Estado cuántico

Las soluciones numéricas o analíticas en mecánica cuántica pueden expresarse como estados puros . Estos estados de solución, llamados autoestados, se etiquetan con valores cuantizados, típicamente números cuánticos . Por ejemplo, al tratar con el espectro de energía del electrón en un átomo de hidrógeno , los estados puros relevantes se identifican mediante el número cuántico principal n , el número cuántico de momento angular ℓ , el número cuántico magnético m y la componente z del espín sz _. Por otro lado, si se mide el espín de un electrón en cualquier dirección, por ejemplo, con un experimento de Stern-Gerlach , hay dos resultados posibles: hacia arriba o hacia abajo. Un estado puro en este caso se representa mediante un vector complejo bidimensional.${\displaystyle (\alpha,\beta)}$, con una longitud de uno; es decir, con $${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$ dónde${\displaystyle |\alpha |}$y${\displaystyle |\beta |}$son los valores absolutos de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$.

Los postulados de la mecánica cuántica establecen que los estados puros, en un instante dado t , corresponden a vectores en un espacio de Hilbert complejo separable , mientras que cada magnitud física medible (como la energía o el momento de una partícula ) se asocia con un operador matemático llamado observable . El operador actúa como una función lineal sobre los estados del sistema. Los autovalores del operador corresponden a los posibles valores del observable. Por ejemplo, es posible observar una partícula con un momento de 1 kg ⋅ m/s si y solo si uno de los autovalores del operador de momento es 1 kg ⋅ m/s. El autovector correspondiente (que los físicos denominan autoestado ) con autovalor 1 kg ⋅ m/s sería un estado cuántico con un valor de momento definido y preciso de 1 kg ⋅ m/s, sin incertidumbre cuántica . Si se midiera su momento, el resultado sería sin duda 1 kg ⋅ m/s.     

Por otro lado, un estado puro descrito como una superposición de múltiples autoestados diferentes tiene, en general, incertidumbre cuántica para el observable dado. Usando la notación bra-ket , esta combinación lineal de autoestados se puede representar como: ^{[ 5 ] : 22, 171, 172}$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$ El coeficiente que corresponde a un estado particular en la combinación lineal es un número complejo, lo que permite efectos de interferencia entre estados. Los coeficientes dependen del tiempo. La forma en que un estado cuántico cambia en el tiempo está regida por el operador de evolución temporal .

Un estado cuántico mixto corresponde a una mezcla probabilística de estados puros; sin embargo, diferentes distribuciones de estados puros pueden generar estados mixtos equivalentes (es decir, físicamente indistinguibles). Una mezcla de estados cuánticos es, a su vez, un estado cuántico.

Un estado mixto para espines electrónicos, en la formulación de la matriz de densidad, tiene la estructura de un${\displaystyle 2\times 2}$matriz que es hermitiana y semidefinida positiva, y tiene traza 1. ^{[ 6 ]} Un caso más complicado viene dado (en notación bra-ket ) por el estado singlete , que ejemplifica el entrelazamiento cuántico : $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$ que implica la superposición de estados de espín conjuntos para dos partículas con espín 1/2. El estado singlete satisface la propiedad de que si los espines de las partículas se miden en la misma dirección, entonces o bien el espín de la primera partícula se observa hacia arriba y el de la segunda hacia abajo, o bien el primero se observa hacia abajo y el segundo hacia arriba, ocurriendo ambas posibilidades con igual probabilidad.

Un estado cuántico puro puede representarse mediante un rayo , un elemento de un espacio de Hilbert proyectivo sobre los números complejos , mientras que los estados mixtos se representan mediante matrices de densidad , que son operadores semidefinidos positivos que actúan sobre espacios de Hilbert. ^{[ 7 ] [ 3 ]} El teorema de Schrödinger-HJW clasifica la multitud de formas de escribir un estado mixto dado como una combinación convexa de estados puros. ^{[ 8 ]} Antes de realizar una medición particular en un sistema cuántico, la teoría solo proporciona una distribución de probabilidad para el resultado, y la forma que toma esta distribución está completamente determinada por el estado cuántico y los operadores lineales que describen la medición. Las distribuciones de probabilidad para diferentes mediciones presentan compensaciones ejemplificadas por el principio de incertidumbre : un estado que implica una dispersión estrecha de posibles resultados para un experimento implica necesariamente una dispersión amplia de posibles resultados para otro.

