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descomposición de Helmholtz

En física y matemáticas , el teorema de descomposición de Helmholtz o teorema fundamental del cálculo vectorial [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] establece que ciertos c...

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En física y matemáticas , el teorema de descomposición de Helmholtz o teorema fundamental del cálculo vectorial [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] establece que ciertos campos vectoriales diferenciables pueden resolverse en la suma de un campo vectorial irrotacional ( sin rotacional ) y un campo vectorial solenoidal ( sin divergencia ). En física , a menudo solo se discute la descomposición de campos vectoriales suficientemente suaves y de decaimiento rápido en tres dimensiones. Recibe su nombre de Hermann von Helmholtz .

Definición

Para un campo vectorialF∈do1(V,Rnorte){\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}definido en un dominioV⊆Rnorte{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, una descomposición de Helmholtz es un par de campos vectorialesGRAMO∈do1(V,Rnorte){\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}yR∈do1(V,Rnorte){\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}de tal manera que: F(r)=GRAMO(r)+R(r),GRAMO(r)=−∇Φ(r),∇⋅R(r)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}} Aquí,Φ∈do2(V,R){\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}es un potencial escalar ,∇Φ{\displaystyle \nabla \Phi }es su gradiente y∇⋅R{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }es la divergencia del campo vectorialR{\displaystyle \mathbf {R} }El campo vectorial irrotacionalGRAMO{\displaystyle \mathbf {G} }se denomina campo de gradiente yR{\displaystyle \mathbf {R} }Se denomina campo solenoidal o campo de rotación . Esta descomposición puede calcularse para campos vectoriales que satisfacen ciertas condiciones de regularidad o decaimiento. [ 8 ] Existe una descomposición para todos los campos vectoriales, independientemente de su comportamiento en el infinito, pero no es única. Su existencia se deduce de la sobreyectividad del operador de Laplace . La sobreyectividad de los operadores elípticos fue demostrada por Lars Hörmander en su trabajo sobre operadores diferenciales parciales. [ 9 ]

Historia

La descomposición de Helmholtz en tres dimensiones fue descrita por primera vez en 1849 [ 10 ] por George Gabriel Stokes para una teoría de la difracción . Hermann von Helmholtz publicó su artículo sobre algunas ecuaciones básicas hidrodinámicas en 1858, [ 11 ] [ 12 ] que formaba parte de su investigación sobre los teoremas de Helmholtz que describen el movimiento de fluidos en las proximidades de líneas de vórtice. [ 12 ] Su derivación requería que los campos vectoriales decayeran suficientemente rápido en el infinito. Posteriormente, esta condición pudo relajarse y la descomposición de Helmholtz pudo extenderse a dimensiones superiores. [ 8 ] [ 13 ] [ 14 ] Para variedades riemannianas , se derivó la descomposición de Helmholtz-Hodge utilizando geometría diferencial y cálculo tensorial . [ 8 ] [ 12 ] [ 15 ] [ 16 ]

La descomposición se ha convertido en una herramienta importante para muchos problemas en física teórica , [ 12 ] [ 15 ] pero también ha encontrado aplicaciones en animación , visión por computadora y robótica . [ 16 ]

espacio tridimensional

En física, el término teorema de Helmholtz se utiliza a veces para describir un caso especial del teorema de descomposición de Helmholtz para 3 dimensiones. [ 17 ] Entonces, un potencial vectorialA{\displaystyle A}se puede definir, de modo que el campo de rotación viene dado porR=∇×A{\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }, utilizando el rotacional de un campo vectorial. [ 18 ]

DejarF{\displaystyle \mathbf {F} }sea ​​un campo vectorial en un dominio acotado.V⊆R3{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}, que es dos veces continuamente diferenciable dentroV{\displaystyle V}y dejarS{\displaystyle S}sea ​​la superficie que encierra el dominioV{\displaystyle V}con superficie exterior normalnorte^′{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}. EntoncesF{\displaystyle \mathbf {F} }se puede descomponer en un componente sin rotacional y un componente sin divergencia de la siguiente manera: [ 19 ]

F=−∇Φ+∇×A,{\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,} dónde Φ(r)=14π∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′⋅F(r′)|r−r′|dS′A(r)=14π∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′×F(r′)|r−r′|dS′{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}

y∇′{\displaystyle \nabla '}es el operador nabla con respecto ar′{\displaystyle \mathbf {r'} }, nor{\displaystyle \mathbf {r} }.

