Ecuación de Hamilton-Jacobi

En física, la ecuación de Hamilton-Jacobi , llamada así en honor a William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana .

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula puede representarse como una onda. En este sentido, cumplió con un objetivo largamente acariciado por la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera la "aproximación más cercana" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica . ^{[1] [2]} La forma cualitativa de esta conexión se llama analogía óptico-mecánica de Hamilton .

En matemáticas, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extremal en generalizaciones de problemas del cálculo de variaciones . Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de la programación dinámica . ^[3]

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden.

para un sistema de partículas en coordenadas ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {q} }$ . La función es el hamiltoniano del sistema que da la energía del sistema. La solución de la ecuación es la función de acción , ⁠ ⁠ , ^[4] llamada función principal de Hamilton en libros de texto antiguos. La solución se puede relacionar con el lagrangiano del sistema mediante una integral indefinida de la forma utilizada en el principio de mínima acción : ^{[5] : 431} Las superficies geométricas de acción constante son perpendiculares a las trayectorias del sistema, lo que crea una vista similar a un frente de onda de la dinámica del sistema. Esta propiedad de la ecuación de Hamilton-Jacobi conecta la mecánica clásica con la mecánica cuántica. ^{[6] : 175}${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ $${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

Las variables en negrita como representan una lista de coordenadas generalizadas . ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

Un punto sobre una variable o lista indica la derivada temporal (véase la notación de Newton ). Por ejemplo, $${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de representar la suma de los productos de los componentes correspondientes, como $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

Sea invertible la matriz hessiana . La relación muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange forman un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Al invertir la matriz, este sistema se transforma en ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H_{\cal {L}}}$$${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

Sea fijo un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. Los teoremas de existencia y unicidad garantizan que, para cada problema de valor inicial con las condiciones y tiene una solución localmente única. Además, sea un intervalo de tiempo suficientemente pequeño tal que los extremos con diferentes velocidades iniciales no se intersequen en Esto último significa que, para cualquier y cualquier puede haber como máximo un extremo para el cual y Sustituyendo en la función de acción se obtiene la función principal de Hamilton (HPF) ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

dónde

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

Los momentos se definen como las cantidades. Esta sección muestra que la dependencia de desaparece una vez que se conoce el HPF. ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

En efecto, sea fijo un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. Para cada instante de tiempo y punto sea el extremal (único) de la definición de la función principal de Hamilton ⁠ ⁠ . Llamemos a la velocidad en ⁠ ⁠ . Entonces ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$${\displaystyle \tau =t}$

Dado el hamiltoniano de un sistema mecánico, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton , ^[7]${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

Alternativamente, como se describe a continuación, la ecuación de Hamilton-Jacobi puede derivarse de la mecánica hamiltoniana tratándola como la función generadora para una transformación canónica de la ecuación hamiltoniana clásica. ${\displaystyle S}$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas de con respecto a las coordenadas generalizadas ${\displaystyle S}$$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contiene constantes indeterminadas, la primera de ellas denotada como , y la última proveniente de la integración de . ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

La relación entre y describe entonces la órbita en el espacio de fases en términos de estas constantes de movimiento . Además, las cantidades también son constantes de movimiento, y estas ecuaciones se pueden invertir para encontrar como función de todas las constantes y y del tiempo. ^[8]${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial de primer orden para la función de las coordenadas generalizadas y el tiempo . Los momentos generalizados no aparecen, excepto como derivadas de , la acción clásica . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$

A modo de comparación, en las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange equivalentes de la mecánica lagrangiana , los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema de ecuaciones, generalmente de segundo orden, para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados . ${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

Dado que la HJE es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton , la HJE puede ser útil en otros problemas del cálculo de variaciones y, de manera más general, en otras ramas de las matemáticas y la física , como los sistemas dinámicos , la geometría simpléctica y el caos cuántico . Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi pueden usarse para determinar las geodésicas en una variedad de Riemann , un importante problema variacional en la geometría de Riemann . Sin embargo, como herramienta computacional, las ecuaciones diferenciales parciales son notoriamente complicadas de resolver excepto cuando es posible separar las variables independientes; en este caso, las HJE se vuelven computacionalmente útiles. ^{[5] : 444}

Cualquier transformación canónica que involucre una función generadora de tipo 2 conduce a que las relaciones y las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables y el nuevo hamiltoniano tienen la misma forma: ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}}$$${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$${\displaystyle K}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

Para derivar la HJE, se elige una función generadora de tal manera que, hará que el nuevo hamiltoniano . Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero, y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales, por lo que las nuevas coordenadas y momentos generalizados son constantes de movimiento . Como son constantes, en este contexto los nuevos momentos generalizados generalmente se denotan como , es decir, y las nuevas coordenadas generalizadas se denotan típicamente como , por lo que . ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$${\displaystyle K=0}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

Al establecer la función generadora igual a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria : la HJE surge automáticamente ${\displaystyle A}$$${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$$

Cuando se resuelven para , estos también nos dan las ecuaciones útiles o escritas en componentes para mayor claridad. ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales en función de las constantes y , resolviendo así el problema original. ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$${\displaystyle t}$

Cuando el problema permite la separación aditiva de variables , la HJE conduce directamente a constantes de movimiento . Por ejemplo, el tiempo t se puede separar si el hamiltoniano no depende del tiempo explícitamente. En ese caso, la derivada temporal en la HJE debe ser una constante, normalmente denotada ( ), dando la solución separada donde la función independiente del tiempo a veces se denomina acción abreviada o función característica de Hamilton ^{[5] : 434} y a veces ^{[9] : 607} escrita (ver nombres de principios de acción ). La ecuación reducida de Hamilton-Jacobi puede entonces escribirse ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$${\displaystyle -E}$$${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.}$$

