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El lema de Hensel

En matemáticas , el lema de Hensel , también conocido como lema de elevación de Hensel , llamado así en honor a Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular que establ...

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En matemáticas , el lema de Hensel , también conocido como lema de elevación de Hensel , llamado así en honor a Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular que establece que si un polinomio univariado tiene una raíz simple módulo un número primo p , entonces esta raíz puede elevarse a una raíz única módulo cualquier potencia superior de p . (El proceso de elevación es el inverso de la reducción módulo p y se define con precisión más adelante). De manera más general, si un polinomio se factoriza módulo p en dos polinomios coprimos , esta factorización puede elevarse a una factorización módulo cualquier potencia superior de p (el caso de las raíces corresponde al caso de grado 1 para uno de los factores).

Al pasar al "límite" (de hecho, se trata de un límite inverso ) cuando la potencia de p tiende a infinito, se deduce que una raíz o una factorización módulo p puede elevarse a una raíz o una factorización sobre los enteros p -ádicos .

Estos resultados se han generalizado ampliamente, bajo el mismo nombre, al caso de polinomios sobre un anillo conmutativo arbitrario , donde p se reemplaza por un ideal y "polinomios coprimos" significa "polinomios que generan un ideal que contiene 1 ".

El lema de Hensel es fundamental en el análisis p -ádico , una rama de la teoría analítica de números .

La demostración del lema de Hensel es constructiva y conduce a un algoritmo eficiente para el levantamiento de Hensel , que es fundamental para la factorización de polinomios , y proporciona el algoritmo más eficiente conocido para el álgebra lineal exacta sobre los números racionales .

Reducción y elevación modular

El lema original de Hensel se refiere a la relación entre la factorización polinómica sobre los enteros y sobre los enteros módulo un número primo p y sus potencias. Puede extenderse directamente al caso en que los enteros se reemplazan por cualquier anillo conmutativo y p se reemplaza por cualquier ideal maximal (de hecho, los ideales maximales deZ{\displaystyle \mathbb {Z} }tener la formapagZ,{\displaystyle p\mathbb {Z},}donde p es un número primo).

Para lograr esta precisión, es necesario generalizar la aritmética modular habitual , por lo que resulta útil definir con exactitud la terminología que se utiliza comúnmente en este contexto.

Sea R un anillo conmutativo e I un ideal de R. La reducción módulo I se refiere a la sustitución de cada elemento de R por su imagen bajo la aplicación canónica .R→R/I.{\displaystyle R\to R/I.}Por ejemplo, siF∈R[incógnita]{\displaystyle f\in R[X]}es un polinomio con coeficientes en R , su reducción módulo I , denotadaFmodI,{\displaystyle f{\bmod {I}},}es el polinomio en(R/I)[incógnita]=R[incógnita]/IR[incógnita]{\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]}obtenido al reemplazar los coeficientes de f por su imagen enR/I.{\displaystyle R/I.}Dos polinomios f y g enR[incógnita]{\displaystyle R[X]}son congruentes módulo I , denotadoF≡gramo(modI){\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}si tienen los mismos coeficientes módulo I , es decir siF−gramo∈IR[incógnita].{\displaystyle fg\in IR[X].}Sih∈R[incógnita],{\displaystyle h\in R[X],}una factorización de h módulo I consiste en dos (o más) polinomios f, g enR[incógnita]{\displaystyle R[X]}de tal manera queh≡Fgramo(modI).{\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}.}

El proceso de elevación es el inverso de la reducción. Es decir, dados los objetos que dependen de elementos deR/I,{\displaystyle R/I,}el proceso de elevación reemplaza estos elementos por elementos deR{\displaystyle R}(o deR/Ik{\displaystyle R/I^{k}}para algún k > 1 ) que se les asigna de una manera que mantiene las propiedades de los objetos.

Por ejemplo, dado un polinomioh∈R[incógnita]{\displaystyle h\in R[X]}y una factorización módulo I expresada comoh≡Fgramo(modI),{\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}},}elevando esta factorización móduloIk{\displaystyle I^{k}}Consiste en encontrar polinomiosF′,gramo′∈R[incógnita]{\displaystyle f',g'\in R[X]}de tal manera queF′≡F(modI),{\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},}gramo′≡gramo(modI),{\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},}yh≡F′gramo′(modIk).{\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}.}El lema de Hensel afirma que tal levantamiento siempre es posible bajo condiciones suaves; véase la siguiente sección.

