Teorema de la curva de Harnack

La curva elíptica (grado suave 3) de la izquierda es una curva M, ya que tiene el máximo de (2) componentes, mientras que la curva de la derecha solo tiene 1 componente.

En geometría algebraica real , el teorema de la curva de Harnack , llamado así por Axel Harnack , proporciona el número posible de componentes conexos que puede tener una curva algebraica , en términos del grado de la curva. Para cualquier curva algebraica de grado $m en el$ plano proyectivo real , el número de componentes $c$ está limitado por

{\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leq c\leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\

El número máximo es uno más que el género máximo de una curva de grado $m$ , que se obtiene cuando la curva no es singular . Además, se puede obtener cualquier número de componentes en este rango de valores posibles.

Una curva que alcanza el número máximo de componentes reales se denomina curva M (de "máximo"); por ejemplo, una curva elíptica con dos componentes, como la curva de Trott , una curva cuártica con cuatro componentes, son ejemplos de curvas M. $y^{2}=x^{3}-x,$

Este teorema formó la base del decimosexto problema de Hilbert .

En un desarrollo reciente se muestra que una curva de Harnack es una curva cuya ameba tiene un área igual al polígono de Newton del polinomio $P$ , que se llama curva característica de los modelos dímeros , y cada curva de Harnack es la curva espectral de algún modelo dímero. (Mikhalkin 2001) (Kenyon, Okounkov y Sheffield (2006))

Referencias

Dmitrii Andreevich Gudkov , Topología de variedades algebraicas proyectivas reales , Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974), 3–79 (ruso), traducción al inglés, Russian Math. Surveys 29:4 (1974), 1–79
Carl Gustav Axel Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Math. Ana. 10 (1876), 189-199
George Wilson, El decimosexto problema de Hilbert , Topología 17 (1978), 53–74
Kenyon, Richard ; Okounkov, Andrei ; Sheffield, Scott (2006). "Dímeros y amebas". Anales de Matemáticas . 163 (3): 1019–1056. arXiv : math-ph/0311005 . doi :10.4007/annals.2006.163.1019. MR 2215138. S2CID 119724053.
Mikhalkin, Grigory (2001), Amebas de variedades algebraicas , arXiv : math/0108225 , MR 2102998