SiV=R3{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}y por lo tanto es ilimitado, yF{\displaystyle \mathbf {F} }desaparece más rápido que1/r{\displaystyle 1/r}comor→∞{\displaystyle r\to \infty }, entonces uno tiene [ 20 ]

Φ(r)=14π∫R3∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′A(r)=14π∫R3∇′×F(r′)|r−r′|dV′{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}} Esto es particularmente cierto siF{\displaystyle \mathbf {F} }es dos veces continuamente diferenciable enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}y de soporte limitado.

Derivación

Prueba

Supongamos que tenemos una función vectorial.F(r){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}del cual conocemos el rizo,∇×F{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }y la divergencia,∇⋅F{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }, en el dominio y los campos en el límite. Escribiendo la función usando la función delta en la forma δ3(r−r′)=−14π∇21|r−r′|,{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,} dónde∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}es el operador laplaciano , tenemos

F(r)=∫VF(r′)δ3(r−r′)dV′=∫VF(r′)(−14π∇21|r−r′|)dV′{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\end{aligned}}}

Ahora, cambiando el significado de∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}al operador laplaciano vectorial (tenemos derecho a hacerlo porque este laplaciano es con respecto ar{\displaystyle \mathbf {r} }Por lo tanto, ve el campo vectorialF(r′){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}como constante), podemos movernosF(r′){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}a la derecha de la∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}operador.

F(r)=∫V−14π∇2F(r′)|r−r′|dV′=−14π∇2∫VF(r′)|r−r′|dV′=−14π[∇(∇⋅∫VF(r′)|r−r′|dV′)−∇×(∇×∫VF(r′)|r−r′|dV′)]=−14π[∇(∫VF(r′)⋅∇1|r−r′|dV′)+∇×(∫VF(r′)×∇1|r−r′|dV′)]=−14π[−∇(∫VF(r′)⋅∇′1|r−r′|dV′)−∇×(∫VF(r′)×∇′1|r−r′|dV′)]{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}

donde hemos utilizado la identidad laplaciana vectorial: ∇2a=∇(∇⋅a)−∇×(∇×a) ,{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}

diferenciación/integración con respecto ar′{\displaystyle \mathbf {r} '}por∇′/dV′,{\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}y en la última línea, linealidad de los argumentos de la función: ∇1|r−r′|=−∇′1|r−r′| .{\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}

(Pero la transformación

∫V−14π∇2F(r′)|r−r′|dV′=−14π∇2∫VF(r′)|r−r′|dV′{\displaystyle \int _{V}-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'} no es matemáticamente correcto ya que la última integral diverge como ln R cuando R tiende a infinito. Esta divergencia de la integral es significativa para los campos electromagnéticos. mi∼1/R2{\displaystyle \mathbf {E} \sim 1/R^{2}}- estos campos de zona cercana. (No, lo anterior no es generalmente cierto, considérese la integral triple ∫01∫01∫011incógnita2+y2+z2dincógnitadydz=1.19004{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}dxdydz=1.19004}, parece que diverge pero converge. Si el campo vectorial es dos veces diferenciable, por lo tanto continuo con primeras derivadas parciales continuas, todas las integrales en esta demostración convergen)) Entonces usando las identidades vectoriales

a⋅∇ψ=−ψ(∇⋅a)+∇⋅(ψa)a×∇ψ=ψ(∇×a)−∇×(ψa){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}

obtenemos F(r)=−14π[−∇(−∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′+∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′)−∇×(∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′−∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′)].{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}

Gracias al teorema de la divergencia, la ecuación se puede reescribir como

F(r)=−14π[−∇(−∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′+∮Snorte^′⋅F(r′)|r−r′|dS′)−∇×(∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′−∮Snorte^′×F(r′)|r−r′|dS′)]=−∇[14π∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′⋅F(r′)|r−r′|dS′]+∇×[14π∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′×F(r′)|r−r′|dS′]{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}

con superficie exterior normalnorte^′{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}.