Declaración

Originalmente, el lema de Hensel se enunció (y demostró) para elevar una factorización módulo un número primo p de un polinomio sobre los enteros a una factorización módulo cualquier potencia de p y a una factorización sobre los enteros p -ádicos . Esto se puede generalizar fácilmente, con la misma demostración, al caso en que los enteros se reemplazan por cualquier anillo conmutativo , el número primo por un ideal maximal y los enteros p -ádicos por la completación respecto del ideal maximal. Es esta generalización, que también es ampliamente utilizada, la que se presenta aquí.

Dejarmetro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}sea ​​un ideal maximal de un anillo conmutativo R y

h=α0incógnitanorte+⋯+αnorte−1incógnita+αnorte{\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}}

sea ​​un polinomio enR[incógnita]{\displaystyle R[X]}con un coeficiente principalα0{\displaystyle \alpha _{0}}no enmetro.{\displaystyle {\mathfrak {m}}.}

Desdemetro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}es un ideal maximal, el anillo cocienteR/metro{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}es un campo y(R/metro)[incógnita]{\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}es un dominio ideal principal y, en particular, un dominio de factorización única , lo que significa que todo polinomio no nulo en(R/metro)[incógnita]{\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}se puede factorizar de una manera única como el producto de un elemento distinto de cero de(R/metro){\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})}y polinomios irreducibles que son mónicos (es decir, sus coeficientes principales son 1).

El lema de Hensel afirma que toda factorización de h módulometro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}Los polinomios coprimos se pueden elevar de una manera única a una factorización módulometrok{\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}}para cada k .

Más precisamente, con las hipótesis anteriores, sih≡α0Fgramo(modmetro),{\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}},}donde f y g son mónicos y coprimos módulometro,{\displaystyle {\mathfrak {m}},}entonces, para cada entero positivo k hay polinomios mónicosFk{\displaystyle f_{k}}ygramok{\displaystyle g_{k}}de tal manera que

h≡α0Fkgramok(modmetrok),Fk≡F(modmetro),gramok≡gramo(modmetro),{\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}},\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}},\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}},\end{aligned}}}

yFk{\displaystyle f_{k}}ygramok{\displaystyle g_{k}}son únicos (con estas propiedades) módulometrok.{\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}.}

Levantar raíces simples

Un caso especial importante es cuandoF=incógnita−r.{\displaystyle f=X-r.}En este caso, la hipótesis de coprimalidad significa que r es una raíz simple dehmodmetro.{\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}.}Esto da lugar al siguiente caso especial del lema de Hensel, que a menudo también se denomina lema de Hensel.

Con las hipótesis y notaciones anteriores, si r es una raíz simple dehmodmetro,{\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}},}entonces r puede elevarse de una manera única a una raíz simple dehmodmetronorte{\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}}para cada entero positivo n . Explícitamente, para cada entero positivo n , existe un únicornorte∈R/metronorte{\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}}de tal manera quernorte≡r(modmetro){\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}yrnorte{\displaystyle r_{n}}es una raíz simple dehmodmetronorte.{\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}.}

Elevación hasta la finalización ádica

El hecho de que uno pueda levantar hastaR/metronorte{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}para cada entero positivo n sugiere "pasar al límite" cuando n tiende al infinito. Esta fue una de las principales motivaciones para introducir los enteros p -ádicos .

Dado un ideal máximometro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}de un anillo conmutativo R , las potencias demetro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}forman una base de vecindarios abiertos para una topología en R , que se llamametro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}- topología ádica . La finalización de esta topología puede identificarse con la finalización del anillo local.Rmetro,{\displaystyle R_{\mathfrak {m}},}y con el límite inversolímite←R/metronorte.{\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}.}Esta finalización es un anillo local completo , generalmente denotadoR^metro.{\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}.}Cuando R es el anillo de los enteros, ymetro=pagZ,{\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} ,}donde p es un número primo, esta completación es el anillo de enteros p -ádicos.Zpag.{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}

La definición de la completitud como límite inverso, y el enunciado anterior del lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulometro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}de un polinomioh∈R[incógnita]{\displaystyle h\in R[X]}puede elevarse de forma única a una factorización de la imagen de h enR^metro[incógnita].{\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}De manera similar, toda raíz simple de h módulometro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}se puede elevar a una raíz simple de la imagen de h enR^metro[incógnita].{\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}

Prueba

El lema de Hensel generalmente se demuestra incrementalmente elevando una factorización sobreR/metronorte{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}a cualquiera de las dos factorizaciones sobreR/metronorte+1{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n+1}}( Elevación lineal ), o una factorización sobreR/metro2norte{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{2n}}( Elevación cuadrática ).

