

Debido a la disponibilidad de mediciones 3D densas a través de tecnologías como la resonancia magnética (RM), la anatomía computacional ha surgido como un subcampo de la imagen médica y la bioingeniería para extraer sistemas de coordenadas anatómicas a escala del morfoma en 3D. El espíritu de esta disciplina comparte una fuerte superposición con áreas como la visión por computadora y la cinemática de cuerpos rígidos , donde los objetos se estudian analizando los grupos responsables del movimiento en cuestión. La anatomía computacional se diferencia de la visión por computadora por su enfoque en movimientos rígidos, ya que el grupo de difeomorfismos de dimensión infinita es central para el análisis de formas biológicas. Es una rama de la escuela de análisis de imágenes y teoría de patrones en la Universidad de Brown ^{[ 10 ]} iniciada por Ulf Grenander . En la teoría general de patrones métricos de Grenander , hacer espacios de patrones en un espacio métrico es una de las operaciones fundamentales ya que poder agrupar y reconocer configuraciones anatómicas a menudo requiere una métrica de formas cercanas y lejanas. La métrica de difeomorfometría ^{[ 11 ]} de la anatomía computacional mide la distancia entre dos cambios difeomórficos de coordenadas, lo que a su vez induce una métrica en las formas e imágenes indexadas a ellos. Los modelos de la teoría de patrones métricos ^{[ 12 ] [ 13 ],} en particular la acción de grupo sobre la órbita de formas y figuras, constituyen una herramienta fundamental para las definiciones formales en anatomía computacional.

La anatomía computacional es el estudio de la forma y la estructura a escala milimétrica del morfoma o anatomía macroscópica , o escala morfológica , centrándose en el estudio de subvariedades de${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$Puntos, superficies curvas y subvolúmenes de la anatomía humana. Un neuroanatomista computacional moderno temprano fue David Van Essen ^{[ 14 ],} quien realizó algunos de los primeros despliegues físicos del cerebro humano basados ​​en la impresión y el corte de una corteza humana. La publicación de las coordenadas de Talairach por Jean Talairach es un hito importante a escala del morfoma, que demuestra la base fundamental de los sistemas de coordenadas locales en el estudio de la neuroanatomía y, por lo tanto, el vínculo claro con los diagramas de geometría diferencial . Simultáneamente, el mapeo virtual en anatomía computacional a través de coordenadas de imágenes densas de alta resolución ya se estaba produciendo en los primeros desarrollos de Ruzena Bajcy ^{[ 15 ]} y Fred Bookstein ^{[ 16 ]} basados ​​en tomografía axial computarizada e imágenes de resonancia magnética . La primera introducción del uso de flujos de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en el análisis de imágenes e imágenes médicas fue por Christensen, Joshi, Miller y Rabbitt. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

La primera formalización de la anatomía computacional como una órbita de plantillas ejemplares bajo la acción de un grupo de difeomorfismos se dio en la conferencia original impartida por Grenander y Miller con ese título en mayo de 1997 en el 50.º aniversario de la División de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Brown, ^{[ 20 ]} y su posterior publicación. ^{[ 9 ]} Esta fue la base para la marcada ruptura con gran parte del trabajo previo sobre métodos avanzados para la normalización espacial y el registro de imágenes , que históricamente se basaban en nociones de adición y expansión de bases. Las transformaciones que preservan la estructura, centrales en el campo moderno de la Anatomía Computacional, los homeomorfismos y difeomorfismos transportan subvariedades suaves de manera fluida. Se generan mediante flujos lagrangianos y eulerianos que satisfacen una ley de composición de funciones que forman la propiedad de grupo, pero no son aditivos.

El modelo original de anatomía computacional era el triple,${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$el grupo ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$, la órbita de formas y figuras${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$y las leyes de probabilidad${\displaystyle P}$que codifican las variaciones de los objetos en la órbita. La plantilla o el conjunto de plantillas son elementos en la órbita.${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$de formas.

Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de las ecuaciones de movimiento de la anatomía computacional despegaron después de 1997 con varias reuniones fundamentales, incluida la reunión Luminy de 1997 ^{[ 21 ]} organizada por la escuela Azencott ^{[ 22 ]} en la École-Normale Cachan sobre las "Matemáticas del reconocimiento de formas" y el Trimestre de 1998 en el Instituto Henri Poincaré organizado por David Mumford "Questions Mathématiques en Traitement du Signal et de l'Image", que catalizó los grupos Hopkins-Brown-ENS Cachan y los desarrollos y conexiones subsiguientes de la anatomía computacional con los desarrollos en el análisis global.

