Matriz de Grunsky

En análisis complejo y teoría de funciones geométricas , las matrices de Grunsky , u operadores de Grunsky , son matrices infinitas introducidas en 1939 por Helmut Grunsky . Estas matrices corresponden a una única función holomorfa en el disco unitario o a un par de funciones holomorfas en el disco unitario y su complemento. Las desigualdades de Grunsky expresan propiedades de acotación de estas matrices, que en general son operadores de contracción o, en casos especiales importantes, operadores unitarios . Como demostró Grunsky, estas desigualdades se cumplen si y solo si la función holomorfa es univalente . Las desigualdades son equivalentes a las desigualdades de Goluzin, descubiertas en 1947. En términos generales, las desigualdades de Grunsky proporcionan información sobre los coeficientes del logaritmo de una función univalente; generalizaciones posteriores de Milin , a partir de la desigualdad de Lebedev-Milin , lograron exponenciar las desigualdades para obtener desigualdades para los coeficientes de la función univalente misma. La matriz de Grunsky y sus desigualdades asociadas se formularon originalmente en un contexto más general de funciones univalentes entre una región delimitada por un número finito de curvas de Jordan suficientemente suaves y su complemento: los resultados de Grunsky, Goluzin y Milin se generalizan a ese caso.

Históricamente, las desigualdades para el disco se utilizaron para demostrar casos especiales de la conjetura de Bieberbach hasta el sexto coeficiente; de ​​Branges empleó las desigualdades exponenciadas de Milin en la solución final. Una exposición detallada de estos métodos se puede encontrar en Hayman (1994) . Los operadores de Grunsky y sus determinantes de Fredholm también están relacionados con las propiedades espectrales de dominios acotados en el plano complejo . Estos operadores tienen además aplicaciones en el mapeo conforme , la teoría de Teichmüller y la teoría de campos conformes .

Si f ( z ) es una función holomorfa univalente en el disco unitario, normalizada de modo que f (0) = 0 y f′ (0) = 1, la función

${\displaystyle g(z)=f(z^{-1})^{-1}}$

es una función univalente no nula en | z | > 1 que tiene un polo simple en ∞ con residuo 1:

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

La misma fórmula de inversión aplicada a g devuelve f y establece una correspondencia biunívoca entre estas dos clases de funciones.

La matriz de Grunsky ( c _nm ) de g se define mediante la ecuación

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

Es una matriz simétrica . Sus entradas se denominan coeficientes de Grunsky de g .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },}$

de modo que los coeficientes puedan expresarse directamente en términos de f . En efecto, si

${\displaystyle \log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},}$

entonces para m , n > 0

${\displaystyle d_{mn}=c_{mn}}$

y d _{0 n} = d _{n 0} viene dado por

${\displaystyle \log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _ {n>0}d_ {0n}z^{n}}$

con

${\displaystyle d_{00}=0.}$

Si f es una función holomorfa en el disco unitario con matriz de Grunsky ( c _nm ), las desigualdades de Grunsky establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}}$

para cualquier secuencia finita de números complejos λ ₁ , ..., λ _N .

Los coeficientes de Grunsky de una función univalente normalizada en | z | > 1

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

son polinomios en los coeficientes b _i que se pueden calcular recursivamente en términos de los polinomios de Faber Φ _n , un polinomio mónico de grado n que depende de g .

Al derivar en z la relación definitoria de los coeficientes de Grunsky y multiplicar por z se obtiene

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.}$

Los polinomios de Faber se definen mediante la relación

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Dividiendo esta relación por z e integrando entre z e ∞ se obtiene

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Esto proporciona las relaciones de recurrencia para n > 0

${\displaystyle \Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{ni}\Phi _{i}(w)}$

con

${\displaystyle \Phi _ {0}(w)\equiv 1.}$

De este modo

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},}$

de modo que para n ≥ 1

${\displaystyle \Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.}$

Esta última propiedad determina de forma única el polinomio de Faber de g .

Sea g ( z ) una función univalente en | z | > 1 normalizada de modo que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

y sea f ( z ) una función holomorfa no constante en C .

Si

${\displaystyle f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

es la expansión de Laurent en z > 1, entonces

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.}$

Si

${\displaystyle p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),}$

entonces

${\displaystyle p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).}$

Aplicando el teorema del área de Milin,

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

(La igualdad se cumple aquí si y solo si el complemento de la imagen de g tiene medida de Lebesgue cero).

Así que a fortiori

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Por lo tanto, la matriz simétrica

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},}$

considerado como un operador en C ^N con su producto interno estándar, satisface

${\displaystyle \|Ax\|\leq \|x\|.}$

Así pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.}$

Con

${\displaystyle x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},}$

Esto da como resultado la desigualdad de Grunsky:

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},}$

Sea g ( z ) una función holomorfa en z > 1 con

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

Entonces g es univalente si y solo si los coeficientes de Grunsky de g satisfacen las desigualdades de Grunsky para todo N.