Definición

Φ(r)≡14π∫V∇′⋅F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′⋅F(r′)|r−r′|dS′{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}A(r)≡14π∫V∇′×F(r′)|r−r′|dV′−14π∮Snorte^′×F(r′)|r−r′|dS′{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}

finalmente lo conseguimos F=−∇Φ+∇×A.{\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}

Espacio de soluciones

Si(Φ1,A1){\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}es una descomposición de Helmholtz deF{\displaystyle \mathbf {F} }, entonces (Φ2,A2){\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}es otra descomposición si, y solo si,

Φ1−Φ2=λ{\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }yA1−A2=Aλ+∇φ,{\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}
dónde
  • λ{\displaystyle \lambda }es un campo escalar armónico ,
  • Aλ{\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}es un campo vectorial que cumple∇×Aλ=∇λ,{\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}
  • φ{\displaystyle \varphi }es un campo escalar.

Prueba: Conjuntoλ=Φ2−Φ1{\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}yB=A2−A1{\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}Según la definición de la descomposición de Helmholtz, la condición es equivalente a

−∇λ+∇×B=0{\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}.

Tomando la divergencia de cada miembro de esta ecuación se obtiene ∇2λ=0{\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}, por esoλ{\displaystyle \lambda }es armónico.

Por el contrario, dada cualquier función armónicaλ{\displaystyle \lambda }, ∇λ{\displaystyle \nabla \lambda }es solenoidal ya que

∇⋅(∇λ)=∇2λ=0.{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}

Por lo tanto, según la sección anterior, existe un campo vectorial.Aλ{\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}de tal manera que ∇λ=∇×Aλ{\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}.

SiA′λ{\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}es otro campo vectorial de este tipo, entoncesdo=Aλ−A′λ{\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }} cumple∇×do=0{\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}, por esodo=∇φ{\displaystyle C=\nabla \varphi } para algún campo escalarφ{\displaystyle \varphi }.

Campos con divergencia y curvatura prescritas.

El término "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente. Sea C un campo vectorial solenoidal y d un campo escalar en R³ que son suficientemente suaves y que se anulan más rápido que 1/ r² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

∇⋅F=d y ∇×F=do;{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}

Si además el campo vectorial F se anula cuando r → ∞ , entonces F es único. [ 20 ]

En otras palabras, un campo vectorial puede construirse con una divergencia y un rotacional específicos, y si además se anula en el infinito, queda especificado de forma única por su divergencia y rotacional. Este teorema es de gran importancia en electrostática , ya que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son precisamente de este tipo. [ 20 ] La demostración se realiza mediante una construcción que generaliza la anterior: establecemos

F=∇(GRAMO(d))−∇×(GRAMO(do)),{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}

dóndeGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}representa el operador potencial newtoniano . (Cuando actúa sobre un campo vectorial, como ∇ × F , se define que actúa sobre cada componente).

Formulación débil

La descomposición de Helmholtz se puede generalizar reduciendo las suposiciones de regularidad (la necesidad de la existencia de derivadas fuertes). Supongamos que Ω es un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conexo . Todo campo vectorial de cuadrado integrable u ∈ ( L 2 (Ω)) 3 tiene una descomposición ortogonal : [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]

tú=∇φ+∇×A{\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }

donde φ está en el espacio de Sobolev H 1 (Ω) de funciones de cuadrado integrable en Ω cuyas derivadas parciales definidas en el sentido de distribución son de cuadrado integrable, y A ∈ H (curl, Ω) , el espacio de Sobolev de campos vectoriales que consisten en campos vectoriales de cuadrado integrable con rotacional de cuadrado integrable.

Para un campo vectorial ligeramente más suave u ∈ H (curl, Ω) , se cumple una descomposición similar:

tú=∇φ+v{\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }

donde φ ∈ H 1 (Ω), v ∈ ( H 1 (Ω)) d .