Los avances en anatomía computacional incluyeron el establecimiento de las condiciones de suavidad de Sobolev en la métrica de difeomorfometría para asegurar la existencia de soluciones de problemas variacionales en el espacio de difeomorfismos, ^{[ 23 ] [ 24 ]} la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange que caracterizan las geodésicas a través del grupo y las leyes de conservación asociadas, ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} la demostración de las propiedades métricas de la métrica invariante derecha, ^{[ 28 ]} la demostración de que las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un problema de valor inicial bien planteado con soluciones únicas para todo tiempo, ^{[ 29 ]} y con los primeros resultados sobre curvaturas seccionales para la métrica de difeomorfometría en espacios con puntos de referencia. ^{[ 30 ]} Tras la reunión de Los Alamos en 2002, ^{[ 31 ]} las soluciones originales de grandes deformaciones singulares de Landmark de Joshi ^{[ 32 ]} en anatomía computacional se conectaron con solitones pico o peakones ^{[ 33 ]} como soluciones para la ecuación de Camassa-Holm . Posteriormente, se establecieron conexiones entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de anatomía computacional para densidades de momento para la métrica invariante derecha que satisface la suavidad de Sobolev con la caracterización de Vladimir Arnold ^{[ 4 ]} de la ecuación de Euler para flujos incompresibles como descripción de geodésicas en el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Los primeros algoritmos, generalmente denominados LDDMM por mapeo difeomórfico de gran deformación para calcular conexiones entre puntos de referencia en volúmenes ^{[ 32 ] [ 36 ] [ 37 ]} y variedades esféricas, ^{[ 38 ]} curvas, ^{[ 39 ]} corrientes y superficies, ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} volúmenes, ^{[ 43 ]} tensores, ^{[ 44 ]} varifolds, ^{[ 45 ]} y series temporales ^{[ 46 ][ 47 ] [ 48 ]} han seguido.

Estas contribuciones de la anatomía computacional al análisis global asociado a las variedades de dimensión infinita de subgrupos del grupo de difeomorfismos distan mucho de ser triviales. La idea original de realizar geometría diferencial, curvatura y geodésicas en variedades de dimensión infinita se remonta a la Habilitación de Bernhard Riemann (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ^{[ 49 ] [ 50 ]} ); el libro moderno clave que sienta las bases de tales ideas en el análisis global es de Michor. ^{[ 51 ]}

Las aplicaciones de la anatomía computacional en imágenes médicas continuaron floreciendo después de dos reuniones organizadas en las conferencias del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas ^{[ 52 ] [ 53 ]} en la Universidad de California, Los Ángeles . La anatomía computacional ha sido útil para crear modelos precisos de la atrofia del cerebro humano a escala del morfoma, así como plantillas cardíacas, ^{[ 54 ]} y en el modelado de sistemas biológicos. ^{[ 55 ]} Desde finales de la década de 1990, la anatomía computacional se ha convertido en una parte importante del desarrollo de tecnologías emergentes para el campo de las imágenes médicas. Los atlas digitales son una parte fundamental de la educación moderna en las facultades de medicina ^{[ 56 ] [ 57 ]} y en la investigación de neuroimagen a escala del morfoma. ^{[ 58 ] [ 59 ]} Los métodos basados ​​en atlas y los libros de texto virtuales ^{[ 60 ]} que admiten variaciones como en las plantillas deformables están en el centro de muchas plataformas de análisis de neuroimágenes incluidas Freesurfer, ^{[ 61 ]} FSL, ^{[ 62 ]} MRIStudio, ^{[ 63 ]} SPM. ^{[ 64 ]} El registro difeomórfico, ^{[ 18 ]} introducido en la década de 1990, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas en torno a ANTS, ^{[ 65 ]} DARTEL, ^{[ 66 ]} DEMONS, ^{[ 67 ]} LDDMM, ^{[ 68 ]} StationaryLDDMM, ^{[ 69 ]} FastLDDMM, ^{[ 70 ]} son ​​ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en características dispersas e imágenes densas. La morfometría basada en vóxeles es una tecnología importante construida sobre muchos de estos principios.