Las mezclas estadísticas de estados son un tipo diferente de combinación lineal. Una mezcla estadística de estados es un conjunto estadístico de sistemas independientes. Las mezclas estadísticas representan el grado de conocimiento, mientras que la incertidumbre dentro de la mecánica cuántica es fundamental. Matemáticamente, una mezcla estadística no es una combinación que utiliza coeficientes complejos, sino más bien una combinación que utiliza probabilidades positivas de valores reales de diferentes estados.${\displaystyle \Phi _{n}}$. Un número${\displaystyle P_{n}}$representa la probabilidad de que un sistema seleccionado aleatoriamente se encuentre en el estado${\displaystyle \Phi _{n}}$A diferencia del caso de combinación lineal, cada sistema se encuentra en un autoestado definido. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El valor esperado${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$La media estadística de una magnitud observable A es la media de los valores medidos de dicha magnitud. Esta media, junto con la distribución de probabilidades, es la que predicen las teorías físicas.

No existe ningún estado que sea simultáneamente un autoestado para todas las observables. Por ejemplo, no podemos preparar un estado tal que tanto la medición de posición Q ( t ) como la medición de momento P ( t ) (en el mismo instante t ) se conozcan con exactitud; al menos una de ellas tendrá un rango de valores posibles. ^{[ a ]} ​​Este es el contenido de la relación de incertidumbre de Heisenberg .

Además, a diferencia de la mecánica clásica, es inevitable que realizar una medición en el sistema generalmente cambie su estado . ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] : 4} Más precisamente: Después de medir una observable A , el sistema estará en un autoestado de A ; por lo tanto, el estado ha cambiado, a menos que el sistema ya estuviera en ese autoestado. Esto expresa una especie de consistencia lógica: Si medimos A dos veces en la misma ejecución del experimento, siendo las mediciones directamente consecutivas en el tiempo, ^{[ b ]} entonces producirán los mismos resultados. Sin embargo, esto tiene algunas consecuencias extrañas, como se indica a continuación.

Consideremos dos observables incompatibles , A y B , donde A corresponde a una medición anterior a B. ^{[ c ]} Supongamos que el sistema se encuentra en un autoestado de B al inicio del experimento . Si medimos solo B , todas las ejecuciones del experimento darán el mismo resultado. Si medimos primero A y luego B en la misma ejecución del experimento, el sistema pasará a un autoestado de A después de la primera medición, y generalmente observaremos que los resultados de B son estadísticos. Por lo tanto: Las mediciones cuánticas se influyen mutuamente , y el orden en que se realizan es importante.

Otra característica de los estados cuánticos cobra relevancia al considerar un sistema físico compuesto por múltiples subsistemas; por ejemplo, un experimento con dos partículas en lugar de una. La física cuántica permite la existencia de ciertos estados, denominados estados entrelazados , que muestran correlaciones estadísticas entre las mediciones realizadas en las dos partículas, las cuales no pueden explicarse mediante la teoría clásica. Para más detalles, véase Entrelazamiento cuántico . Estos estados entrelazados dan lugar a propiedades experimentalmente verificables ( teorema de Bell ) que permiten distinguir entre la teoría cuántica y modelos clásicos alternativos (no cuánticos).

Se puede considerar que las observables dependen del tiempo, mientras que el estado σ se fijó una vez al comienzo del experimento. Este enfoque se denomina imagen de Heisenberg . (Este enfoque se adoptó en la última parte de la discusión anterior, con observables variables en el tiempo P ( t ) , Q ( t ) ). De forma equivalente, se pueden tratar las observables como fijas, mientras que el estado del sistema depende del tiempo; esto se conoce como la imagen de Schrödinger . (Este enfoque se adoptó en la primera parte de la discusión anterior, con un estado variable en el tiempo).${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _ {n}C_ {n}(t)|\Phi _ {n}\rangle}$Conceptualmente (y matemáticamente), ambos enfoques son equivalentes; elegir uno u otro es una cuestión de convención.