Derivación a partir de la transformada de Fourier

Nótese que en el teorema aquí enunciado, hemos impuesto la condición de que siF{\displaystyle \mathbf {F} }no está definido en un dominio acotado, entoncesF{\displaystyle \mathbf {F} }se descompondrá más rápido que1/r{\displaystyle 1/r}. Por lo tanto, la transformada de Fourier deF{\displaystyle \mathbf {F} }, denotado comoGRAMO{\displaystyle \mathbf {G} }, se garantiza su existencia. Aplicamos la convención F(r)=∭GRAMO(k)miik⋅rdVk{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}

La transformada de Fourier de un campo escalar es un campo escalar, y la transformada de Fourier de un campo vectorial es un campo vectorial de la misma dimensión.

Ahora consideremos los siguientes campos escalares y vectoriales: GRAMOΦ(k)=ik⋅GRAMO(k)‖k‖2GRAMOA(k)=ik×GRAMO(k)‖k‖2Φ(r)=∭GRAMOΦ(k)miik⋅rdVkA(r)=∭GRAMOA(k)miik⋅rdVk{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}

Por eso

GRAMO(k)=−ikGRAMOΦ(k)+ik×GRAMOA(k)F(r)=−∭ikGRAMOΦ(k)miik⋅rdVk+∭ik×GRAMOA(k)miik⋅rdVk=−∇Φ(r)+∇×A(r){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}

Campos longitudinales y transversales

En física, se suele utilizar una terminología que denomina componente longitudinal a la componente sin rotacional de un campo vectorial y componente transversal a la componente sin divergencia . [ 24 ] Esta terminología proviene de la siguiente construcción: Calcular la transformada de Fourier tridimensional.F^{\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}del campo vectorialF{\displaystyle \mathbf {F} }Luego, descomponemos este campo, en cada punto k , en dos componentes, una de las cuales apunta longitudinalmente, es decir, paralela a k , y la otra apunta en la dirección transversal, es decir, perpendicular a k . Hasta ahora, tenemos

F^(k)=F^t(k)+F^l(k){\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}k⋅F^t(k)=0.{\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}k×F^l(k)=0.{\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}

Ahora aplicamos una transformada inversa de Fourier a cada uno de estos componentes. Utilizando las propiedades de las transformadas de Fourier, obtenemos:

F(r)=Ft(r)+Fl(r){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}∇⋅Ft(r)=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}∇×Fl(r)=0{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }

Desde∇×(∇Φ)=0{\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}y∇⋅(∇×A)=0{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0},

podemos obtener

Ft=∇×A=14π∇×∫V∇′×F|r−r′|dV′{\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}Fl=−∇Φ=−14π∇∫V∇′⋅F|r−r′|dV′{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}

Así que esta es, en efecto, la descomposición de Helmholtz. [ 25 ]

Generalización a dimensiones arbitrarias

Hablando informalmente, enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}La descomposición de Helmholtz se puede expresar mediante:F=−∇Φ+R{\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\mathbf {R} }dóndeΦ{\displaystyle \Phi }es cualquier función escalar que resuelve la ecuación de Poisson.−∇2Φ=F{\displaystyle -\nabla ^{2}\Phi =f}, dóndeF=∇⋅F{\displaystyle f=\nabla \cdot \mathbf {F} }es la divergencia del campo vectorialF{\displaystyle \mathbf {F} }enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}, yR=F+∇Φ{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {F} +\nabla \Phi }está libre de divergencia:∇⋅R=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} =0}Por lo tanto, la existencia de la descomposición de Helmholtz es una consecuencia de la existencia de la solución de la ecuación de Poisson.−∇2Φ=F{\displaystyle -\nabla ^{2}\Phi =f}.

Enfoque matricial

La generalización ad{\displaystyle d}Las dimensiones no se pueden trabajar con un potencial vectorial, ya que el operador de rotación y el producto vectorial se definen (como vectores) solo en tres dimensiones.