El ingrediente principal de la demostración es que los polinomios coprimos sobre un cuerpo satisfacen la identidad de Bézout . Es decir, si f y g son polinomios univariados coprimos sobre un cuerpo (aquíR/metro{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}), existen polinomios a y b tales quegrados⁡a<grados⁡gramo,{\displaystyle \deg a<\deg g,}grados⁡b<grados⁡F,{\displaystyle \deg b<\deg f,}y

aF+bgramo=1.{\displaystyle af+bg=1.}

La identidad de Bézout permite definir polinomios coprimos y demostrar el lema de Hensel, incluso si el idealmetro{\displaystyle {\mathfrak {m}}}no es maximal. Por lo tanto, en las siguientes demostraciones, se parte de un anillo conmutativo R , un ideal I , un polinomioh∈R[incógnita]{\displaystyle h\in R[X]}que tiene un coeficiente principal que es invertible módulo I (es decir, su imagen enR/I{\displaystyle R/I}es una unidad enR/I{\displaystyle R/I}), y factorización de h módulo I o módulo una potencia de I , de tal manera que los factores satisfacen una identidad de Bézout módulo I. En estas demostraciones,A≡B(modI){\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}medioA−B∈IR[incógnita].{\displaystyle A-B\in IR[X].}

Elevación lineal

Sea I un ideal de un anillo conmutativo R yh∈R[incógnita]{\displaystyle h\in R[X]}Sea un polinomio univariado con coeficientes en R que tenga un coeficiente principal .α{\displaystyle \alpha }que es invertible módulo I (es decir, la imagen deα{\displaystyle \alpha }enR/I{\displaystyle R/I}es una unidad enR/I{\displaystyle R/I}).

Supongamos que para algún entero positivo k existe una factorización

h≡αFgramo(modIk),{\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}

de tal manera que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existena,b∈R[incógnita],{\displaystyle a,b\in R[X],}de tal manera queaF+bgramo≡1(modI).{\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}.}Luego, están los polinomios.δF,δgramo∈IkR[incógnita],{\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}de tal manera quegrados⁡δF<grados⁡F,{\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}grados⁡δgramo<grados⁡gramo,{\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}y

h≡α(F+δF)(gramo+δgramo)(modIk+1).{\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}.}

En estas condiciones,δF{\displaystyle \delta _{f}}yδgramo{\displaystyle \delta _{g}}son únicos móduloIk+1R[incógnita].{\displaystyle I^{k+1}R[X].}

Además,F+δF{\displaystyle f+\delta _{f}}ygramo+δgramo{\displaystyle g+\delta _{g}}satisfacen la misma identidad de Bézout que f y g , es decir,a(F+δF)+b(gramo+δgramo)≡1(modI).{\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}.} Esto se deduce inmediatamente de las afirmaciones anteriores, pero es necesario para aplicar iterativamente el resultado con valores crecientes de k .

La demostración que sigue está escrita para computación.δF{\displaystyle \delta _{f}}yδgramo{\displaystyle \delta _{g}}utilizando únicamente polinomios con coeficientes enR/I{\displaystyle R/I}oIk/Ik+1.{\displaystyle I^{k}/I^{k+1}.}CuandoR=Z{\displaystyle R=\mathbb {Z} }yI=pagZ,{\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}Esto permite manipular solo enteros módulo p .

