purificación del estado cuántico

En la teoría de la información cuántica , la purificación de estados cuánticos se refiere al proceso de representar un estado mixto como un estado cuántico puro en un espacio de Hilbert de dimensiones superiores . Esta purificación permite recuperar el estado mixto original calculando la traza parcial sobre los grados de libertad adicionales. La purificación no es única; las diferentes purificaciones que pueden conducir a los mismos estados mixtos están limitadas por el teorema de Schrödinger-HJW .

La purificación se utiliza en algoritmos como la destilación de entrelazamiento , la destilación de estado mágico y el enfriamiento algorítmico .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$Sea un espacio de Hilbert complejo de dimensión finita y consideremos un estado cuántico genérico (posiblemente mixto ).${\displaystyle \rho }$definido en${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$y admitiendo una descomposición de la forma $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$$ para una colección de estados (no necesariamente mutuamente ortogonales)${\displaystyle |\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}}$y coeficientes${\displaystyle p_{i}\geq 0}$de tal manera que${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$. Nótese que cualquier estado cuántico puede escribirse de tal manera para algún${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}_{i}}$y${\displaystyle \{p_{i}\}_{i}}$. ^{[ 1 ]}

Cualquiera de esos${\displaystyle \rho }$puede purificarse , es decir, representarse como la traza parcial de un estado puro definido en un espacio de Hilbert mayor. Más precisamente, siempre es posible encontrar un espacio de Hilbert (de dimensión finita).${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$y un estado puro${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$de tal manera que${\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big (}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}}$Además, los estados${\displaystyle |\Psi _ {SA}\rangle }$Satisfacer esto son todos y solo aquellos de la forma $${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$$ para alguna base ortonormal${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}}$El estado${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$entonces se hace referencia a la "purificación de${\displaystyle \rho }$". Dado que el espacio auxiliar y la base pueden elegirse arbitrariamente, la purificación de un estado mixto no es única; de hecho, existen infinitas purificaciones de un estado mixto dado. ^{[ 2 ]} Debido a que todas ellas admiten una descomposición en la forma dada anteriormente, dado cualquier par de purificaciones${\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$Siempre hay alguna operación unitaria.${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$de tal manera que $${\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .}$$

El teorema de Schrödinger-HJW es un resultado sobre la realización de un estado mixto de un sistema cuántico como un conjunto de estados cuánticos puros y la relación entre las purificaciones correspondientes de los operadores de densidad . El teorema lleva el nombre de Erwin Schrödinger, quien lo demostró en 1936, ^{[ 3 ]} y de Lane P. Hughston , Richard Jozsa y William Wootters, quienes lo redescubrieron en 1993. ^{[ 4 ]} El resultado también fue hallado independientemente (aunque parcialmente) por Nicolas Hadjisavvas, basándose en el trabajo de ET Jaynes de 1957, ^{[ 5 ] [ 6 ]} y Nicolas Gisin en 1989, ^{[ 7 ]} mientras que una parte significativa del mismo fue descubierta igualmente de forma independiente por N. David Mermin en 1999, quien descubrió el vínculo con el trabajo de Schrödinger. ^{[ 8 ]} Gracias a su historia complicada, también se le conoce con otros nombres como el teorema GHJW , ^{[ 9 ]} el teorema HJW y el teorema de purificación .

Consideremos un estado cuántico mixto${\displaystyle \rho }$con dos realizaciones diferentes como conjunto de estados puros como${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$y${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$. Aquí ambos${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$y${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$No se asume que sean mutuamente ortogonales. Habrá dos purificaciones correspondientes del estado mixto.${\displaystyle \rho }$Leyendo de la siguiente manera:

Purificación 1:${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$;

Purificación 2:${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle }$.

Los conjuntos${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$y${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$son dos colecciones de bases ortonormales de los respectivos espacios auxiliares. Estas dos purificaciones solo difieren por una transformación unitaria que actúa sobre el espacio auxiliar, es decir, existe una matriz unitaria${\displaystyle U_{A}}$de tal manera que${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$. ^{[ 10 ]} Por lo tanto,${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$, lo que significa que podemos obtener los diferentes conjuntos de un estado mixto simplemente realizando diferentes mediciones en el sistema purificador.