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Articulo de referencia

HSM Coxeter

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Harold Scott MacDonald " Donald " Coxeter ( / ˈ k ɒ k s i t ər / ) (9 de febrero de 1907 – 31 de marzo de 2003) [ 2 ] fue un geómetra y matemático británico-canadiense . Es considerado uno de los más grandes geómetras del siglo XX. [ 3 ]

Coxeter nació en Inglaterra y se educó en la Universidad de Cambridge , realizando estancias de estudio en la Universidad de Princeton . Trabajó durante 60 años en la Universidad de Toronto , en Canadá, desde 1936 hasta su jubilación en 1996, donde se convirtió en catedrático en 1948. Entre sus numerosos honores se incluyen su pertenencia a la Real Sociedad de Canadá , la Real Sociedad y la Orden de Canadá .

Fue autor de 12 libros, entre ellos Los cincuenta y nueve icosaedros (1938) y Politopos regulares (1947). Muchos conceptos de geometría y teoría de grupos llevan su nombre, como el grafo de Coxeter , los grupos de Coxeter , la secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter , los diagramas de Coxeter-Dynkin y el algoritmo de Todd-Coxeter .

Biografía

Coxeter nació en Kensington , Inglaterra, hijo de Harold Samuel Coxeter y Lucy ( de soltera  Gee ). Su padre se había hecho cargo del negocio familiar Coxeter & Son, fabricantes de instrumental quirúrgico y gases comprimidos (incluido un mecanismo para anestesiar pacientes quirúrgicos con óxido nitroso ), pero pudo jubilarse anticipadamente y dedicarse a la escultura y al canto de barítono; Lucy Coxeter era pintora de retratos y paisajes y había estudiado en la Real Academia de las Artes . Un primo materno era el arquitecto Sir Giles Gilbert Scott . [ 4 ] [ 2 ]

En su juventud, Coxeter compuso música y era un pianista consumado a la edad de 10 años. [ 5 ] Consideraba que las matemáticas y la música estaban íntimamente relacionadas, y expuso sus ideas en un artículo de 1962 sobre "Música y Matemáticas" en el Canadian Music Journal . [ 5 ]

Se educó en la King Alfred School de Londres y luego asistió a la St George's School de Harpenden con el objetivo de convertirse en compositor, pero decidió que tenía más interés en las matemáticas. Mientras se recuperaba de la varicela en St George's, conoció a John Flinders Petrie , más tarde un matemático en cuyo honor se nombraron los polígonos de Petrie . [ 4 ] Fue aceptado en el King's College de Cambridge en 1925, pero decidió pasar un año estudiando con la esperanza de ingresar al Trinity College , donde el nivel de matemáticas era más alto. [ 2 ] Coxeter ganó una beca de ingreso y fue al Trinity en 1926 para estudiar matemáticas. Allí obtuvo su licenciatura (como Senior Wrangler ) en 1928 y su doctorado en 1931. [ 5 ] [ 6 ] En 1932 fue a la Universidad de Princeton por un año como becario Rockefeller , donde trabajó con Hermann Weyl , Oswald Veblen y Solomon Lefschetz . [ 6 ] De regreso a Trinity por un año, asistió a los seminarios de Ludwig Wittgenstein sobre la filosofía de las matemáticas . [ 5 ] Wittgenstein seleccionó a Coxeter y a otros para tomar notas de sus conferencias, cuya recopilación se convirtió más tarde en El Libro Azul . [ 7 ] En 1934 pasó otro año en Princeton como becario Procter. [ 6 ]

En 1936, Coxeter se trasladó a la Universidad de Toronto. En 1938, junto con P. Du Val , HT Flather y John Flinders Petrie, publicó The Fifty-Nine Icosahedra con University of Toronto Press . En 1940, Coxeter editó la undécima edición de Mathematical Recreations and Essays , [ 8 ] publicada originalmente por WW Rouse Ball en 1892. Fue ascendido a profesor en 1948. Fue elegido miembro de la Royal Society of Canada en 1948 y miembro de la Royal Society en 1950. Conoció a MC Escher en 1954 y ambos se hicieron amigos de por vida; su trabajo sobre figuras geométricas ayudó a inspirar algunas de las obras de Escher, en particular la serie Circle Limit basada en teselaciones hiperbólicas . También inspiró algunas de las innovaciones de Buckminster Fuller . [ 6 ] Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller fueron los primeros en publicar la lista completa de poliedros uniformes (1954). [P54]

Trabajó durante 60 años en la Universidad de Toronto y publicó doce libros.