El modelo de anatomía humana es una plantilla deformable, una órbita de ejemplares bajo acción de grupo. Los modelos de plantillas deformables han sido fundamentales para la teoría de patrones métricos de Grenander, que explica la tipicidad a través de plantillas y la variabilidad a través de la transformación de la plantilla. Una órbita bajo acción de grupo como representación de la plantilla deformable es una formulación clásica de la geometría diferencial. El espacio de formas se denota${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$, con el grupo${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$con la ley de composición${\displaystyle \circ }$; la acción del grupo sobre las formas se denota${\displaystyle g\cdot m}$donde la acción del grupo${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$se define para satisfacer

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas,${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$, siendo homogéneo bajo la acción de los elementos de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

El modelo orbital de anatomía computacional es un álgebra abstracta —comparable al álgebra lineal— ya que los grupos actúan de forma no lineal sobre las formas. Se trata de una generalización de los modelos clásicos del álgebra lineal, en los que el conjunto de dimensiones finitas${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$Los vectores se reemplazan por las subvariedades anatómicas de dimensión finita (puntos, curvas, superficies y volúmenes) e imágenes de las mismas, y${\displaystyle n\times n}$Las matrices de álgebra lineal se reemplazan por transformaciones de coordenadas basadas en grupos lineales y afines, y en los grupos de difeomorfismos de alta dimensión, que son más generales.

Los objetos centrales son formas o figuras en anatomía computacional, un conjunto de ejemplos son las subvariedades 0,1,2,3-dimensionales de${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, un segundo conjunto de ejemplos son las imágenes generadas mediante imágenes médicas como la resonancia magnética (RM) y la resonancia magnética funcional .

Las variedades de dimensión 0 son puntos de referencia o puntos fiduciales; las variedades de dimensión 1 son curvas como las curvas sulcales y circunvolucionales del cerebro; las variedades de dimensión 2 corresponden a los límites de subestructuras en la anatomía, como las estructuras subcorticales del mesencéfalo o la superficie circunvolucional del neocórtex ; los subvolúmenes corresponden a subregiones del cuerpo humano, el corazón , el tálamo , el riñón.

Los lugares emblemáticos${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$son colecciones de puntos sin otra estructura, que delimitan importantes puntos de referencia dentro de la forma y figura humanas (ver imagen de referencia asociada). Las formas submanifold como superficies${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$son conjuntos de puntos modelados como parametrizados por un mapa local o inmersión.${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$,${\displaystyle m(u),u\in U}$(véase la figura que muestra las formas como superficies de malla). Las imágenes, como las imágenes de RM o las imágenes de DTI.${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$y son funciones densas ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$son escalares, vectores y matrices (véase la figura que muestra la imagen escalar).

Los grupos y las acciones de grupo son familiares para la comunidad de ingeniería con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como un modelo básico para analizar señales y sistemas en ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y matemáticas aplicadas . En álgebra lineal, los grupos de matrices (matrices con inversas) son la estructura central, con la acción de grupo definida por la definición habitual de${\displaystyle A}$como un${\displaystyle n\times n}$matriz, actuando sobre${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$como${\displaystyle n\times 1}$ vectores; la órbita en álgebra lineal es el conjunto de${\displaystyle n}$-vectores dados por${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$, que es una acción de grupo de las matrices a través de la órbita de${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$.

El grupo central en anatomía computacional definido en volúmenes en ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$son los difeomorfismos${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$que son mapeos con 3 componentes${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$, ley de composición de funciones${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$, con inversa${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$.

Las imágenes escalares son las más populares.${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, con acción a la derecha a través de la inversa.

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$, parametrizado por una carta o inmersión${\displaystyle m(u),u\in U}$, la acción difeomórfica el flujo de la posición

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional .

Para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos , los grupos de Lie matriciales de baja dimensión han sido el foco central. Los grupos matriciales son aplicaciones de baja dimensión, que son difeomorfismos que proporcionan correspondencias biunívocas entre sistemas de coordenadas, con una inversa suave. El grupo matricial de rotaciones y escalas puede generarse a través de una forma cerrada de matrices de dimensión finita que son solución de ecuaciones diferenciales ordinarias simples con soluciones dadas por la exponencial matricial .