DejarF{\displaystyle \mathbf {F} }ser un campo vectorial enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}que se descompone más rápido que|r|−δ{\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}para|r|→∞{\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }yδ>2{\displaystyle \delta >2}.

El potencial escalar se define de forma similar al caso tridimensional como: Φ(r)=−∫Rddiv⁡(F(r′))K(r,r′)dV′=−∫Rd∑i∂Fi∂ri(r′)K(r,r′)dV′,{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',} mientras que el núcleo de integraciónK(r,r′){\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}es de nuevo la solución fundamental de la ecuación de Laplace , pero en un espacio d-dimensional: K(r,r′)={12πregistro⁡|r−r′|d=2,1d(2−d)Vd|r−r′|2−dde lo contrario,{\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}} conVd=πd2/Γ(d2+1){\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}el volumen de las bolas unitarias d-dimensionales yΓ(r){\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}la función gamma .

Parad=3{\displaystyle d=3},Vd{\displaystyle V_{d}}es igual a4π3{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}, obteniendo el mismo prefactor que el anterior. El potencial rotacional es una matriz antisimétrica con los siguientes elementos: Aij(r)=∫Rd(∂Fi∂incógnitaj(r′)−∂Fj∂incógnitai(r′))K(r,r′)dV′.{\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.} Por encima de la diagonal hay(d2){\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}entradas que aparecen reflejadas en la diagonal, pero con signo negativo. En el caso tridimensional, los elementos de la matriz corresponden simplemente a las componentes del potencial vectorial.A=[A1,A2,A3]=[A23,A31,A12]{\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}Sin embargo, dicho potencial matricial solo puede escribirse como un vector en el caso tridimensional, porque(d2)=d{\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}es válido solo parad=3{\displaystyle d=3}.

Al igual que en el caso tridimensional, el campo gradiente se define como GRAMO(r)=−∇Φ(r).{\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).} Por otro lado, el campo rotacional se define en el caso general como la divergencia de filas de la matriz: R(r)=[∑k∂rkAik(r);1≤i≤d].{\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].} En el espacio tridimensional, esto es equivalente a la rotación del potencial vectorial. [ 8 ] [ 26 ]

Enfoque tensorial

En und{\displaystyle d}espacio vectorial de dimensión cond≠3{\displaystyle d\neq 3},−14π|r−r′|{\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}puede ser reemplazado por la función de Green apropiada para el laplaciano , definida por ∇2GRAMO(r,r′)=∂∂rμ∂∂rμGRAMO(r,r′)=δd(r−r′){\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} donde se utiliza la convención de suma de Einstein para el índice.μ{\displaystyle \mu }. Por ejemplo,GRAMO(r,r′)=12πln⁡|r−r′|{\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}en 2D.

Siguiendo los mismos pasos que arriba, podemos escribir Fμ(r)=∫VFμ(r′)∂∂rμ∂∂rμGRAMO(r,r′)ddr′=δμνδρσ∫VFν(r′)∂∂rρ∂∂rσGRAMO(r,r′)ddr′{\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '} dóndeδμν{\displaystyle \delta _{\mu \nu }}es la delta de Kronecker (y se vuelve a utilizar la convención de suma). En lugar de la definición del laplaciano vectorial utilizada anteriormente, ahora utilizamos una identidad para el símbolo de Levi-Civita.ε{\displaystyle \varepsilon }, εαμρεανσ=(d−2)¡(δμνδρσ−δμσδνρ){\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })} que es válido end≥2{\displaystyle d\geq 2}dimensiones, dondeα{\displaystyle \alpha }es un(d−2){\displaystyle (d-2)}-componente multiíndice . Esto da como resultado Fμ(r)=δμσδνρ∫VFν(r′)∂∂rρ∂∂rσGRAMO(r,r′)ddr′+1(d−2)¡εαμρεανσ∫VFν(r′)∂∂rρ∂∂rσGRAMO(r,r′)ddr′{\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}

Por lo tanto podemos escribir Fμ(r)=−∂∂rμΦ(r)+εμρα∂∂rρAα(r){\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )} dónde Φ(r)=−∫VFν(r′)∂∂rνGRAMO(r,r′)ddr′Aα=1(d−2)¡εανσ∫VFν(r′)∂∂rσGRAMO(r,r′)ddr′{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}} Tenga en cuenta que el potencial vectorial se reemplaza por un rango-(d−2){\displaystyle (d-2)}tensor end{\displaystyle d}dimensiones.