Vida personal

Coxeter era vegetariano . Atribuía su longevidad a su dieta vegetariana, al ejercicio diario, como cincuenta flexiones y ponerse de cabeza durante quince minutos cada mañana, y al consumo nocturno de un cóctel hecho con Kahlúa (un licor de café), aguardiente de melocotón y leche de soja . [ 4 ]

Su esposa, Rien, falleció en 1999, tras lo cual Coxeter viajó con su hija, Susan. Murió el 31 de marzo de 2003 en Toronto.

Contribuciones matemáticas

Grupo Coxeter

Coxeter inventó un grupo para aplicar la descripción del conjunto de reflexiones en el espacio euclidiano , por lo que se le llama grupo de Coxeter . [P34] Se define como la presentación de un grupo⟨r1,r2,…,rnorte∣(rirj)metroij=1⟩{\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle } dóndemetroii=1{\displaystyle m_{ii}=1}ymetroij=metroji≥2{\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}es un número entero o∞{\displaystyle \infty }parai≠j{\displaystyle i\neq j}Aquí, la condiciónmetroij=∞{\displaystyle m_{ij}=\infty } significa que ninguna relación de la forma(rirj)metro=1{\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}para cualquier número enterometro≥2{\displaystyle m\geq 2}debería imponerse. [ 9 ]

Diagrama de Coxeter-Dynkin para los grupos de Coxeter finitos fundamentales

Coxeter clasificó los grupos finitos de Coxeter en 1935. [P35] Estos grupos se asociaron con diagramas que consistían en puntos y segmentos que los conectaban. Estos diagramas se conocen como diagramas de Dynkin , llamados así en honor al matemático soviético-estadounidense Eugene Dynkin , y describen las familias de álgebras de Lie simples de dimensión finita de sistemas de raíces.Anorte{\displaystyle A_{n}},Bnorte{\displaystyle B_{n}},donorte{\displaystyle C_{n}},Dnorte{\displaystyle D_{n}},mi6{\displaystyle E_{6}},mi7{\displaystyle E_{7}},mi8{\displaystyle E_{8}},F4{\displaystyle F_{4}},GRAMO2{\displaystyle G_{2}},H4{\displaystyle H_{4}},H5{\displaystyle H_{5}},I2{\displaystyle I_{2}}La fusión se conoce ahora como diagrama de Coxeter-Dynkin o gráfico de Coxeter. [ 10 ] Coxeter denota estos grupos y sus estructuras de diagramas en notaciones entre corchetes, denominadas notación de Coxeter o símbolo de Coxeter.

Poliedros y politopos

El libro The Fifty-Nine Icosahedra de Coxeter, Patrick du Val , HT Flather y John Flinders Petrie , [B73] publicado por la Universidad de Toronto en 1938, describe las 59 estelaciones de un icosaedro regular , formado al extender sus caras para crear un sólido en forma de estrella. [ 11 ]

El libro Regular Polytopes de Coxeter se publicó en numerosas ediciones: [B63] por Methuen en 1947, por Pitman Publishing en 1948, [ 12 ] [ 13 ] la segunda edición por Macmillan en 1963, [ 14 ] [ 15 ] y la tercera edición por Dover Publications en 1973. [ 16 ] [ 17 ]

Tres apeiroedros oblicuos regulares de Petrie y Coxeter: mucubo, muoctaedro y mutetraedro.

En 1926, el matemático inglés John Flinders Petrie aplicó el concepto de polígonos sesgados regulares —donde los vértices no están en el mismo plano— a poliedros tridimensionales. Encontró dos apeiroedros sesgados regulares , construidos a partir de cubos y octaedros truncados mediante la eliminación de las caras cuadradas compartidas de poliedros adyacentes para formar túneles. Coxeter descubrió el tercer poliedro sesgado regular, construido a partir de múltiples tetraedros truncados siguiendo el procedimiento de Petrie. [B68] [ 18 ] Posteriormente, el matemático inglés John Conway denominó a estos poliedros mucubo, muoctaedro y mutetraedro, respectivamente. [ 19 ]