Para el estudio de formas deformables en anatomía computacional, se ha optado por un grupo de difeomorfismos más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en anatomía computacional se generan mediante flujos suaves. ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo como se introdujo por primera vez en, ^{[ 17 ] [ 19 ] [ 71 ]} que satisface la ecuación diferencial ordinaria:

con${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$los campos vectoriales en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$denominada velocidad euleriana de las partículas en la posición${\displaystyle \varphi }$del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones , modelado como un espacio de Hilbert suave de alta dimensión, con el jacobiano del flujo.${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$un campo de alta dimensión en un espacio de funciones también, en lugar de una matriz de baja dimensión como en los grupos de matrices. Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[ 72 ] [ 73 ]} para grandes deformaciones en la coincidencia de imágenes;${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$es la velocidad instantánea de la partícula${\displaystyle x}$en ese momento${\displaystyle t}$.

Lo contrario ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$El requisito para el grupo se define en el campo vectorial euleriano con flujo inverso advectivo.

El grupo de difeomorfismos es muy grande. Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos que eviten soluciones de tipo choque para la inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio. ^{[ 74 ] [ 75 ]} Para difeomorfismos en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$Los campos vectoriales se modelan como elementos del espacio de Hilbert. ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga derivadas espaciales generalizadas de cuadrado integrable estrictamente mayores que 2 (por lo tanto,${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$es suficiente), lo que produce funciones continuamente diferenciables una vez. ^{[ 74 ] [ 75 ]}

El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

dónde ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ con el operador lineal${\displaystyle A}$mapeo al espacio dual${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$, con la integral calculada por integración por partes cuando${\displaystyle Av\in V^{*}}$es una función generalizada en el espacio dual.

El estudio de métricas en grupos de difeomorfismos y el estudio de métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación significativa. ^{[ 28 ] [ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]} La métrica de difeomorfometría mide cuán cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí; la longitud métrica es la longitud más corta del flujo que lleva un sistema de coordenadas al otro.

A menudo, la métrica euclidiana familiar no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial. En el modelo de órbita riemanniana de anatomía computacional , los difeomorfismos que actúan sobre las formas${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$No actúan linealmente. Hay muchas maneras de definir métricas, y para los conjuntos asociados a las formas, la métrica de Hausdorff es otra. El método que usamos para inducir la métrica riemanniana se usa para inducir la métrica en la órbita de las formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre transformaciones de sistemas de coordenadas difeomórficas de los flujos. Medir las longitudes del flujo geodésico entre sistemas de coordenadas en la órbita de las formas se llama difeomorfometría .

En mecánica clásica, la evolución de los sistemas físicos se describe mediante soluciones a las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al principio de mínima acción de Hamilton . Este es un método estándar, por ejemplo, para obtener las leyes de Newton del movimiento de partículas libres. De forma más general, las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden derivarse para sistemas de coordenadas generalizadas . En anatomía computacional, la ecuación de Euler-Lagrange describe los flujos de caminos geodésicos más cortos entre sistemas de coordenadas de la métrica del difeomorfismo. En anatomía computacional, las coordenadas generalizadas son el flujo del difeomorfismo y su velocidad lagrangiana.${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$, los dos relacionados a través de la velocidad euleriana${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$El principio de Hamilton para generar la ecuación de Euler-Lagrange requiere la integral de acción sobre el lagrangiano dada por

El lagrangiano viene dado por la energía cinética:

En anatomía computacional,${\displaystyle Av}$Se denominó por primera vez momento de forma euleriana o difeomórfica ^{[ 82 ]} ya que cuando se integra con respecto a la velocidad euleriana${\displaystyle v}$da densidad de energía, y dado que hay una conservación del momento de forma difeomórfica que se cumple. El operador${\displaystyle A}$es el momento de inercia generalizado u operador inercial.

