Medida de Haar

En análisis matemático , la medida de Haar asigna un "volumen invariante" a subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos , definiendo consecuentemente una integral para funciones en esos grupos.

Esta medida fue introducida por Alfréd Haar en 1933, aunque su caso especial para grupos de Lie había sido introducido por Adolf Hurwitz en 1897 bajo el nombre de "integral invariante". ^{[ 1 ] [ 2 ]} Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis , la teoría de números , la teoría de grupos , la teoría de la representación , la estadística , la teoría de la probabilidad y la teoría ergódica .

Dejar${\displaystyle (G,\cdot )}$sea ​​un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto . ${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por todos los subconjuntos abiertos de${\displaystyle G}$se llama álgebra de Borel . Un elemento del álgebra de Borel se llama conjunto de Borel . Si${\displaystyle g}$es un elemento de${\displaystyle G}$y${\displaystyle S}$es un subconjunto de${\displaystyle G}$, luego definimos las traslaciones izquierda y derecha de${\displaystyle S}$por${\displaystyle g}$como sigue:

• Izquierda traducir:$${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• Traducir correctamente:$${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

Izquierda y derecha traducen conjuntos de Borel de mapas a conjuntos de Borel.

Una medida${\displaystyle \mu }$en los subconjuntos de Borel de${\displaystyle G}$se denomina invariante a la traslación izquierda si para todos los subconjuntos de Borel${\displaystyle S\subseteg G}$y todo${\displaystyle g\in G}$uno tiene

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

Una medida${\displaystyle \mu }$en los subconjuntos de Borel de${\displaystyle G}$se denomina invariante a la traslación derecha si para todos los subconjuntos de Borel${\displaystyle S\subseteg G}$y todo${\displaystyle g\in G}$uno tiene

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

Existe, salvo una constante multiplicativa positiva, una medida única, numerablemente aditiva y no trivial.${\displaystyle \mu }$en los subconjuntos de Borel de${\displaystyle G}$que satisfacen las siguientes propiedades:

• La medida${\displaystyle \mu }$es invariante a la traslación izquierda:${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$por cada${\displaystyle g\in G}$y todos los conjuntos Borel${\displaystyle S\subseteg G}$.
• La medida${\displaystyle \mu }$es finito en todo conjunto compacto:${\displaystyle \mu (K)<\infty }$para todos los compactos${\displaystyle K\subseteg G}$.
• La medida${\displaystyle \mu }$es regular exterior en conjuntos de Borel${\displaystyle S\subseteg G}$:$${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ abierto}}\}.}$$
• La medida${\displaystyle \mu }$es regular interno en conjuntos abiertos${\displaystyle U\subseteg G}$:$${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compacto}}\}.}$$

Tal medida en${\displaystyle G}$se denomina medida de Haar izquierda. Se puede demostrar como consecuencia de las propiedades anteriores que${\displaystyle \mu }$no es trivial si y solo si${\displaystyle \mu (U)>0}$para cada subconjunto abierto no vacío${\displaystyle U\subseteg G}$. En particular, si${\displaystyle G}$es compacto entonces${\displaystyle \mu (G)}$es finito y positivo, por lo que podemos especificar de forma única una medida de Haar izquierda en${\displaystyle G}$agregando la condición de normalización${\displaystyle \mu (G)=1}$.

En completa analogía, también se puede demostrar la existencia y unicidad de una medida Haar correcta en${\displaystyle G}$Las dos medidas no tienen por qué coincidir.

Algunos autores definen una medida de Haar en conjuntos de Baire en lugar de conjuntos de Borel. Esto hace innecesarias las condiciones de regularidad, ya que las medidas de Baire son automáticamente regulares. Halmos ^{[ 3 ]} utiliza el término no estándar "conjunto de Borel" para los elementos del${\displaystyle \sigma }$-anillo generado por conjuntos compactos, y define medidas de Haar en estos conjuntos.