Prueba: Por hipótesis,α{\displaystyle \alpha }es invertible módulo I. Esto significa que existeβ∈R{\displaystyle \beta \in R}yγ∈I{\displaystyle \gamma \in I}de tal manera queαβ=1−γ.{\displaystyle \alpha \beta =1-\gamma .}

Dejarδh∈IkR[incógnita],{\displaystyle \delta _{h}\in I^{k}R[X],}de grado menor quegrados⁡h,{\displaystyle \deg h,}de tal manera que

δh≡h−αFgramo(modIk+1).{\displaystyle \delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}.}

(Uno puede elegirδh=h−αFgramo,{\displaystyle \delta _{h}=h-\alpha fg,}pero otras opciones pueden conducir a cálculos más sencillos. Por ejemplo, siR=Z{\displaystyle R=\mathbb {Z} }yI=pagZ,{\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}Es posible y mejor elegirδh=pagkδh′{\displaystyle \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}}donde los coeficientes deδh′{\displaystyle \delta '_{h}}son enteros en el intervalo[0,pag−1].{\displaystyle [0,p-1].})

Como g es mónico, la división euclidiana deaδh{\displaystyle a\delta _{h}}g se define y proporciona q y c tales queaδh=qgramo+do,{\displaystyle a\delta _{h}=qg+c,}ygrados⁡do<grados⁡gramo.{\displaystyle \deg c<\deg g.}Además, tanto q como c están enIkR[incógnita].{\displaystyle I^{k}R[X].}De manera similar, dejemosbδh=q′F+d,{\displaystyle b\delta _{h}=q'f+d,}congrados⁡d<grados⁡F,{\displaystyle \deg d<\deg f,}yq′,d∈IkR[incógnita].{\displaystyle q',d\in I^{k}R[X].}

Uno tieneq+q′∈Ik+1R[incógnita].{\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}De hecho, uno tiene

Fdo+gramod=aFδh+bgramoδh−Fgramo(q+q′)≡δh−Fgramo(q+q′)(modIk+1).{\displaystyle fc+gd=af\delta _{h}+bg\delta _{h}-fg(q+q')\equiv \delta _{h}-fg(q+q'){\pmod {I^{k+1}}}.}

ComoFgramo{\displaystyle fg}es mónico, el grado móduloIk+1{\displaystyle I^{k+1}}deFgramo(q+q′){\displaystyle fg(q+q')}puede ser menor quegrados⁡Fgramo{\displaystyle \deg fg}solo siq+q′∈Ik+1R[incógnita].{\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}

Por lo tanto, considerando congruencias móduloIk+1,{\displaystyle I^{k+1},}uno tiene

α(F+βd)(gramo+βdo)−h≡αFgramo−h+αβ(F(aδh−qgramo)+gramo(bδh−q′F))≡δh(−1+αβ(aF+bgramo))−αβFgramo(q+q′)≡0(modIk+1).{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}.\end{aligned}}}

Por lo tanto, la afirmación de existencia se verifica con

δF=βd,δgramo=βdo.{\displaystyle \delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c.}

Unicidad

Sean R , I , h yα{\displaystyle \alpha }como en la sección anterior. Dejemos

h≡αFgramo(modI){\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I}}}

sea ​​una factorización en polinomios coprimos (en el sentido anterior), talgrados⁡F0+grados⁡gramo0=grados⁡h.{\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h.}La aplicación del levantamiento lineal parak=1,2,…,norte−1…,{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1\ldots ,}muestra la existencia deδF{\displaystyle \delta _{f}}yδgramo{\displaystyle \delta _{g}}de tal manera quegrados⁡δF<grados⁡F,{\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}grados⁡δgramo<grados⁡gramo,{\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}y

h≡α(F+δF)(gramo+δgramo)(modInorte).{\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}.}

Los polinomiosδF{\displaystyle \delta _{f}}yδgramo{\displaystyle \delta _{g}}están definidos de forma única móduloInorte.{\displaystyle I^{n}.}Esto significa que, si otro par(δF′,δgramo′){\displaystyle (\delta '_{f},\delta '_{g})}satisface las mismas condiciones, entonces uno tiene

δF′≡δF(modInorte)yδgramo′≡δgramo(modInorte).{\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{and}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}.}

Prueba : Dado que una congruencia móduloInorte{\displaystyle I^{n}}implica la misma congruencia móduloInorte−1,{\displaystyle I^{n-1},}Se puede proceder por inducción y suponer que la unicidad ha sido demostrada para n − 1 , siendo trivial el caso n = 0. Es decir, se puede suponer que

δF−δF′∈Inorte−1R[incógnita]yδgramo−δgramo′∈Inorte−1R[incógnita].{\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}\in I^{n-1}R[X]\qquad {\text{and}}\qquad \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n-1}R[X].}