El cálculo clásico de la ecuación de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton requiere la perturbación del lagrangiano en el campo vectorial de la energía cinética con respecto a una perturbación de primer orden del flujo. Esto requiere un ajuste mediante el corchete de Lie del campo vectorial , dado por el operador${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$ que implica el jacobiano dado por

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Definición del adjunto${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$Entonces, la variación de primer orden da como resultado el momento de forma euleriana.${\displaystyle Av\in V^{*}}$que satisface la ecuación generalizada:

significado para todos los suaves${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

La anatomía computacional es el estudio de los movimientos de subvariedades, puntos, curvas, superficies y volúmenes. El momento asociado a puntos, curvas y superficies es singular, lo que implica que el momento se concentra en subconjuntos de${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$que son dimensión${\displaystyle \leq 2}$en la medida de Lebesgue . En tales casos, la energía aún está bien definida.${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$puesto que aunque${\displaystyle Av_{t}}$es una función generalizada, los campos vectoriales son suaves y el momento euleriano se entiende a través de su acción sobre funciones suaves. La ilustración perfecta de esto es que, incluso cuando es una superposición de delta-diracs, la velocidad de las coordenadas en todo el volumen se mueve suavemente. La ecuación de Euler-Lagrange ( EL-general ) sobre difeomorfismos para funciones generalizadas${\displaystyle Av\in V^{*}}$se derivó en. ^{[ 83 ]} En la interpretación de la ecuación de Euler-Lagrange en geodésicas mediante métrica riemanniana y corchete de Lie se proporcionan derivaciones en términos del operador adjunto y el corchete de Lie para el grupo de difeomorfismos. Se ha llegado a llamar ecuación EPDiff para difeomorfismos conectados al método de Euler-Poincaré, habiendo sido estudiado en el contexto del operador inercial.${\displaystyle A=identity}$ para fluidos incompresibles y sin divergencia. ^{[ 35 ] [ 84 ]}

En imágenes médicas y anatomía computacional, el posicionamiento y la coordinación de formas son operaciones fundamentales; el sistema para posicionar coordenadas y formas anatómicas se basa en la métrica y la ecuación de Euler-Lagrange, un sistema de posicionamiento geodésico, como se explicó por primera vez en Miller Trouve y Younes. ^{[ 11 ]} Resolver la geodésica a partir de la condición inicial${\displaystyle v_{0}}$se denomina exponencial riemanniana, una aplicación${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$en la identidad del grupo.

La exponencial riemanniana satisface${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$para la condición inicial${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$dinámica del campo vectorial${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$,

• para la ecuación clásica de momento de forma difeomórfica de la ecuación clásica${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$,${\displaystyle Av\in V}$, entonces

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\$ ;}

• para la ecuación generalizada, entonces${\displaystyle Av\in V^{*}}$,${\displaystyle w\in V}$,

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Calculando el flujo${\displaystyle v_{0}}$ sobre coordenadas logaritmo riemanniano , ^{[ 11 ] [ 81 ]} mapeo${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$en identidad de${\displaystyle \varphi }$al campo vectorial${\displaystyle v_{0}\in V}$;

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

Extendidos a todo el grupo se convierten en

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; ${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$.

Estas son inversas entre sí para soluciones únicas del logaritmo; la primera se denomina posicionamiento geodésico , y la segunda , coordenadas geodésicas (véase el mapa exponencial y la geometría riemanniana para la versión de dimensión finita). La métrica geodésica es un aplanamiento local del sistema de coordenadas riemannianas (véase la figura).

En anatomía computacional, los difeomorfismos se utilizan para desplazar los sistemas de coordenadas, y los campos vectoriales se utilizan como control dentro de la órbita anatómica o el espacio morfológico. El modelo es el de un sistema dinámico, el flujo de coordenadas${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$y el control del campo vectorial${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$relacionado vía${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ La visión hamiltoniana ^{[ 81 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ]} reparametriza la distribución del momento${\displaystyle Av\in V^{*}}$en términos del momento conjugado o momento canónico , introducido como un multiplicador de Lagrange${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$restringiendo la velocidad lagrangiana${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$.respectivamente:

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

Esta función es el hamiltoniano extendido. El principio del máximo de Pontryagin ^{[ 81 ]} proporciona el campo vectorial optimizador que determina el flujo geodésico que satisface${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$así como el hamiltoniano reducido

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

El multiplicador de Lagrange en su acción como forma lineal tiene su propio producto interno del momento canónico que actúa sobre la velocidad del flujo que depende de la forma, por ejemplo, para puntos de referencia una suma, para superficies una integral de superficie y, para volúmenes es una integral de volumen con respecto a${\displaystyle dx}$en ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$En todos los casos, los núcleos de Green llevan pesos que son el momento canónico que evoluciona según una ecuación diferencial ordinaria que corresponde a EL pero es la reparametrización geodésica en momento canónico. El campo vectorial de optimización viene dado por