De hecho, ya se ha demostrado que las condiciones son necesarias. Para ver la suficiencia, tenga en cuenta que

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

Tiene sentido cuando | z | y |ζ| son grandes y, por lo tanto, los coeficientes c _mn están definidos. Si se satisfacen las desigualdades de Grunsky, es fácil ver que los | c _mn | están uniformemente acotados y, por lo tanto, el desarrollo del lado izquierdo converge para | z | > 1 y |ζ| > 1. Al exponenciar ambos lados, esto implica que g es univalente.

Dejar${\displaystyle F(z)}$y${\displaystyle g(\zeta )}$sean funciones holomorfas univalentes en | z | < 1 y |ζ| > 1, tales que sus imágenes son disjuntas en C. Supongamos que estas funciones están normalizadas de modo que

${\displaystyle g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots }$

y

${\displaystyle F(z)=af(z)}$

con a ≠ 0 y

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

La matriz de Grunsky ( c _mn ) de este par de funciones se define para todos los valores distintos de cero de m y n mediante las fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,}$

de modo que ( c _mn ) sea una matriz simétrica.

En 1972, el matemático estadounidense James Hummel extendió las desigualdades de Grunsky a esta matriz, demostrando que para cualquier secuencia de números complejos λ _±1 , ..., λ _{± N}

${\displaystyle \left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.}$

La demostración procede calculando el área de la imagen del complemento de las imágenes de | z | < r < 1 bajo F y |ζ| > R > 1 bajo g bajo un polinomio de Laurent adecuado h ( w ).

Dejar${\displaystyle \phi _{n}}$y${\displaystyle \phi _{-n}}$denotemos los polinomios de Faber de g y${\displaystyle f(z^{-1})^{-1}}$y establecer

${\displaystyle h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}}$

El área es igual a

${\displaystyle \int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,}$

donde C ₁ es la imagen del círculo |ζ| = R bajo g y C ₂ es la imagen del círculo | z | = r bajo F .

Por eso

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].}$

Dado que el área es positiva, el lado derecho también debe ser positivo. Haciendo que r aumente a 1 y R disminuya a 1 , se deduce que

${\displaystyle \sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}}$

con igualdad si y solo si el complemento de las imágenes tiene medida de Lebesgue cero.

Al igual que en el caso de una sola función g , esto implica la desigualdad requerida.

La matriz

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}}$

Para una función única g o un par de funciones F , g es unitaria si y solo si el complemento de la imagen de g o la unión de las imágenes de F y g tiene medida de Lebesgue cero. Así pues, en términos generales, en el caso de una función, la imagen es una región estrecha en el plano complejo; y en el caso de dos funciones, las dos regiones están separadas por una curva de Jordan cerrada.

De hecho, la matriz infinita A que actúa sobre el espacio de Hilbert de secuencias sumables al cuadrado satisface

${\displaystyle A^{*}A=I,}$

Pero si J denota la conjugación compleja de una secuencia, entonces

${\displaystyle JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A}$

ya que A es simétrico. Por lo tanto

${\displaystyle AA^{*}=JA^{*}AJ=I}$

de modo que A sea unitario.

Las desigualdades de Grunsky implican muchas desigualdades para funciones univalentes. También fueron utilizadas por Schiffer y Charzynski en 1960 para dar una demostración completamente elemental de la conjetura de Bieberbach para el cuarto coeficiente; una demostración mucho más compleja había sido hallada previamente por Schiffer y Garabedian en 1955. En 1968, Pedersen y Ozawa utilizaron independientemente las desigualdades de Grunsky para demostrar la conjetura para el sexto coeficiente. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En la demostración de Schiffer y Charzynski, si

${\displaystyle f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots }$

es una función univalente normalizada en | z | < 1, entonces

${\displaystyle g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots }$

es una función univalente impar en | z | > 1.

La combinación del teorema de área de Gronwall para f con las desigualdades de Grunsky para el primer menor de 2 x 2 de la matriz de Grunsky de g conduce a una cota para | a ₄ | en términos de una función simple de a ₂ y un parámetro complejo libre. El parámetro libre puede elegirse de manera que la cota se convierta en una función de la mitad del módulo de a ₂ , y luego se puede comprobar directamente que esta función no es mayor que 4 en el intervalo [0,1].

Como demostró Milin, las desigualdades de Grunsky pueden exponenciarse. El caso más simple procede escribiendo

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.}$

con un _n ( w ) holomorfo en | w | < 1.

Las desigualdades de Grunsky, con λ _n = w ^n, implican que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).}$

Por otro lado, si

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}}$

como series de potencias formales , entonces la primera de las desigualdades de Lebedev-Milin (1965) establece que ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.}$

De forma equivalente, la desigualdad establece que si g ( z ) es un polinomio con g (0) = 0, entonces

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},}$

donde A es el área de g ( D ),

Para demostrar la desigualdad, observe que los coeficientes están determinados por la fórmula recursiva.

