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Articulo de referencia

Operador de Dirac

En matemáticas y en mecánica cuántica , un operador de Dirac es un operador diferencial de primer orden que es una raíz cuadrada formal, o semi-iteración , de un operador difere...

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En matemáticas y en mecánica cuántica , un operador de Dirac es un operador diferencial de primer orden que es una raíz cuadrada formal, o semi-iteración , de un operador diferencial de segundo orden como un laplaciano . Fue introducido en 1847 por William Hamilton [ 1 ] y en 1928 por Paul Dirac . [ 2 ] La cuestión que preocupaba a Dirac era factorizar formalmente el operador de Laplace del espacio de Minkowski , para obtener una ecuación para la función de onda que fuera compatible con la relatividad especial .

Definición formal

En general, dejemosD{\displaystyle D}Sea un operador diferencial de primer orden que actúa sobre un fibrado vectorial.V{\displaystyle V}sobre una variedad riemannianaMETRO{\displaystyle M}. SiD2=Δ,{\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,} dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el laplaciano (positivo o geométrico) deV{\displaystyle V}, entoncesD{\displaystyle D}Se denomina operador de Dirac .

Cabe señalar que existen dos convenciones diferentes sobre cómo se define el operador de Laplace:

  • el laplaciano "analítico", que podría caracterizarse enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}comoΔ=∇2=∑j=1norte(∂∂incógnitaj)2,{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}{,}}que es definida negativa , en el sentido de que∫Rnorteφ(incógnita)¯Δφ(incógnita)dincógnita=−∫Rnorte|∇φ(incógnita)|2dincógnita<0{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {\varphi (x)}}\Delta \varphi (x)\,dx=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \varphi (x)|^{2}\,dx<0}para cualquier función suave y compactamente soportadaφ(incógnita){\displaystyle \varphi (x)}que no es idénticamente cero, y
  • el laplaciano "geométrico" definido positivo definido porΔ=−∇2=−∑j=1norte(∂∂incógnitaj)2.{\displaystyle \Delta =-\nabla ^{2}=-\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}{.}}

Historia

WR Hamilton definió "la raíz cuadrada del laplaciano" en 1847 [ 1 ] en su serie de artículos sobre cuaterniones :

<...> si introducimos una nueva característica de funcionamiento,◃{\displaystyle \triangleleft }, definido en relación con estos tres símbolos ijk,{\displaystyle ijk,}y a la conocida operación de diferenciación parcial, realizada con respecto a tres variables independientes pero reales.incógnitayz,{\displaystyle xyz,}como sigue: ◃=iddincógnita+jddy+kddz;{\displaystyle \triangleleft ={\frac {i\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {j\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\frac {k\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}};}esta nueva característica◃{\displaystyle \triangleleft }tendrá el negativo de su cuadrado simbólico expresado por la siguiente fórmula  : −◃2=(ddincógnita)2+(ddy)2+(ddz)2;{\displaystyle -\triangleleft ^{2}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{2};} De lo cual resulta evidente que las aplicaciones a la física analítica deben ser extensas y de alto grado.

Ejemplos

Ejemplo 1

D=−i∂incógnita{\displaystyle D=-i\partial _{x}}es un operador de Dirac en el fibrado tangente sobre una línea.

Ejemplo 2

Consideremos un haz simple de notable importancia en física: el espacio de configuración de una partícula con espín – 1/2 confinada a un plano, que también es la variedad base. Está representado por una función de onda .ψ:R2→do2{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}}

ψ(incógnita,y)=[χ(incógnita,y)η(incógnita,y)]{\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}

dóndeincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}son las funciones de coordenadas habituales enR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.χ{\displaystyle \chi }especifica la amplitud de probabilidad de que la partícula esté en el estado de espín hacia arriba, y de manera similar paraη{\displaystyle \eta }El llamado operador spin-Dirac se puede escribir entonces

D=−iσincógnita∂incógnita−iσy∂y,{\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}

dóndeσi{\displaystyle \sigma _{i}}son las matrices de Pauli . Nótese que las relaciones de anticonmutación para las matrices de Pauli hacen trivial la demostración de la propiedad definitoria anterior. Dichas relaciones definen la noción de álgebra de Clifford .

Las soluciones a la ecuación de Dirac para campos espinoriales se denominan a menudo espinores armónicos . [ 3 ]

Ejemplo 3

El operador de Dirac de Feynman describe la propagación de un fermión libre en tres dimensiones y está elegantemente escrito.

