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Polítopo de Hanner

En geometría , un politopo de Hanner es un politopo convexo construido recursivamente mediante el producto cartesiano y operaciones de dualidad polar . Los politopos de Hanner r...

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En geometría , un politopo de Hanner es un politopo convexo construido recursivamente mediante el producto cartesiano y operaciones de dualidad polar . Los politopos de Hanner reciben su nombre del matemático sueco Olof Hanner , quien los introdujo en 1956. [ 1 ]

Construcción

Los politopos de Hanner se construyen recursivamente mediante las siguientes reglas: [ 2 ]

  • Un segmento de línea es un politopo de Hanner unidimensional.
  • El producto cartesiano de cualquier par de politopos de Hanner es otro politopo de Hanner, cuya dimensión es la suma de las dimensiones de los dos politopos dados.
  • El dual de un politopo de Hanner es otro politopo de Hanner de la misma dimensión.

Son precisamente los politopos que se pueden construir utilizando únicamente estas reglas: es decir, todo politopo de Hanner se puede formar a partir de segmentos de línea mediante una secuencia de operaciones de producto y dual. [ 2 ]

Como alternativa y equivalente a la operación dual polar, los politopos de Hanner pueden construirse mediante productos cartesianos y sumas directas , la dual de los productos cartesianos. Esta operación de suma directa combina dos politopos ubicándolos en dos subespacios linealmente independientes de un espacio mayor y luego construyendo la envoltura convexa de su unión. [ 3 ] [ 4 ]

Ejemplos

El cubo tridimensional y su dual, el octaedro , los dos politopos de Hanner tridimensionales
Diagrama de Schlegel del prisma octaédrico

Un cubo es un politopo de Hanner y puede construirse como un producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su dual, el octaedro , también es un politopo de Hanner, la suma directa de tres segmentos de línea. En tres dimensiones, todos los politopos de Hanner son combinatoriamente equivalentes a uno de estos dos tipos de politopos. [ 5 ] En dimensiones superiores, los hipercubos y los politopos cruzados , análogos del cubo y el octaedro, son nuevamente politopos de Hanner. Sin embargo, son posibles más ejemplos. Por ejemplo, el prisma octaédrico , un prisma de cuatro dimensiones con un octaedro como base, también es un politopo de Hanner, al igual que su dual, la bipirámide cúbica .

Propiedades

Representación de coordenadas

A cada politopo de Hanner se le pueden dar coordenadas de vértice que son 0, 1 o −1 . [ 6 ] Más explícitamente, si P y Q son politopos de Hanner con coordenadas de esta forma, entonces las coordenadas de los vértices del producto cartesiano de P y Q se forman concatenando las coordenadas de un vértice en P con las coordenadas de un vértice en Q . Las coordenadas de los vértices de la suma directa de P y Q se forman concatenando las coordenadas de un vértice en P con un vector de ceros, o concatenando un vector de ceros con las coordenadas de un vértice en Q .

Debido a que el dual polar de un politopo de Hanner es otro politopo de Hanner, los politopos de Hanner tienen la propiedad de que tanto ellos como sus duales tienen coordenadas en {0,1, − 1} . [ 6 ]

Número de caras

Todo politopo de Hanner es simétrico centralmente y tiene exactamente 3d caras no vacías (incluyendo el propio politopo como cara, pero sin incluir el conjunto vacío ). Por ejemplo, el cubo tiene 8 vértices, 12 aristas, 6 cuadrados y 1 cubo (él mismo) como caras; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3³ . Los politopos de Hanner forman una clase importante de ejemplos para la conjetura tridimensional de Kalai de que todos los politopos simétricos centralmente tienen al menos 3d caras no vacías. [ 3 ]

Pares de facetas y vértices opuestos

En un politopo de Hanner, cada dos caras opuestas son disjuntas y, en conjunto, incluyen todos los vértices del politopo, de modo que la envoltura convexa de las dos caras es el politopo completo. [ 6 ] [ 7 ] Como consecuencia simple de este hecho, todas las caras de un politopo de Hanner tienen el mismo número de vértices (la mitad del número de vértices del politopo completo). Sin embargo, las caras pueden no ser isomorfas entre sí. Por ejemplo, en el prisma octaédrico , dos de las caras son octaedros y las otras ocho son prismas triangulares . De manera dual, en todo politopo de Hanner, cada dos vértices opuestos tocan conjuntos disjuntos de caras y, en conjunto, tocan todas las caras del politopo.