${\displaystyle b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}}$

de modo que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.}$

Las cantidades c _n obtenidas al imponer la igualdad aquí:

${\displaystyle c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}}$

satisfacer${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq c_{n}}$y por lo tanto, revirtiendo los pasos,

${\displaystyle \sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.}$

En particular, definiendo b _n ( w ) por la identidad

${\displaystyle \sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },}$

La siguiente desigualdad debe cumplirse para | w | < 1

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.}$

La transformada de Beurling (también llamada transformada de Beurling-Ahlfors y transformada de Hilbert en el plano complejo ) proporciona uno de los métodos más directos para demostrar las desigualdades de Grunsky, siguiendo a Bergman y Schiffer (1951) y Baranov y Hedenmalm (2008) .

La transformada de Beurling se define en L ² ( C ) como la operación de multiplicación por${\displaystyle z/{\overline {z}}}$sobre transformadas de Fourier . Por lo tanto, define un operador unitario. También puede definirse directamente como una integral de valor principal ^{[ 5 ].}

${\displaystyle (Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

Para cualquier región abierta acotada Ω en C, se define un operador acotado T _Ω desde el conjugado del espacio de Bergman de Ω sobre el espacio de Bergman de Ω: una función holomorfa de cuadrado integrable se extiende a 0 fuera de Ω para producir una función en L ² ( C ) a la que se aplica T y el resultado se restringe a Ω, donde es holomorfa. Si f es una aplicación univalente holomorfa del disco unitario D sobre Ω, entonces el espacio de Bergman de Ω y su conjugado pueden identificarse con el de D y T _Ω se convierte en el operador integral singular con núcleo

${\displaystyle K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.}$

Define una contracción . Por otro lado, se puede comprobar que T _D = 0 calculando directamente sobre potencias.${\displaystyle {\overline {z}}^{n}}$utilizando el teorema de Stokes para transferir la integral al contorno.

De ello se deduce que el operador con núcleo

${\displaystyle {f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}}$

actúa como una contracción en el conjugado del espacio de Bergman de D. Por lo tanto, si

${\displaystyle p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},}$

entonces

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Si Ω es un dominio acotado en C con frontera suave, el operador T _Ω puede considerarse como un operador contractivo antilineal acotado en el espacio de Bergman H = A ² (Ω). Está dado por la fórmula

${\displaystyle (T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy}$

para u en el espacio de Hilbert H = A ² (Ω). T _Ω se denomina operador de Grunsky de Ω (o f ). Su realización en D mediante una función univalente f que mapea D sobre Ω y el hecho de que T _D = 0 muestra que está dado por restricción del núcleo

${\displaystyle {\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},}$

y por lo tanto es un operador de Hilbert-Schmidt .

El operador antilineal T = T _Ω satisface la relación de autoadjuntividad.

${\displaystyle (Tu,v)=(Tv,u)}$

para u , v en H.​

Por lo tanto, A = T ² es un operador lineal autoadjunto compacto en H con

${\displaystyle (Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

de modo que A es un operador positivo. Por el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, existe una base ortonormal u _n de H que consta de autovectores de A :

${\displaystyle Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

donde μ _n es no negativo debido a la positividad de A. Por lo tanto,

${\displaystyle \mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

con λ _n ≥ 0. Dado que T conmuta con A , deja sus autoespacios invariantes. La relación de positividad muestra que actúa trivialmente sobre el autoespacio cero. Los demás autoespacios no nulos son todos de dimensión finita y mutuamente ortogonales. Por lo tanto, se puede elegir una base ortonormal en cada autoespacio de modo que:

${\displaystyle Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.}$

(Tenga en cuenta que${\displaystyle T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$por la antilinealidad de T .)

Los valores distintos de cero de λ _n (o a veces sus recíprocos) se denominan autovalores de Fredholm de Ω:

${\displaystyle 0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.}$

Si Ω es un dominio acotado que no es un disco, Ahlfors demostró que

${\displaystyle \|T_{\Omega }\|<1.}$

El determinante de Fredholm para el dominio Ω se define mediante ^{[ 6 ] [ 7 ].}

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).}$

Tenga en cuenta que esto tiene sentido porque A = T ² es un operador de clase traza .

Schiffer y Hawley (1962) demostraron que si${\displaystyle 0\in \Omega }$y f fija 0, entonces ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].}$

Aquí las normas están en los espacios de Bergman de D y su complemento D ^c y g es una aplicación univalente de D ^c sobre Ω ^c fijando ∞.

Una fórmula similar se aplica en el caso de un par de funciones univalentes (véase más abajo).

Sea Ω un dominio acotado simplemente conexo en C con frontera suave C = ∂Ω. Por lo tanto, existe una aplicación holomorfa univalente f del disco unitario D sobre Ω que se extiende a una aplicación suave entre las fronteras S ¹ y C .

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