PorqueGRAMO(r,r′){\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}es una función de solor−r′{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}, uno puede reemplazar∂∂rμ→−∂∂rμ′{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}, donación Φ(r)=∫VFν(r′)∂∂rν′GRAMO(r,r′)ddr′Aα=−1(d−2)¡εανσ∫VFν(r′)∂∂rσ′GRAMO(r,r′)ddr′{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}La integración por partes se puede utilizar para dar Φ(r)=−∫VGRAMO(r,r′)∂∂rν′Fν(r′)ddr′+∮SGRAMO(r,r′)Fν(r′)norte^ν′dd−1r′Aα=1(d−2)¡εανσ∫VGRAMO(r,r′)∂∂rσ′Fν(r′)ddr′−1(d−2)¡εανσ∮SGRAMO(r,r′)Fν(r′)norte^σ′dd−1r′{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}} dóndeS=∂V{\displaystyle S=\partial V}es el límite deV{\displaystyle V}Estas expresiones son análogas a las dadas anteriormente para el espacio tridimensional .

Para una generalización adicional a variedades, consulte la discusión sobre la descomposición de Hodge a continuación .

Formas diferenciales

La descomposición de Hodge está estrechamente relacionada con la descomposición de Helmholtz, [ 27 ] generalizando desde campos vectoriales en R 3 a formas diferenciales en una variedad riemanniana M . La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge requieren que M sea compacta . [ 28 ] Dado que esto no se cumple para R 3 , el teorema de descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, la restricción de compacidad en la formulación usual de la descomposición de Hodge puede reemplazarse por supuestos de decaimiento adecuados en el infinito sobre las formas diferenciales involucradas, lo que da una generalización apropiada del teorema de Helmholtz.

Extensiones a campos que no decaen en el infinito

La mayoría de los libros de texto solo tratan con campos vectoriales que decaen más rápido que|r|−δ{\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}conδ>1{\displaystyle \delta >1}en el infinito. [ 18 ] [ 14 ] [ 29 ] Sin embargo, Otto Blumenthal demostró en 1905 que se puede utilizar un núcleo de integración adaptado para integrar campos que decaen más rápido que|r|−δ{\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}conδ>0{\displaystyle \delta >0}, que es sustancialmente menos estricto. Para lograr esto, el núcleoK(r,r′){\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}en las integrales de convolución debe ser reemplazado porK′(r,r′)=K(r,r′)−K(0,r′){\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}. [ 30 ] Con núcleos de integración aún más complejos, se pueden encontrar soluciones incluso para funciones divergentes que no necesitan crecer más rápido que un polinomio. [ 13 ] [ 14 ] [ 26 ] [ 31 ]

Para todos los campos vectoriales analíticos que no necesariamente tienden a cero incluso en el infinito, se pueden utilizar métodos basados ​​en la integración parcial y la fórmula de Cauchy para la integración repetida [ 32 ] para calcular soluciones de forma cerrada de los potenciales de rotación y escalares, como en el caso de funciones polinómicas , seno , coseno y exponenciales multivariadas . [ 8 ]

Singularidad de la solución

En general, la descomposición de Helmholtz no está definida de forma única. Una función armónicaH(r){\displaystyle H(\mathbf {r} )}es una función que satisfaceΔH(r)=0{\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}. Al agregarH(r){\displaystyle H(\mathbf {r} )}al potencial escalarΦ(r){\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}Se puede obtener una descomposición de Helmholtz diferente:

GRAMO′(r)=∇(Φ(r)+H(r))=GRAMO(r)+∇H(r),R′(r)=R(r)−∇H(r).{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}