Michael Goldberg introdujo la familia de poliedros de Goldberg , cuyas caras son pentágonos y hexágonos. [ 20 ] El dual de dicho poliedro es el poliedro geodésico , descrito como una forma casi esférica con caras triangulares, que Buckminster Fuller denominó "cúpulas geodésicas". Estos poliedros fueron extendidos y aplicados en el artículo de Donald Caspar y Aaron Klug sobre la geometría de las cápsides virales . [ 21 ] Coxeter [B71] cubrió gran parte de la información sin hacer referencia a explicaciones biológicas. Caspar y Klug fueron los primeros en publicar la construcción correcta más general de un poliedro geodésico, lo que convierte el nombre " construcción Goldberg-Coxeter " en un ejemplo de la ley de eponimia de Stigler . [ 22 ]

Espirales y hélices

La secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter
Hélice de Boerdijk-Coxeter

Coxeter estudió los círculos infinitos tangentes entre sí dispuestos loxodrómicamente, de modo que cualesquiera cuatro círculos consecutivos en una secuencia son tangentes entre sí por pares. [P68] [ 23 ] Esto se generalizó posteriormente al caso de esferas e hiperesferas en espacios de dimensiones superiores. [P97] [P98]

Coxeter y Arie Hendrick Boerdijk construyeron un conjunto de tetraedros regulares apilados linealmente, de tal manera que los bordes forman tres hélices , lo que hoy se conoce como hélice de Boerdijk-Coxeter . [P85b] [B74b] [ 24 ] [ 25 ]

teoría de grafos

Gráfico de Coxeter
Grafo de Tutte-Coxeter . La notación LCF de este grafo es [−13,−9,7,−7,9,13] 5

Coxeter en el artículo de 1983 My Graph [P83] mostró un grafo 3-regular con 28 vértices y 42 aristas. [ 26 ] William Thomas Tutte descubrió un grafo con 30 vértices y 45 aristas , [ 27 ] y el estudio de su conexión con configuraciones geométricas fue investigado por Tutte [ 28 ] y Coxeter, [P58] ahora conocido como grafo de Tutte-Coxeter .

Coxeter, junto con Robert Frucht , extendió la notación LCF ideada por Joshua Lederberg para la representación de grafos cúbicos que contienen un ciclo hamiltoniano . [B81] [ 29 ]

Premios

Desde 1978, la Sociedad Matemática Canadiense otorga el Premio Coxeter-James en su honor.

Fue nombrado miembro de la Royal Society en 1950 y en 1997 recibió su Medalla Sylvester . [ 6 ] En 1990, se convirtió en miembro extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias [ 30 ] y en 1997 fue nombrado Compañero de la Orden de Canadá . [ 31 ]

En 1973 recibió el Premio Jeffery-Williams . [ 6 ]

En 1982 se publicó un volumen conmemorativo en su honor, The Geometric Vein . Contenía 41 ensayos sobre geometría, basados ​​en un simposio sobre Coxeter celebrado en Toronto en 1979. [ 32 ] Un segundo volumen, The Coxeter Legacy , se publicó en 2006, basado en un simposio sobre Coxeter celebrado en Toronto en 2004. [ 33 ]

Obras

Coxeter publicó doce libros y más de 200 artículos:

Libros

Artículos seleccionados

Véase también

Referencias

  1. ↑ HSM Coxeter en el Proyecto de Genealogía Matemática
  2. 1 2 3 Roberts, Siobhan ; Ivić Weiss, Asia (2006). Longair, Malcolm (ed.). "Harold Scott MacDonald Coxeter. 9 de febrero de 1907 — 31 de marzo de 2003: Elegido FRS 1950" . Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society . 52 : 45–66 . doi : 10.1098/rsbm.2006.0004 . ISSN 1748-8494 . 
  3. ↑ "Geometría revisitada" . Asociación Matemática de América . Archivado del original el 25 de diciembre de 2018. Consultado el 25 de diciembre de 2018 .
  4. 1 2 3 "Diccionario Oxford de Biografía Nacional" . Diccionario Oxford de Biografía Nacional ( edición en línea). Oxford University Press. 2004. doi : 10.1093/ref:odnb/89876 . (Se requiere suscripción, acceso a la biblioteca de Wikipedia o ser miembro de una biblioteca pública del Reino Unido ).
  5. 1 2 3 4 Roberts, Siobhan , Rey del espacio infinito: Donald Coxeter, el hombre que salvó la geometría , Walker & Company, 2006, ISBN 0-8027-1499-4
  6. 1 2 3 4 5 6 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "HSM Coxeter" , Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
  7. ↑ Monkl, Ray (2012). Ludwig Wittgenstein: El deber del genio . Random House. pág. 336. 
  8. ↑ Frame, JS (1940). "Reseña: Mathematical Recreations and Essays , 11.ª edición, por WW Rouse Ball; revisada por HSM Coxeter" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 45 (3): 211– 213. doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07170-8 .
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  14. ↑ Robinson, G. de B. "Revisión de politopos regulares ". Mathematical Reviews . MR 0151873 . 
  15. ↑ Goldberg, Michael (enero de 1964). "Revisión de politopos regulares ". Matemáticas de la computación . 18 (85): 166. doi : 10.2307/2003446 . JSTOR 2003446 . 
  16. ↑ Peak, Philip (marzo de 1975). "Revisión de Politopos Regulares ". The Mathematics Teacher . 68 (3): 230. JSTOR 27960095 . 
  17. ↑ Wenninger, Magnus J. (Invierno de 1976). "Revisión de Politopos Regulares ". Leonardo . 9 (1): 83. doi : 10.2307/1573335 . JSTOR 1573335 . 
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  25. ↑ Sadler, Garrett; Fang, Fang; Clawson, Richard; Irwin, Klee (2019). "Modificación periódica de la hélice de Boerdijk-Coxeter (tetrahélice)" . Matemáticas . 7 (10): 1001. doi : 10.3390/math7101001 . ISSN 2227-7390 . 
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  27. ↑ Tutte, WT (1947). "Una familia de grafos cúbicos". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 43 (4): 459– 474. Bibcode : 1947PCPS...43..459T . doi : 10.1017/S0305004100023720 . S2CID 123505185 . 
  28. ↑ Tutte, WT (1958). "Las cuerdas de la cuádrica no reglada en PG(3,3)" . Revista Canadiense de Matemáticas . 10 : 481–483 . doi : 10.4153/CJM-1958-046-3 .
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  31. ↑ Oficina del Gobernador General de Canadá . Mención de la Orden de Canadá . Imprenta de la Reina para Canadá. Consultado el 26 de mayo de 2010.
  32. ↑ Edge, WL (junio de 1983). "Reseña de The Geometric Vein " . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 26 (2): 284–285 . doi : 10.1017/s0013091500017016 .
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  36. ↑ Freudenthal, H. (1962). "Reseña: Introducción a la geometría de HSM Coxeter" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 68 (2): 55– 59. doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10714-9 .
  37. ↑ Levi, H. (1963). "Reseña: Introducción a la geometría de HSM Coxeter". The Journal of Philosophy . 60 (1): 19– 21. doi : 10.2307/2023059 . JSTOR 2023059 . 
  38. ↑ Hall Jr., Marshall (1958). "Revisión: Generadores y relaciones para grupos discretos por HSM Coxeter y WOJ Moser" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 64, Parte 1 (3): 106–108 . doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10178-0 .

Lecturas adicionales

  • Davis, Chandler ; Ellers, Erich W., eds. (2006). El legado de Coxeter: reflexiones y proyecciones . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3722-1OCLC 62282754​​ 
  • Roberts, Siobhan (2006). El rey del espacio infinito: Donald Coxeter, el hombre que salvó la geometría . Nueva York: Walker & Company. ISBN 978-0-8027-1499-2OCLC 71436884​​ 
  • Documentos de archivo de Harold Scott MacDonald Coxeter conservados en los Servicios de Archivo y Gestión de Documentos de la Universidad de Toronto.
  • HSM Coxeter en el Proyecto de Genealogía Matemática
  • HSM Coxeter (1907–2003), Erich W. Ellers, Branko Grünbaum, Peter McMullen, Asia Ivic Weiss Notices of the AMS: Volumen 50, Número 10.
  • www.donaldcoxeter.com www.math.yorku.ca/dcoxeter páginas web dedicadas a él (en desarrollo)
  • El mundo de Jaron: formas en otras dimensiones , revista Discover , abril de 2007
  • Vídeo titulado "Las matemáticas en el arte de M. C. Escher", correspondiente a una conferencia impartida por H. S. M. Coxeter el 28 de abril de 2000.