Para ilustrar la separabilidad de otras variables, se supone que una determinada coordenada generalizada y su derivada aparecen juntas como una sola función en el hamiltoniano. ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

En ese caso, la función S se puede dividir en dos funciones, una que depende solo de q _k y otra que depende solo de las coordenadas generalizadas restantes. $${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (denotada aquí como ), lo que produce una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.}$$

En casos afortunados, la función se puede separar completamente en funciones${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$ $${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

En tal caso, el problema se reduce a ecuaciones diferenciales ordinarias . ${\displaystyle N}$

La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de las coordenadas generalizadas . Para coordenadas ortogonales y hamiltonianos que no tienen dependencia del tiempo y son cuadráticos en los momentos generalizados, serán completamente separables si la energía potencial es separable aditivamente en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de la coordenada en el término de momento correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel ). Para ilustrar, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales .${\displaystyle S}$

En coordenadas esféricas el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservativo U se puede escribir $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que existan funciones tales que puedan escribirse en la forma análoga ${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

La sustitución de la solución completamente separada en el HJE produce $${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

Esta ecuación puede resolverse mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación para donde es una constante del movimiento que elimina la dependencia de la ecuación de Hamilton-Jacobi ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }\right]=E.}$$

La siguiente ecuación diferencial ordinaria involucra la coordenada generalizada donde es nuevamente una constante del movimiento que elimina la dependencia y reduce la HJE a la ecuación diferencial ordinaria final cuya integración completa la solución para . ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }=\Gamma _{\theta }}$$${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$${\displaystyle S}$

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas elípticas se puede escribir donde los focos de las elipses se encuentran en el eje . La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tenga una forma análoga donde , y son funciones arbitrarias. La sustitución de la solución completamente separada en la HJE da como resultado $${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$${\displaystyle \pm a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$$

Al separar la primera ecuación diferencial ordinaria se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi reducida (después de la reorganización y multiplicación de ambos lados por el denominador), que a su vez puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para . $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$$${\displaystyle S}$

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede escribir $${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tenga una forma análoga donde , y son funciones arbitrarias. La sustitución de la solución completamente separada en la ecuación de Hamilton-Jacobi da como resultado ${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.}$$

Al separar la primera ecuación diferencial ordinaria se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi reducida (después de la reorganización y multiplicación de ambos lados por el denominador), que a su vez puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para . $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$$${\displaystyle S}$

La HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda . ^[10] Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como “rayos” o como ondas. El frente de onda puede definirse como la superficie que la luz emitida en el tiempo ha alcanzado en el tiempo . Los rayos de luz y los frentes de onda son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro. ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$${\textstyle t=0}$${\textstyle t}$

Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la “acción” es el tiempo de recorrido a lo largo de una trayectoria, donde es el índice de refracción del medio y es una longitud de arco infinitesimal. A partir de la formulación anterior, se pueden calcular las trayectorias de los rayos utilizando la formulación de Euler-Lagrange; alternativamente, se pueden calcular los frentes de onda resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi. Conocer una conduce a conocer la otra. ${\textstyle T}$$${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$${\textstyle n}$${\textstyle ds}$

La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que derivan de un principio variacional: o bien calcule las trayectorias utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange o bien los frentes de onda utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi.

El frente de onda en el instante , para un sistema inicialmente en el instante , se define como el conjunto de puntos tales que . Si se conoce , el momento se deduce inmediatamente.${\textstyle t}$${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$${\textstyle t_{0}}$${\textstyle \mathbf {q} }$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

Una vez que se conoce , se calculan las tangentes a las trayectorias resolviendo la ecuación para , donde es el lagrangiano. Las trayectorias se recuperan a partir del conocimiento de . ${\textstyle \mathbf {p} }$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$${\textstyle {\cal {L}}}$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

Las isosuperficies de la función se pueden determinar en cualquier instante t . El movimiento de una -isosuperficie en función del tiempo se define por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntos de la isosuperficie. El movimiento de dicha isosuperficie se puede considerar como una onda que se mueve a través del -espacio, aunque no obedece exactamente a la ecuación de onda . Para mostrar esto, sea S la fase de una onda donde es una constante (la constante de Planck ) introducida para hacer que el argumento exponencial sea adimensional; los cambios en la amplitud de la onda se pueden representar teniendo que es un número complejo . La ecuación de Hamilton-Jacobi se reescribe entonces como que es la ecuación de Schrödinger . ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Por el contrario, partiendo de la ecuación de Schrödinger y nuestro ansatz para , se puede deducir que ^[11]${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$$

El límite clásico ( ) de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntico a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi, ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

Utilizando la relación energía-momento en la forma ^[12] para una partícula de masa en reposo que viaja en el espacio curvo, donde son las coordenadas contravariantes del tensor métrico (es decir, la métrica inversa ) resuelta a partir de las ecuaciones de campo de Einstein , y es la velocidad de la luz . Al establecer el cuatro-momento igual al cuatro-gradiente de la acción , se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi en la geometría determinada por la métrica : en otras palabras, en un campo gravitacional . $${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$

Para una partícula de masa en reposo y carga eléctrica que se mueve en un campo electromagnético con cuatro potenciales en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métrico tiene una forma y se puede resolver para la función de acción principal de Hamilton para obtener una solución adicional para la trayectoria y el momento de la partícula: ^[13] donde y con el promedio del ciclo del potencial vectorial. ${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}$${\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}$$${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$$${\displaystyle S}$ $${\displaystyle x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle \xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x},\quad p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},}$$ $${\displaystyle p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$${\displaystyle \xi =ct-z}$${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$