Ambos puntos de vista se utilizan en la teoría cuántica. Si bien la mecánica cuántica no relativista se formula generalmente en términos de la representación de Schrödinger, la representación de Heisenberg se prefiere a menudo en un contexto relativista, es decir, para la teoría cuántica de campos . Compárese con la representación de Dirac . ^{[ 14 ] : 65}

La física cuántica se formula comúnmente en términos de álgebra lineal , como sigue: cualquier sistema dado se identifica con un espacio de Hilbert de dimensión finita o infinita . Los estados puros corresponden a vectores de norma 1. Por lo tanto, el conjunto de todos los estados puros corresponde a la esfera unitaria en el espacio de Hilbert, ya que la esfera unitaria se define como el conjunto de todos los vectores con norma 1.

Multiplicar un estado puro por un escalar es físicamente intrascendente (siempre que el estado se considere por sí mismo). Si un vector en un espacio de Hilbert complejo${\displaystyle H}$se puede obtener a partir de otro vector multiplicándolo por algún número complejo distinto de cero, los dos vectores en${\displaystyle H}$Se dice que corresponden al mismo rayo en el espacio de Hilbert proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ de${\displaystyle H}$. Nótese que, aunque se usa la palabra rayo , propiamente hablando, un punto en el espacio de Hilbert proyectivo corresponde a una línea que pasa por el origen del espacio de Hilbert, en lugar de una semirrecta o rayo en el sentido geométrico .

El momento angular tiene la misma dimensión ( M · L ² · T ⁻¹ ) que la constante de Planck y, a escala cuántica, se comporta como un grado de libertad discreto de un sistema cuántico. La mayoría de las partículas poseen una especie de momento angular intrínseco que no aparece en absoluto en la mecánica clásica y surge de la generalización relativista de la teoría de Dirac. Matemáticamente se describe con espinores . En la mecánica cuántica no relativista, las representaciones de grupo del grupo de Lie SU(2) se utilizan para describir esta libertad adicional. Para una partícula dada, la elección de la representación (y por lo tanto el rango de valores posibles del observable de espín) se especifica mediante un número no negativo S que, en unidades de la constante de Planck reducida ħ , es un entero (0, 1, 2, ...) o un semi-entero (1/2, 3/2, 5/2, ...). Para una partícula masiva con espín S , su número cuántico de espín m siempre toma uno de los 2S + 1 valores posibles en el conjunto $${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

En consecuencia, el estado cuántico de una partícula con espín se describe mediante una función de onda vectorial con valores en C ^{2 S +1} . De forma equivalente, se representa mediante una función de valor complejo de cuatro variables: a las tres variables continuas habituales (para la posición en el espacio) se les añade una variable de número cuántico discreto (para el espín).

El estado cuántico de un sistema de N partículas, cada una potencialmente con espín, se describe mediante una función de valor complejo con cuatro variables por partícula, correspondientes a 3 coordenadas espaciales y espín , por ejemplo $${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots$$ ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}

Aquí, las variables de espín m _ν toman valores del conjunto $${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$ dónde${\displaystyle S_{\nu }}$es el espín de la partícula n- ésima.${\displaystyle S_{\nu }=0}$para una partícula que no presenta espín.

El tratamiento de partículas idénticas difiere notablemente entre bosones (partículas con espín entero) y fermiones (partículas con espín semientero). La función de N partículas descrita anteriormente debe simetrizarse (en el caso bosónico) o antisimetrizarse (en el caso fermiónico) con respecto al número de partículas. Si no todas las N partículas son idénticas, pero algunas sí lo son, la función debe (anti)simetrizarse por separado para las variables correspondientes a cada grupo de variables idénticas, según su estadística (bosónica o fermiónica).

Los electrones son fermiones con S = 1/2 , los fotones (cuantos de luz) son bosones con S = 1 (aunque en el vacío no tienen masa y no se pueden describir con la mecánica de Schrödinger).

Cuando no es necesaria la simetrización o la antisimetrización, los espacios de estados de N partículas se pueden obtener simplemente mediante productos tensoriales de espacios de una partícula, a lo que volveremos más adelante.