Para campos vectorialesF{\displaystyle \mathbf {F} }Dado que decaen en el infinito, es una opción plausible que los potenciales escalares y rotacionales también decaigan en el infinito. PorqueH(r)=0{\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}es la única función armónica con esta propiedad, que se deduce del teorema de Liouville , lo que garantiza la unicidad de los campos de gradiente y rotación. [ 33 ]

Esta singularidad no se aplica a los potenciales: en el caso tridimensional, el potencial escalar y el vectorial tienen conjuntamente cuatro componentes, mientras que el campo vectorial tiene solo tres. El campo vectorial es invariante a las transformaciones de gauge y la elección de potenciales apropiados, conocida como fijación de gauge, es objeto de la teoría de gauge . Ejemplos importantes de la física son la condición de gauge de Lorenz y el gauge de Coulomb . Una alternativa es utilizar la descomposición poloidal-toroidal .

Aplicaciones

Electrodinámica

El teorema de Helmholtz es de particular interés en electrodinámica , ya que permite escribir las ecuaciones de Maxwell en la imagen del potencial y resolverlas con mayor facilidad. La descomposición de Helmholtz permite demostrar que, dadas la densidad de corriente eléctrica y la densidad de carga , se pueden determinar el campo eléctrico y la densidad de flujo magnético . Estos son únicos si las densidades se anulan en el infinito, y se asume lo mismo para los potenciales. [ 18 ]

dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la proyección de Helmholtz juega un papel importante, especialmente para la teoría de solubilidad de las ecuaciones de Navier-Stokes . Si se aplica la proyección de Helmholtz a las ecuaciones linealizadas de Navier-Stokes incompresibles, se obtiene la ecuación de Stokes . Esta depende solo de la velocidad de las partículas en el flujo, pero ya no de la presión estática, lo que permite reducir la ecuación a una sola incógnita. Sin embargo, ambas ecuaciones, la de Stokes y la linealizada, son equivalentes. El operadorPAGΔ{\displaystyle P\Delta }se denomina operador de Stokes . [ 34 ]

Teoría de sistemas dinámicos

En la teoría de sistemas dinámicos , la descomposición de Helmholtz puede utilizarse para determinar "cuasipotenciales" y, en algunos casos, para calcular funciones de Lyapunov . [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]

Para algunos sistemas dinámicos como el sistema de Lorenz ( Edward N. Lorenz , 1963 [ 38 ] ), un modelo simplificado para la convección atmosférica , se puede obtener una expresión de forma cerrada de la descomposición de Helmholtz:r˙=F(r)=[a(r2−r1),r1(b−r3)−r2,r1r2−dor3].{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.} La descomposición de Helmholtz deF(r){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}, con el potencial escalarΦ(r)=a2r12+12r22+do2r32{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}se da como:

GRAMO(r)=[−ar1,−r2,−dor3],{\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}R(r)=[+ar2,br1−r1r3,r1r2].{\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}

El potencial escalar cuadrático proporciona movimiento en la dirección del origen de coordenadas, lo que es responsable del punto fijo estable para cierto rango de parámetros. Para otros parámetros, el campo de rotación asegura que se cree un atractor extraño , lo que provoca que el modelo exhiba un efecto mariposa . [ 8 ] [ 39 ]

Imágenes médicas

En la elastografía por resonancia magnética , una variante de la resonancia magnética en la que se utilizan ondas mecánicas para analizar la viscoelasticidad de los órganos, a veces se emplea la descomposición de Helmholtz para separar los campos de desplazamiento medidos en su componente de cizallamiento (sin divergencia) y su componente de compresión (sin rotacional). [ 40 ] De esta forma, se puede calcular el módulo de cizallamiento complejo sin la contribución de las ondas de compresión.

Animación por computadora y robótica

La descomposición de Helmholtz también se utiliza en el campo de la ingeniería informática. Esto incluye la robótica, la reconstrucción de imágenes y la animación por computadora, donde la descomposición se utiliza para la visualización realista de fluidos o campos vectoriales. [ 16 ] [ 41 ]

Véase también

Notas

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Referencias

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