La medida de Haar izquierda satisface la condición de regularidad interna para todos${\displaystyle \sigma }$-conjuntos de Borel finitos , pero puede que no sean internamente regulares para todos los conjuntos de Borel. Por ejemplo, el producto del círculo unitario (con su topología usual) y la recta real con la topología discreta es un grupo localmente compacto con la topología producto y una medida de Haar en este grupo no es internamente regular para el subconjunto cerrado.${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$. (Los subconjuntos compactos de este segmento vertical son conjuntos finitos y los puntos tienen medida${\displaystyle 0}$, por lo que la medida de cualquier subconjunto compacto de este segmento vertical es${\displaystyle 0}$Pero, utilizando la regularidad externa, se puede demostrar que el segmento tiene medida infinita.

La existencia y unicidad (salvo escalamiento) de una medida de Haar izquierda fue demostrada por primera vez en generalidad por André Weil . ^{[ 4 ]} La demostración de Weil utilizó el axioma de elección y Henri Cartan proporcionó una demostración que evitó su uso. ^{[ 5 ]} La demostración de Cartan también establece la existencia y la unicidad simultáneamente. Alfsen dio una explicación simplificada y completa del argumento de Cartan en 1963. ^{[ 6 ]} El caso especial de medida invariante para grupos localmente compactos con número segundo numerable había sido demostrado por Haar en 1933. ^{[ 1 ]}