Un estado${\displaystyle |\psi \rangle }$perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable${\displaystyle H}$siempre se puede expresar de forma única como una combinación lineal de elementos de una base ortonormal de${\displaystyle H}$. Usando la notación bra-ket , esto significa cualquier estado${\displaystyle |\psi \rangle }$se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle &=\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle ,\\&=\sum _{i}|{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle ,\end{aligned}}}$$ con coeficientes complejos${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$y elementos básicos${\displaystyle |k_{i}\rangle }$En este caso, la condición de normalización se traduce en $${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle =\sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$ En términos físicos,${\displaystyle |\psi \rangle }$se ha expresado como una superposición cuántica de los "estados base"${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$, es decir, los autoestados de un observable. En particular, si dicho observable se mide en el estado normalizado.${\displaystyle |\psi \rangle }$, entonces$${\displaystyle |c_{i}|^{2}=|\langle {k_{i}}|\psi \rangle |^{2},}$$ es la probabilidad de que el resultado de la medición sea${\displaystyle k_{i}}$. ^{[ 5 ] : 22}

En general, la expresión de probabilidad siempre consiste en una relación entre el estado cuántico y una porción del espectro de la variable dinámica (es decir, variable aleatoria ) que se observa. ^{[ 15 ] : 98 [ 16 ] : 53} Por ejemplo, la situación anterior describe el caso discreto como valores propios${\displaystyle k_{i}}$pertenecen al espectro puntual . De igual modo, la función de onda es simplemente la autofunción del operador hamiltoniano con el/los autovalor/es correspondiente/s.${\displaystyle E}$; la energía del sistema.

Un ejemplo del caso continuo lo proporciona el operador de posición . La medida de probabilidad para un sistema en estado${\displaystyle \psi }$está dado por: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \mathrm {Pr} (x\in B|\psi )=\int _{B\subset \mathbb {R} }|\psi (x)|^{2}dx,}$$ dónde${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$es la función de densidad de probabilidad para encontrar una partícula en una posición dada. Estos ejemplos enfatizan la distinción en las características entre el estado y el observable. Es decir, mientras que${\displaystyle \psi }$es un estado puro perteneciente a${\displaystyle H}$, los autovectores (generalizados) del operador de posición no lo hacen . ^{[ 18 ]}

Aunque estrechamente relacionados, los estados puros no son lo mismo que los estados ligados que pertenecen al espectro de punto puro de un observable sin incertidumbre cuántica. Se dice que una partícula está en un estado ligado si permanece localizada en una región acotada del espacio en todo momento. Un estado puro${\displaystyle |\phi \rangle }$se denomina estado ligado si y solo si para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$Hay un conjunto compacto${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$de tal manera que$${\displaystyle \int _{K}|\phi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }$$ a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. ^{[ 19 ]} La integral representa la probabilidad de que una partícula se encuentre en una región acotada.${\displaystyle K}$en cualquier momento${\displaystyle t}$. Si la probabilidad permanece arbitrariamente cerca de${\displaystyle 1}$entonces se dice que la partícula permanece en${\displaystyle K}$.

Por ejemplo, las soluciones no normalizables de la ecuación de Schrödinger libre pueden expresarse como funciones normalizables mediante paquetes de ondas . Estos paquetes de ondas pertenecen al espectro de punto puro de un operador de proyección correspondiente que, matemáticamente hablando, constituye un observable. ^{[ 16 ] : 48} Sin embargo, no son estados ligados.

Como se mencionó anteriormente, los estados cuánticos pueden superponerse . Si${\displaystyle |\alpha \rangle }$y${\displaystyle |\beta \rangle }$son dos kets que corresponden a estados cuánticos, el ket $${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$ También es un estado cuántico del mismo sistema. Ambos${\displaystyle c_{\alpha }}$y${\displaystyle c_{\beta }}$pueden ser números complejos; su amplitud relativa y su fase relativa influirán en el estado cuántico resultante.