D=γμ∂μ ≡∂/,{\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}

utilizando la notación de barra de Feynman . En los libros de texto introductorios a la teoría cuántica de campos , esto aparecerá en la forma

D=doα→⋅(−iℏ∇incógnita)+metrodo2β{\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }

dóndeα→=(α1,α2,α3){\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}son las matrices de Dirac fuera de la diagonalαi=βγi{\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}, conβ=γ0{\displaystyle \beta =\gamma _{0}}y las constantes restantes sondo{\displaystyle c}la velocidad de la luz ,ℏ{\displaystyle \hbar }siendo la constante de Planck ymetro{\displaystyle m}la masa de un fermión (por ejemplo, un electrón ). Actúa sobre una función de onda de cuatro componentes.ψ(incógnita)∈L2(R3,do4){\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}, el espacio de Sobolev de funciones suaves e integrables al cuadrado. Se puede extender a un operador autoadjunto en ese dominio. El cuadrado, en este caso, no es el laplaciano, sinoD2=Δ+metro2{\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}(después de configurar)ℏ=do=1.{\displaystyle \hbar =c=1.})

Ejemplo 4

Otro operador de Dirac surge en el análisis de Clifford . En euclidianonorte{\displaystyle n}-espacio esto es

D=∑j=1nortemij∂∂incógnitaj{\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}

dónde{mij}j=1norte{\displaystyle \{e_{j}\}_{j=1}^{n}}es una base ortonormal para euclidianonorte{\displaystyle n}-espacio yRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}se considera que está incrustado en un álgebra de Clifford .

Este es un caso especial del operador de Atiyah-Singer-Dirac que actúa sobre secciones de un fibrado espinorial .

Ejemplo 5

Para una variedad de espín M , el operador de Atiyah-Singer-Dirac se define localmente de la siguiente manera: Para x ∈ M y e 1 ( x ), ..., e j ( x ) una base ortonormal local para el espacio tangente de M en x , el operador de Atiyah-Singer-Dirac es

D=∑j=1nortemij(incógnita)Γ~mij(incógnita),{\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}

dóndeΓ~{\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}es la conexión de espín , un levantamiento de la conexión de Levi-Civita en M al fibrado espinorial sobre M. El cuadrado en este caso no es el laplaciano, sino queD2=Δ+R/4{\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}dóndeR{\displaystyle R}es la curvatura escalar de la conexión. [ 4 ]

Ejemplo 6

En una variedad riemanniana(METRO,gramo){\displaystyle (M,g)}de dimensiónnorte=oscuro⁡(METRO){\displaystyle n=\dim(M)}con conexión Levi-Civita∇{\displaystyle \nabla }y una base ortonormal{mia}a=1norte,{\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}{,}}Podemos definir la derivada exterior.d{\displaystyle d}y coderivadaδ{\displaystyle \delta }como

d=mia∧∇mia,δ=mia⌟∇mia{\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}.

Entonces podemos definir un operador de Dirac-Kähler [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]D{\displaystyle D}, como sigue

D=mia∇mia=d−δ{\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }.

El operador actúa sobre secciones del fibrado de Clifford en general, y puede restringirse al fibrado espinorial, un ideal del fibrado de Clifford, solo si el operador de proyección sobre el ideal es paralelo. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Generalizaciones

En el análisis de Clifford, el operador D  : C ∞ ( R k ⊗ R n , S ) → C ∞ ( R k ⊗ R n , C k ⊗ S ) que actúa sobre funciones con valores espinoriales definidas por

F(incógnita1,…,incógnitak)↦(∂incógnita1_F∂incógnita2_F…∂incógnitak_F){\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}

a veces se le llama operador de Dirac en k variables de Clifford. En la notación, S es el espacio de espinores,incógnitai=(incógnitai1,incógnitai2,…,incógnitainorte){\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}son variables n -dimensionales y∂incógnitai_=∑jmij⋅∂incógnitaij{\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}es el operador de Dirac en la i -ésima variable. Esta es una generalización común del operador de Dirac ( k = 1 ) y del operador de Dolbeault ( n = 2 , k arbitrario). Es un operador diferencial invariante , invariante bajo la acción del grupo SL( k ) × Spin( n ) . La resolución de D se conoce solo en algunos casos especiales.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Hamilton, William Rowan (1847). "Sobre cuaterniones; o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . xxxi (208): 278– 283. doi : 10.1080/14786444708562643 .
  2. ↑ Dirac, PAM (1928). "La teoría cuántica del electrón" . Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 117 (778): 610−624. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .
  3. ↑ "Estructura espinorial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
  4. ↑ Jurgen Jost, (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª edición)", Springer. Véase la sección 3.4, páginas 142 y siguientes.
  5. ^ Graf , Wolfgang (1978). "Formas diferenciales como espinores" . Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 (1): 85–109 . ISSN 2400-4863 . 
  6. 1 2 Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física . A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6.
  7. 1 2 Kycia, Radosław Antoni (2022-07-29). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales y anticoexactas, y aplicaciones a la física" . Results in Mathematics . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1420-9012 . S2CID 221802588 .  
  • Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1
  • Colombo, F., I.; Sabadini, I. (2004), Análisis de sistemas de Dirac y álgebra computacional , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5