Principio de Harnack

En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , el principio de Harnack o teorema de Harnack es un corolario de la desigualdad de Harnack que trata sobre la convergencia de secuencias de funciones armónicas .

Dada una secuencia de funciones armónicas u ₁ , u ₂ , ... en un subconjunto abierto y conexo G del espacio euclidiano R ⁿ , que son puntualmente monótonamente no decrecientes en el sentido de que

${\displaystyle u_{1}(x)\leq u_{2}(x)\leq \dots }$

para cada punto x de G , entonces el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(x)}$

Existe automáticamente en la recta real extendida para cada x . El teorema de Harnack establece que el límite es infinito en cada punto de G o finito en cada punto de G. En este último caso, la convergencia es ^uniforme en conjuntos compactos y el límite es una función armónica en G. ^{[ 1} ]

El teorema es un corolario de la desigualdad de Harnack. Si u _n ( y ) es una sucesión de Cauchy para cualquier valor particular de y , entonces la desigualdad de Harnack aplicada a la función armónica u _m − u _n implica, para un conjunto compacto arbitrario D que contiene a y , que sup _D | u _m − u _n | es arbitrariamente pequeño para m y n suficientemente grandes . Esta es precisamente la definición de convergencia uniforme en conjuntos compactos. En otras palabras, la desigualdad de Harnack es una herramienta que propaga directamente la propiedad de Cauchy de una sucesión de funciones armónicas en un punto a la propiedad de Cauchy en todos los puntos.

Habiendo establecido la convergencia uniforme en conjuntos compactos, la harmonicidad del límite es un corolario inmediato del hecho de que la propiedad del valor medio (que se conserva automáticamente por la convergencia uniforme) caracteriza completamente las funciones armónicas entre las funciones continuas. ^{[ 2 ]}

La demostración de convergencia uniforme en conjuntos compactos es igualmente válida para cualquier ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden , siempre que sea lineal de modo que u _m − u _n resuelva la misma ecuación. La única diferencia radica en que debe utilizarse la desigualdad de Harnack, más general, válida para soluciones de EDP elípticas de segundo orden, en lugar de la que se aplica únicamente a funciones armónicas. Una vez establecida la convergencia uniforme en conjuntos compactos, la propiedad del valor medio no está disponible en este contexto más general, por lo que la demostración de convergencia a una nueva solución debe recurrir a otras herramientas, como las estimaciones de Schauder .

Fuentes

• Courant, R.; Hilbert , D. (1962). Métodos de física matemática. Volumen II: Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York-Londres: Interscience Publishers . doi : 10.1002/9783527617234 . ISBN 9780471504399. SEÑOR 0140802 . Zbl 0099.29504 .  {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Clásicos en Matemáticas (Reimpresión de la  edición de 1998). Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61798-0 . ISBN 3-540-41160-7. SEÑOR 1814364 . Zbl 1042.35002 .  
• Protter, Murray H.; Weinberger , Hans F. (1984). Principios del máximo en ecuaciones diferenciales (Reimpresión corregida de la  edición original de 1967). Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4612-5282-5 . ISBN 0-387-96068-6. SEÑOR 0762825 . Zbl 0549.35002 .  

• Kamynin, LI (2001) [1994], "Teorema de Harnack" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press