• Si${\displaystyle G}$es un grupo discreto , entonces los subconjuntos compactos coinciden con los subconjuntos finitos, y una medida de Haar (invariante por la izquierda y por la derecha) en${\displaystyle G}$es la medida de conteo .
• La medida de Haar en el grupo topológico${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$que toma el valor${\displaystyle 1}$en el intervalo${\displaystyle [0,1]}$es igual a la restricción de la medida de Lebesgue a los subconjuntos de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} }$Esto se puede generalizar a${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Para definir una medida de Haar${\displaystyle \mu }$en el grupo circular${\displaystyle \mathbb {T} }$, considere la función${\displaystyle f}$de${\displaystyle [0,2\pi ]}$sobre${\displaystyle \mathbb {T} }$definido por${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$. Entonces${\displaystyle \mu }$puede definirse por $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$ dónde${\displaystyle m}$es la medida Lebesgue sobre${\displaystyle [0,2\pi ]}$. El factor${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$se elige de modo que${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$.
• Si${\displaystyle G}$es el grupo de números reales positivos bajo la multiplicación entonces una medida de Haar${\displaystyle \mu }$es dado por $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$ para cualquier subconjunto de Borel${\displaystyle S}$de números reales positivos. Por ejemplo, si${\displaystyle S}$se considera un intervalo${\displaystyle [a,b]}$, entonces encontramos${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$. Ahora dejamos que el grupo multiplicativo actúe sobre este intervalo mediante una multiplicación de todos sus elementos por un número${\displaystyle g}$, Resultando en${\displaystyle gS}$siendo el intervalo${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$Al medir este nuevo intervalo, encontramos${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Si${\displaystyle G}$es el grupo de números reales distintos de cero con la multiplicación como operación, entonces una medida de Haar${\displaystyle \mu }$es dado por $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$ para cualquier subconjunto de Borel${\displaystyle S}$de los reales distintos de cero.
• Para el grupo lineal general${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$, cualquier medida de Haar izquierda es una medida de Haar derecha y una de esas medidas${\displaystyle \mu }$es dado por $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$ dónde${\displaystyle dX}$denota la medida de Lebesgue en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$identificado con el conjunto de todos${\displaystyle n\times n}$-matrices. Esto se deduce de la fórmula de cambio de variables .
• Generalizando los tres ejemplos anteriores, si el grupo${\displaystyle G}$se representa como una subvariedad abierta de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con operaciones de grupo fluidas , luego una medida Haar izquierda en${\displaystyle G}$es dado por${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$, dónde${\displaystyle e_{1}}$es el elemento de identidad grupal de${\displaystyle G}$,${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$es el determinante jacobiano de la multiplicación por la izquierda por${\displaystyle x}$en${\displaystyle e_{1}}$, y${\displaystyle d^{n}x}$es la medida Lebesgue sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Esto se deduce de la fórmula de cambio de variables . Una medida de Haar derecha se da de la misma manera, excepto que${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$siendo el jacobiano de la multiplicación derecha por${\displaystyle x}$.
• Para el grupo ortogonal${\displaystyle G=O(n)}$Su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera (como la distribución de una variable aleatoria). Primera muestra${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$, es decir, una matriz con todas las entradas siendo muestras IID de la distribución normal con media cero y varianza uno. A continuación, se aplica el proceso de Gram-Schmidt a la matriz; la variable aleatoria resultante toma valores en${\displaystyle O(n)}$y se distribuye según la medida de probabilidad de Haar en ese grupo. ^{[ 7 ]} Dado que el grupo ortogonal especial${\displaystyle SO(n)}$es un subgrupo abierto de${\displaystyle O(n)}$la restricción de la medida de Haar de${\displaystyle O(n)}$a${\displaystyle SO(n)}$proporciona una medida de Haar en${\displaystyle SO(n)}$(en términos de variables aleatorias, esto significa condicionar el determinante a ser 1, un evento con probabilidad 1/2).
• El mismo método que para${\displaystyle O(n)}$puede utilizarse para construir la medida de Haar en el grupo unitario${\displaystyle U(n)}$. Para el grupo unitario especial${\displaystyle G=SU(n)}$(que tiene medida 0 en${\displaystyle U(n)}$), su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera. Primera muestra${\displaystyle A}$de la medida de Haar (normalizada a uno, de modo que sea una distribución de probabilidad) en${\displaystyle U(n)}$y dejar ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$, dónde${\displaystyle \theta }$puede ser cualquiera de los ángulos, luego muestrear independientemente${\displaystyle k}$de la distribución uniforme en${\displaystyle \{1,...,n\}}$. Entonces${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$se distribuye como la medida de Haar en${\displaystyle SU(n)}$.
• Dejar${\displaystyle G}$sea ​​el conjunto de todas las transformaciones lineales afines${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$de la forma${\displaystyle r\mapsto xr+y}$para algún fijo${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$con${\displaystyle x>0.}$Asociarse con${\displaystyle G}$el funcionamiento de la composición de funciones${\displaystyle \circ }$, que se convierte${\displaystyle G}$en un grupo no abeliano.${\displaystyle G}$puede identificarse con el semiplano derecho${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$bajo el cual la operación del grupo se convierte en${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$Una medida de Haar invariante por la izquierda${\displaystyle \mu _{L}}$(respectivamente, una medida de Haar invariante a la derecha)${\displaystyle \mu _{R}}$) en${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$es dado por $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$    y    $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$ para cualquier subconjunto de Borel${\displaystyle S}$de${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$Esto se debe a que si${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$es un subconjunto abierto entonces para${\displaystyle (s,t)\in G}$fijo, la integración por sustitución da $${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$ mientras que para${\displaystyle (u,v)\in G}$fijado, $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• En cualquier grupo de Lie de dimensión${\displaystyle d}$una medida de Haar izquierda puede asociarse con cualquier invariante izquierda no nula${\displaystyle d}$-forma${\displaystyle \omega }$, como la medida de Lebesgue${\displaystyle |\omega |}$; y de forma similar para las medidas de Haar derechas. Esto significa también que la función modular puede calcularse como el valor absoluto del determinante de la representación adjunta .

• 

  Una representación de la medida de Haar de números reales positivos en términos del área bajo la rama positiva de la hipérbola estándar xy = 1 utiliza conjuntos de Borel generados por intervalos [ a, b ], b > a > 0. Por ejemplo, a = 1 y b = el número de Euler e produce un área igual a log (e/1) = 1. Entonces, para cualquier número real positivo c, el área sobre el intervalo [ ca, cb ] es igual a log ( b / a ), por lo que el área es invariante bajo la multiplicación por números reales positivos. Nótese que el área tiende a infinito tanto cuando a tiende a cero como cuando b aumenta. El uso de esta medida de Haar para definir una función logarítmica ancla a en 1 y considera el área sobre un intervalo en [b, 1], con 0 < b < 1, como área negativa . De esta manera, el logaritmo puede tomar cualquier valor real, aunque la medida siempre sea positiva o cero.