Por hipótesis, tiene

h≡α(F+δF)(gramo+δgramo)≡α(F+δF′)(gramo+δgramo′)(modInorte),{\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})\equiv \alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g}){\pmod {I^{n}}},}

y por lo tanto

α(F+δF)(gramo+δgramo)−α(F+δF′)(gramo+δgramo′)=α(F(δgramo−δgramo′)+gramo(δF−δF′))+α(δF(δgramo−δgramo′)−δgramo(δF−δF′))∈InorteR[incógnita].{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})&-\alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g})\\&=\alpha (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))+\alpha (\delta _{f}(\delta _{g}-\delta '_{g})-\delta _{g}(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X].\end{aligned}}}

Por hipótesis de inducción, el segundo término de la última suma pertenece aInorte,{\displaystyle I^{n},}y lo mismo es cierto para el primer término. Comoα{\displaystyle \alpha }es invertible módulo I , existenβ∈R{\displaystyle \beta \in R}yγ∈I{\displaystyle \gamma \in I}de tal manera queαβ=1+γ.{\displaystyle \alpha \beta =1+\gamma .}De este modo

F(δgramo−δgramo′)+gramo(δF−δF′)=αβ(F(δgramo−δgramo′)+gramo(δF−δF′))−γ(F(δgramo−δgramo′)+gramo(δF−δF′))∈InorteR[incógnita],{\displaystyle {\begin{aligned}f(\delta _{g}-\delta '_{g})&+g(\delta _{f}-\delta '_{f})\\&=\alpha \beta (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))-\gamma (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X],\end{aligned}}}

Utilizando de nuevo la hipótesis de inducción.

La coprimalidad módulo I implica la existencia dea,b∈R[incógnita]{\displaystyle a,b\in R[X]}de tal manera que1≡aF+bgramo(modI).{\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}.}Utilizando la hipótesis de inducción una vez más, se obtiene

δgramo−δgramo′≡(aF+bgramo)(δgramo−δgramo′)≡gramo(b(δgramo−δgramo′)−a(δF−δF′))(modInorte).{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{g}-\delta '_{g}&\equiv (af+bg)(\delta _{g}-\delta '_{g})\\&\equiv g(b(\delta _{g}-\delta '_{g})-a(\delta _{f}-\delta '_{f})){\pmod {I^{n}}}.\end{aligned}}}

Por lo tanto, se tiene un polinomio de grado menor quegrados⁡gramo{\displaystyle \deg g}que es congruente móduloInorte{\displaystyle I^{n}}al producto del polinomio mónico g y otro polinomio w . Esto solo es posible siw∈InorteR[incógnita],{\displaystyle w\in I^{n}R[X],}y implicaδgramo−δgramo′∈InorteR[incógnita].{\displaystyle \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X].}Similarmente,δF−δF′{\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}}también está enInorteR[incógnita],{\displaystyle I^{n}R[X],}Y esto demuestra su singularidad.

Elevación cuadrática

El levantamiento lineal permite levantar una factorización móduloInorte{\displaystyle I^{n}}a una factorización móduloInorte+1.{\displaystyle I^{n+1}.}El levantamiento cuadrático permite levantar directamente a una factorización móduloI2norte,{\displaystyle I^{2n},}a costa de levantar también la identidad de Bézout y de calcular móduloInorte{\displaystyle I^{n}}en lugar de módulo I (si se utiliza la descripción anterior de elevación lineal).

Para elevar hasta el móduloInorte{\displaystyle I^{N}}Para N grande se puede utilizar cualquiera de los dos métodos. Si, por ejemplo,norte=2k,{\displaystyle N=2^{k},}una factorización móduloInorte{\displaystyle I^{N}}Requiere N − 1 pasos de elevación lineal o solo k − 1 pasos de elevación cuadrática. Sin embargo, en este último caso, el tamaño de los coeficientes que deben manipularse aumenta durante el cálculo. Esto implica que el mejor método de elevación depende del contexto (valor de N , naturaleza de R , algoritmo de multiplicación utilizado, especificaciones del hardware , etc.).

El levantamiento cuadrático se basa en la siguiente propiedad.