Escribiendo el estado superpuesto usando $${\displaystyle c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta }}}$$ y definiendo la norma del estado como: $${\displaystyle |c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1}$$ y extrayendo los factores comunes se obtiene: $${\displaystyle e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i\theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)}$$ El factor de fase general al frente no tiene ningún efecto físico. ^{[ 20 ] : 108} Solo la fase relativa afecta la naturaleza física de la superposición.

Un ejemplo de superposición es el experimento de la doble rendija , en el que la superposición da lugar a la interferencia cuántica . Otro ejemplo de la importancia de la fase relativa son las oscilaciones de Rabi , donde la fase relativa de dos estados varía en el tiempo debido a la ecuación de Schrödinger . La superposición resultante termina oscilando entre dos estados diferentes.

Un estado cuántico puro es un estado que puede describirse mediante un único vector ket, como se describió anteriormente. Un estado cuántico mixto es un conjunto estadístico de estados puros (véase Mecánica estadística cuántica ). ^{[ 3 ] : 73}

En mecánica cuántica, los estados mixtos surgen en dos situaciones distintas: primero, cuando la preparación del sistema no se conoce completamente, y por lo tanto se debe trabajar con un conjunto estadístico de posibles preparaciones; y segundo, cuando se desea describir un sistema físico entrelazado con otro, ya que su estado no puede describirse mediante un estado puro. En el primer caso, teóricamente podría existir otra persona que conozca la historia completa del sistema y, por lo tanto, lo describa como un estado puro; en este caso, la matriz de densidad se utiliza simplemente para representar el conocimiento limitado de un estado cuántico. En el segundo caso, sin embargo, la existencia del entrelazamiento cuántico impide teóricamente la existencia de un conocimiento completo sobre el subsistema, y ​​es imposible que cualquier persona describa el subsistema de un par entrelazado como un estado puro.

Los estados mixtos surgen inevitablemente de estados puros cuando, para un sistema cuántico compuesto${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$con un estado entrelazado en él, la parte${\displaystyle H_{2}}$es inaccesible para el observador. ^{[ 3 ] : 121–122} El estado de la parte${\displaystyle H_{1}}$se expresa entonces como la traza parcial sobre${\displaystyle H_{2}}$.

Un estado mixto no puede describirse con un único vector ket. ^{[ 21 ] : 691–692} En cambio, se describe mediante su matriz de densidad asociada (o operador de densidad ), generalmente denotada por ρ . Las matrices de densidad pueden describir tanto estados mixtos como puros, tratándolos en igualdad de condiciones. Además, un estado cuántico mixto en un sistema cuántico dado se describe mediante un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$Siempre se puede representar como la traza parcial de un estado cuántico puro (llamado purificación ) en un sistema bipartito más grande.${\displaystyle H\otimes K}$para un espacio de Hilbert suficientemente grande${\displaystyle K}$.

La matriz de densidad que describe un estado mixto se define como un operador de la forma $${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$ donde p _s es la fracción del conjunto en cada estado puro.${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$La matriz de densidad puede considerarse como una forma de utilizar el formalismo de una partícula para describir el comportamiento de muchas partículas similares, proporcionando una distribución de probabilidad (o conjunto) de estados en los que se pueden encontrar estas partículas.

Un criterio simple para comprobar si una matriz de densidad describe un estado puro o mixto es que la traza de ρ ² sea igual a 1 si el estado es puro y menor que 1 si el estado es mixto. ^{[ d ] [ 22 ]} Otro criterio equivalente es que la entropía de von Neumann sea 0 para un estado puro y estrictamente positiva para un estado mixto.

Las reglas de medición en mecánica cuántica son particularmente sencillas de enunciar en términos de matrices de densidad. Por ejemplo, el promedio de conjunto ( valor esperado ) de una medición correspondiente a una observable A viene dado por $${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$ dónde${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$y${\displaystyle a_{i}}$son autovalores y autovalores, respectivamente, para el operador A , y " tr " denota traza. ^{[ 3 ] : 73} Se producen dos tipos de promediado, uno (sobre${\displaystyle i}$) siendo el valor esperado habitual del observable cuando el cuanto está en estado ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$y el otro (sobre${\displaystyle s}$) siendo un promedio estadístico (dicho incoherente ) con las probabilidades p _s de que el cuanto se encuentre en esos estados.