Volumen de Mahler

El volumen de Mahler de un politopo de Hanner (el producto de su volumen y el volumen de su dual polar) es el mismo que el de un cubo o un politopo en cruz. Si la conjetura de Mahler es cierta, estos politopos son los minimizadores del volumen de Mahler entre todos los cuerpos convexos con simetría central . [ 8 ]

Propiedad Helly

Las traslaciones de un hipercubo (o de una transformación afín del mismo, un paralelepípedo ) forman una familia de Helly : todo conjunto de traslaciones que tienen intersecciones por pares no vacías tiene una intersección no vacía. Además, estos son los únicos cuerpos convexos con esta propiedad. [ 9 ] Para cualquier otro politopo convexo con simetría central K , Hanner (1956) definió I ( K ) como el número más pequeño de traslaciones de K que no forman una familia de Helly (se intersecan por pares pero tienen una intersección vacía). Demostró que I ( K ) es tres o cuatro, y dio los politopos de Hanner como ejemplos de politopos para los cuales es cuatro. Hansen y Lima (1981) demostraron posteriormente que esta propiedad puede usarse para caracterizar los politopos de Hanner: son (salvo transformación afín) exactamente los politopos para los cuales I ( K ) > 3 . [ 10 ]

enumeración combinatoria

El número de tipos combinatorios de politopos de Hanner de dimensión d es el mismo que el número de grafos simples serie-paralelo con d aristas sin etiquetar. [ 4 ] Para d = 1, 2, 3, ... es:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ... (secuencia A058387 en el OEIS ) .

Reisner (1991) proporciona una biyección más explícita entre los politopos de Hanner de dimensión d y los cografos con d vértices . Para esta biyección, se supone que los politopos de Hanner se representan geométricamente utilizando coordenadas en {0,1, − 1} en lugar de como clases de equivalencia combinatorias; en particular, existen dos formas geométricas diferentes de un politopo de Hanner incluso en dos dimensiones: el cuadrado con coordenadas de vértice (±1,±1) y el diamante con coordenadas de vértice (0,±1) y (±1,0) . Dado un politopo de dimensión d con coordenadas de vértice en {0,1, − 1} , Reisner define un grafo asociado cuyos d vértices corresponden a los vectores unitarios del espacio que contiene el politopo, y para el cual dos vectores están conectados por una arista si su suma se encuentra fuera del politopo. Observa que los grafos de los politopos de Hanner son cografos, que caracteriza de dos maneras: los grafos sin camino inducido de longitud tres, y los grafos cuyos subgrafos inducidos son todos disconexos o complementos de grafos disconexos. A la inversa, todo cografo puede representarse de esta manera mediante un politopo de Hanner. [ 6 ]

Espacios Hanner

Los politopos de Hanner son las bolas unitarias de una familia de espacios de Banach de dimensión finita llamados espacios de Hanner . [ 7 ] Los espacios de Hanner son los espacios que se pueden construir a partir de espacios unidimensionales medianteℓ1{\displaystyle \ell _{1}}yℓ∞{\displaystyle \ell _{\infty }}combinaciones. [ 1 ]

Referencias

  1. 1 2 Hanner, Olof (1956), "Intersecciones de traslaciones de cuerpos convexos", Mathematica Scandinavica , 4 : 65–87 , doi : 10.7146/math.scand.a-10456 , MR 0082696 .
  2. 1 2 Freij, Ragnar (2012), Temas en combinatoria algorítmica, enumerativa y geométrica (PDF) , tesis doctoral, Departamento de Ciencias Matemáticas, Instituto Tecnológico Chalmers.
  3. 1 2 Kalai, Gil (1989), "El número de caras de politopos centralmente simétricos", Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389– 391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 .
  4. 1 2 Sanyal, Raman; Werner, Axel; Ziegler, Günter M. (2009), "Sobre las conjeturas de Kalai relativas a los politopos con simetría central", Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183– 198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR 2471868 /
  5. ↑ Kozachok, Marina (2012), "Prismatoides perfectos y la conjetura sobre el número de caras de politopos con simetría central", Conferencia Internacional de Yaroslavl "Geometría Discreta" dedicada al centenario de AD Alexandrov (Yaroslavl, 13-18 de agosto de 2012) (PDF) , Universidad Estatal de Yaroslavl PG Demidov, Laboratorio Internacional BN Delaunay, pp. 46–49 
  6. 1 2 3 4 Reisner, S. (1991), "Ciertos espacios de Banach asociados con grafos y espacios CL con bases 1-incondicionales", Journal of the London Mathematical Society , Segunda Serie, 43 (1): 137– 148, doi : 10.1112/jlms/s2-43.1.137 , MR 1099093 .
  7. 1 2 Martini, H.; Swanepoel, KJ; de Wet, P. Oloff (2009), "Ángulos absorbentes, árboles mínimos de Steiner y antipodalidad", Journal of Optimization Theory and Applications , 143 (1): 149– 157, arXiv : 1108.5046 , doi : 10.1007/s10957-009-9552-1 , MR 2545946 .
  8. ↑ Kim, Jaegil (2014), "Producto de volumen mínimo cerca de politopos de Hanner", Journal of Functional Analysis , 266 (4): 2360–2402 , arXiv : 1212.2544 , doi : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 , MR 3150164 .
  9. ^ Sz.-Nagy, Béla (1954), "Ein Satz über Parallelverschiebungen konvexer Körper" , Acta Universitatis Szegediensis , 15 : 169–177 , MR 0065942 , archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , consultado el 19 de mayo de 2013 .
  10. ↑ Hansen, Allan B.; Lima, Ȧsvald (1981), "La estructura de los espacios de Banach de dimensión finita con la propiedad de intersección 3.2", Acta Mathematica , 146 ( 1–2 ): 1–23 , doi : 10.1007/BF02392457 , MR 0594626 .