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

con dinámica de momento canónico reparametrizando el campo vectorial a lo largo de la geodésica

En anatomía computacional, las subvariedades son conjuntos de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes que son las primitivas básicas. Los flujos geodésicos entre las subvariedades determinan la distancia y forman las herramientas básicas de medición y transporte de la difeomorfometría . ${\displaystyle t=0}$La geodésica tiene un campo vectorial.${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$determinado por el momento conjugado y el núcleo de Green del operador inercial que define el momento euleriano${\displaystyle K=A^{-1}}$. La distancia métrica entre sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica determinada por la distancia inducida entre el elemento identidad y el elemento de grupo:

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

Dada la acción mínima, existe una definición natural de momento asociada a coordenadas generalizadas; la cantidad que actúa contra la velocidad da energía. El campo ha estudiado dos formas, el momento asociado al campo vectorial euleriano denominado momento de forma difeomórfica euleriana , y el momento asociado a las coordenadas iniciales o coordenadas canónicas denominado momento de forma difeomórfica canónica . Cada una tiene una ley de conservación. La conservación del momento va de la mano con la EL-general . En anatomía computacional,${\displaystyle Av}$es el momento euleriano ya que cuando se integra con respecto a la velocidad euleriana${\displaystyle v}$proporciona densidad de energía; operador${\displaystyle A}$el momento de inercia generalizado u operador inercial que, al actuar sobre la velocidad euleriana, proporciona un momento que se conserva a lo largo de la geodésica:

La conservación del momento de forma euleriano se demostró en ^{[ 94 ]} y se deduce de EL-general ; la conservación del momento canónico se demostró en ^{[ 81 ].}

La construcción de correspondencias difeomórficas entre formas calcula las coordenadas iniciales del campo vectorial.${\displaystyle v_{0}\in V}$y los pesos asociados en los núcleos de Greens${\displaystyle p_{0}}$Estas coordenadas iniciales se determinan mediante la correspondencia de formas, denominada mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) . LDDMM se ha resuelto para puntos de referencia con y sin correspondencia ^{[ 32 ] [ 95 ] [ 96 ] [ 97 ] [ 98 ]} y para correspondencias densas de imágenes. ^{[ 99 ] [ 100 ]} curvas, ^{[ 101 ]} superficies, ^{[ 41 ] [ 102 ]} imágenes vectoriales densas ^{[ 103 ]} y tensoriales ^{[ 104 ]} , y varifolds que eliminan la orientación. ^{[ 105 ]} LDDMM calcula flujos geodésicos del EL-general sobre coordenadas objetivo, sumándose a la integral de acción.${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$una condición de coincidencia de punto final${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$medir la correspondencia de elementos en la órbita bajo transformación del sistema de coordenadas. Se examinó la existencia de soluciones para la coincidencia de imágenes. ^{[ 24 ]} La solución del problema variacional satisface la EL-general para${\displaystyle t\in [0,1)}$con condición de contorno.

La correspondencia densa de imágenes tiene una larga historia, con los primeros esfuerzos ^{[ 106 ] [ 107 ]} que explotaban un marco de deformación pequeña. Las grandes deformaciones comenzaron a principios de la década de 1990, ^{[ 18 ] [ 19 ]} con la primera existencia de soluciones al problema variacional para flujos de difeomorfismos para la correspondencia densa de imágenes establecida en. ^{[ 24 ]} Beg resolvió mediante uno de los primeros algoritmos LDDMM basado en resolver la correspondencia variacional con punto final definido por la imagen densa con respecto a los campos vectoriales, tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^{[ 99 ]} Otra solución para la correspondencia densa de imágenes reparametriza el problema de optimización en términos del estado${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$dando la solución en términos de la acción infinitesimal definida por la ecuación de advección . ^{[ 11 ] [ 27 ] [ 100 ]}

Correspondencia de imágenes mediante tensor de difusión en anatomía computacional

El emparejamiento de tensores LDDMM denso ^{[ 104 ] [ 108 ]} toma las imágenes como vectores de 3x1 y tensores de 3x3 resolviendo el problema variacional de emparejamiento entre sistemas de coordenadas basado en los vectores propios principales de la imagen de resonancia magnética de tensor de difusión (DTI) denotada${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$compuesto por${\displaystyle 3\times 3}$-tensor en cada vóxel. Varias de las acciones de grupo definidas en base a la norma matricial de Frobenius entre matrices cuadradas${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$. En la figura adjunta se muestra una imagen DTI ilustrada mediante su mapa de color que representa las orientaciones de los vectores propios de la matriz DTI en cada vóxel, con el color determinado por la orientación de las direcciones. Denotemos el${\displaystyle 3\times 3}$imagen tensorial${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$con elementos propios${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$,${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$.