• Si${\displaystyle G}$es el grupo de cuaterniones no nulos , entonces${\displaystyle G}$puede verse como un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Una medida de Haar${\displaystyle \mu }$es dado por $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$ dónde${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$denota la medida de Lebesgue en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$y${\displaystyle S}$es un subconjunto de Borel de${\displaystyle G}$.
• Si${\displaystyle G}$es el grupo aditivo de${\displaystyle p}$números -ádicos para un número primo${\displaystyle p}$, entonces una medida de Haar viene dada por${\displaystyle a+p^{n}O}$tener medida${\displaystyle p^{-n}}$, dónde${\displaystyle O}$es el anillo de${\displaystyle p}$enteros -ádicos.

También se puede demostrar que existe una medida de Borel única (salvo multiplicación por una constante positiva) invariante bajo traslación a la derecha.${\displaystyle \nu }$que satisface las condiciones de regularidad anteriores y es finito en conjuntos compactos, pero no tiene por qué coincidir con la medida invariante a la traslación izquierda.${\displaystyle \mu }$Las medidas de Haar izquierda y derecha son iguales solo para los llamados grupos unimodulares (véase más abajo). Sin embargo, es bastante sencillo encontrar una relación entre${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$𝜇 En efecto, para un conjunto de Borel${\displaystyle S}$, denotemos por${\displaystyle S^{-1}}$el conjunto de inversos de elementos de${\displaystyle S}$. Si definimos

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

entonces${\displaystyle \mu _{-1}}$es una medida de Haar derecha. Para demostrar la invariancia derecha, aplique la definición:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Dado que la medida correcta es única, se deduce que${\displaystyle \mu _{-1}}$es un múltiplo de${\displaystyle \nu }$y entonces

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

para todos los conjuntos Borel${\displaystyle S}$, dónde${\displaystyle k}$es alguna constante positiva.

Si el grupo localmente compacto${\displaystyle G}$actúa transitivamente sobre un espacio homogéneo${\displaystyle G/H}$, cabe preguntarse si este espacio tiene una medida invariante, o más generalmente una medida semi-invariante con la propiedad de que${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$para algún personaje${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle G}$. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal medida es que la restricción${\displaystyle \chi |_{H}}$es igual a${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$, dónde${\displaystyle \Delta }$y${\displaystyle \delta }$son las funciones modulares de${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$respectivamente. ^{[ 8 ]} En particular, una medida invariante en${\displaystyle G/H}$existe si y solo si la función modular${\displaystyle \Delta }$de${\displaystyle G}$restringido a${\displaystyle H}$es la función modular${\displaystyle \delta }$de${\displaystyle H}$.

Utilizando la teoría general de la integración de Lebesgue , se puede definir una integral para todas las funciones medibles de Borel.${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$Esta integral se denomina integral de Haar y se denota como:

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

dónde${\displaystyle \mu }$es la medida de Haar.

Una propiedad de una medida Haar izquierda${\displaystyle \mu }$es que, dejar${\displaystyle s}$ser un elemento de${\displaystyle G}$Lo siguiente es válido:

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

para cualquier función integrable de Haar${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$Esto es inmediato para las funciones indicadoras :

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

que es esencialmente la definición de invariancia izquierda.

En el mismo número de Annals of Mathematics e inmediatamente después del artículo de Haar, John von Neumann utilizó el teorema de Haar para resolver el quinto problema de Hilbert restringido a grupos compactos . ^{[ 9 ]}

A menos que${\displaystyle G}$es un grupo discreto, es imposible definir una medida regular invariante izquierda numerablemente aditiva en todos los subconjuntos de${\displaystyle G}$, asumiendo el axioma de elección , según la teoría de conjuntos no medibles .

En 1936, André Weil demostró un recíproco (en cierto modo) del teorema de Haar, al mostrar que si un grupo tiene una medida invariante por la izquierda con una cierta propiedad de separación , ^{[ 3 ]} entonces se puede definir una topología en el grupo, y la completación del grupo es localmente compacta y la medida dada es esencialmente la misma que la medida de Haar en esta completación.

• Medida invariante
• Dualidad de Pontryagin
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

• La existencia y unicidad de la integral de Haar en un grupo topológico localmente compacto - por Gert K. Pedersen
• Sobre la existencia y unicidad de medidas invariantes en grupos localmente compactos - por Simon Rubinstein-Salzedo