Valor principal de Cauchy

En matemáticas , el valor principal de Cauchy , que recibe su nombre de Augustin-Louis Cauchy , es un método para asignar valores a ciertas integrales impropias que, de otro modo, permanecerían indefinidas. En este método, se evita una singularidad en un intervalo de integración limitando dicho intervalo al dominio no singular.

Dependiendo del tipo de singularidad en el integrando f , el valor principal de Cauchy se define según las siguientes reglas:

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}$$ con${\displaystyle a<b<c}$y donde b es el punto difícil, en el cual el comportamiento de la función f es tal que $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$ para cualquier${\displaystyle a<b}$y $${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty }$$ para cualquier${\displaystyle c>b}$(Véase más o menos para el uso preciso de las notaciones ± y ∓).

Para una singularidad en el infinito (${\displaystyle \infty }$)

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ dónde $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$ y $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

En algunos casos es necesario tratar simultáneamente singularidades tanto en un número finito b como en el infinito. Esto se suele hacer mediante un límite de la forma $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\right].}$$ En aquellos casos en los que la integral se puede dividir en dos límites finitos e independientes, $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left|\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\infty }$$ y $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\left|\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\infty ,}$$ Entonces la función es integrable en el sentido ordinario. El resultado del procedimiento para el valor principal es el mismo que el de la integral ordinaria; dado que ya no coincide con la definición, técnicamente no es un "valor principal". El valor principal de Cauchy también puede definirse en términos de integrales de contorno de una función de valor complejo.${\displaystyle f(z):z=x+iy,}$con${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$con un polo en un contorno C. Definir ${\displaystyle C(\varepsilon)}$ser ese mismo contorno, donde se ha eliminado la porción dentro del disco de radio ε alrededor del polo. Siempre que la función${\displaystyle f(z)}$es integrable sobre${\displaystyle C(\varepsilon)}$No importa cuán pequeño sea ε , entonces el valor principal de Cauchy es el límite: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$ En el caso de funciones integrables de Lebesgue , es decir, funciones que son integrables en valor absoluto , estas definiciones coinciden con la definición estándar de la integral. Si la función${\displaystyle f(z)}$es meromorfa , el teorema de Sokhotski-Plemelj relaciona el valor principal de la integral sobre C con el valor medio de las integrales con el contorno ligeramente desplazado hacia arriba y hacia abajo, de modo que el teorema de los residuos puede aplicarse a esas integrales. Las integrales de valor principal desempeñan un papel central en la discusión de las transformadas de Hilbert . ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$Sea el conjunto de funciones de prueba , es decir, el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$. Luego el mapa $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ definido a través del valor principal de Cauchy como $${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$ es una distribución . El mapa en sí puede denominarse a veces valor principal (de ahí la notación pv ). Esta distribución aparece, por ejemplo, en la transformada de Fourier de la función signo y la función escalón de Heaviside .

Consideremos los valores de dos límites: $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

Este es el valor principal de Cauchy de la expresión que, de otro modo, estaría mal definida. $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

De manera similar, tenemos $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

Este es el valor principal de la expresión, que de otro modo estaría mal definida. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

Diferentes autores utilizan diferentes notaciones para el valor principal de Cauchy de una función.${\displaystyle f}$, entre otros: $${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$$${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ así como${\displaystyle P,}$Fotovoltaico,${\displaystyle {\mathcal {P}},}$${\displaystyle P_{v},}$${\displaystyle (CPV),}$${\displaystyle {\mathcal {C}},}$y  vicepresidente.

• Integral de parte finita de Hadamard
• Transformación de Hilbert
• Teorema de Sokhotski-Plemelj