La transformación del sistema de coordenadas basada en imágenes DTI ha explotado dos acciones, una basada en el vector propio principal o en la matriz completa .

La coincidencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$como un campo vectorial unitario definido por el primer vector propio. La acción de grupo se convierte en

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La coincidencia LDDMM basada en la matriz tensorial completa tiene acción de grupo se convierte en${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$vectores propios transformados

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

El problema variacional de emparejamiento con el vector propio principal o la matriz se describe en LDDMM Tensor Image Matching .

El modo principal de variación representado por el modelo de órbita es el cambio de coordenadas. Para configuraciones en las que pares de imágenes no están relacionadas por difeomorfismos pero tienen variación fotométrica o variación de imagen no representada por la plantilla, se ha introducido el modelado de apariencia activa , originalmente por Edwards-Cootes-Taylor ^{[ 114 ]} y en imágenes médicas 3D en ^{[ 115 ]} . En el contexto de la anatomía computacional en la que se han estudiado métricas en la órbita anatómica, la metamorfosis para modelar estructuras como tumores y cambios fotométricos que no residen en la plantilla se introdujo en ^{[ 28 ]} para modelos de imágenes de resonancia magnética, con muchos desarrollos posteriores que extienden el marco de la metamorfosis. ^{[ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]}

Para la coincidencia de imágenes, el marco de metamorfosis de imágenes amplía la acción de modo que${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$con acción${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$En este contexto, la metamorfosis combina tanto la transformación del sistema de coordenadas difeomórficas de la anatomía computacional como las primeras tecnologías de transformación que solo desvanecían o modificaban la intensidad fotométrica o de la imagen.

Entonces, el problema de emparejamiento toma una forma con condiciones de contorno de igualdad:

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

La transformación de sistemas de coordenadas basada en puntos de referencia o marcadores fiduciales se remonta al trabajo inicial de Bookstein sobre métodos de splines de deformación pequeña ^{[ 119 ]} para interpolar correspondencias definidas por puntos fiduciales al espacio de fondo bidimensional o tridimensional en el que se definen los fiduciales. Los métodos de puntos de referencia de gran deformación surgieron a finales de la década de 1990. ^{[ 26 ] [ 32 ] [ 120 ]} La figura anterior muestra una serie de puntos de referencia asociados a tres estructuras cerebrales: la amígdala, la corteza entorrinal y el hipocampo.

La correspondencia de objetos geométricos como distribuciones de puntos sin etiquetar, curvas o superficies es otro problema común en la anatomía computacional. Incluso en el entorno discreto, donde estos se suelen representar como vértices con mallas, no existen correspondencias predeterminadas entre puntos, a diferencia de la situación de los puntos de referencia descrita anteriormente. Desde el punto de vista teórico, si bien cualquier subvariedad${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$,${\displaystyle d=1,2,3}$se puede parametrizar en gráficos locales${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$Todas las reparametrizaciones de estos gráficos dan geométricamente la misma variedad. Por lo tanto, desde los inicios de la anatomía computacional, los investigadores han identificado la necesidad de representaciones invariantes a la parametrización. Un requisito indispensable es que el término de correspondencia de puntos finales entre dos subvariedades sea independiente de sus parametrizaciones. Esto se puede lograr mediante conceptos y métodos tomados de la teoría de la medida geométrica , en particular corrientes ^{[ 40 ]} y varifolds ^{[ 45 ],} que se han utilizado ampliamente para la correspondencia de curvas y superficies.

Coincidencia de puntos de referencia o hitos con correspondencia

Denotó la forma del punto de referencia${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$con punto final${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$, el problema variacional se convierte en

El momento euleriano geodésico es una función generalizada ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$, respaldado por el conjunto de referencia en el problema variacional. La condición de punto final con conservación implica el momento inicial en la identidad del grupo:

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Se presenta el algoritmo iterativo para el mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones para puntos de referencia .