Supongamos que para algún entero positivo k existe una factorización

h≡αFgramo(modIk),{\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}

de tal manera que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existena,b∈R[incógnita],{\displaystyle a,b\in R[X],}de tal manera queaF+bgramo≡1(modIk).{\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}.}Luego, están los polinomios.δF,δgramo∈IkR[incógnita],{\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}de tal manera quegrados⁡δF<grados⁡F,{\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}grados⁡δgramo<grados⁡gramo,{\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}y

h≡α(F+δF)(gramo+δgramo)(modI2k).{\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}.}

Además,F+δF{\displaystyle f+\delta _{f}}ygramo+δgramo{\displaystyle g+\delta _{g}}satisfacer la identidad de Bézout de la forma

(a+δa)(F+δF)+(b+δb)(gramo+δgramo)≡1(modI2k).{\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}.}

(Esto es necesario para permitir iteraciones de elevación cuadrática).

Prueba : La primera afirmación es exactamente la del levantamiento lineal aplicado con k = 1 al ideal.Ik{\displaystyle I^{k}}en lugar deI.{\displaystyle I.}

Dejarα=aF+bgramo−1∈IkR[incógnita].{\displaystyle \alpha =af+bg-1\in I^{k}R[X].}Uno tiene

a(F+δF)+b(gramo+δgramo)=1+Δ,{\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})=1+\Delta ,}

dónde

Δ=α+aδF+bδgramo∈IkR[incógnita].{\displaystyle \Delta =\alpha +a\delta _{f}+b\delta _{g}\in I^{k}R[X].}

Configuraciónδa=−aΔ{\displaystyle \delta _{a}=-a\Delta }yδb=−bΔ,{\displaystyle \delta _{b}=-b\Delta ,}uno consigue

(a+δa)(F+δF)+(b+δb)(gramo+δgramo)=1−Δ2∈I2kR[incógnita],{\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})=1-\Delta ^{2}\in I^{2k}R[X],}

lo cual prueba la segunda afirmación.

Ejemplo explícito

DejarF(incógnita)=incógnita6−2∈Q[incógnita].{\displaystyle f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X].}

Módulo 2, el lema de Hensel no se puede aplicar ya que la reducción deF(incógnita){\displaystyle f(X)}módulo 2 es simplemente [ 1 ] págs. 15-16

F¯(incógnita)=incógnita6−2¯=incógnita6{\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}}

con 6 factoresincógnita{\displaystyle X}no siendo relativamente primos entre sí. Sin embargo, según el criterio de Eisenstein , se puede concluir que el polinomioF(incógnita){\displaystyle f(X)}es irreductible enQ2[incógnita].{\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X].} Encimak=F7{\displaystyle k=\mathbb {F} _{7}}, por otro lado, uno tiene

F¯(incógnita)=incógnita6−2¯=incógnita6−16¯=(incógnita3−4¯)(incógnita3+4¯){\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}-{\overline {16}}=(X^{3}-{\overline {4}})\;(X^{3}+{\overline {4}})}

dónde4{\displaystyle 4}es la raíz cuadrada de 2 enF7{\displaystyle \mathbb {F} _{7}}Como 4 no es un cubo enF7,{\displaystyle \mathbb {F} _{7},}Estos dos factores son irreductiblesF7{\displaystyle \mathbb {F} _{7}}. Por lo tanto, la factorización completa deincógnita6−2{\displaystyle X^{6}-2}enZ7[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[X]}yQ7[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}es

F(incógnita)=incógnita6−2=(incógnita3−α)(incógnita3+α),{\displaystyle f(X)=X^{6}-2=(X^{3}-\alpha )\;(X^{3}+\alpha ),}

dóndeα=…4504547{\displaystyle \alpha =\ldots 450\,454_{7}}es una raíz cuadrada de 2 enZ7{\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}que se puede obtener levantando la factorización anterior. Finalmente, enF727[incógnita]{\displaystyle \mathbb {F} _{727}[X]}El polinomio se divide en

F¯(incógnita)=incógnita6−2¯=(incógnita−3¯)(incógnita−116¯)(incógnita−119¯)(incógnita−608¯)(incógnita−611¯)(incógnita−724¯){\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})}

con todos los factores relativamente primos entre sí, de modo que enZ727[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]}yQ727[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]}Hay 6 factoresincógnita−β{\displaystyle X-\beta }con los enteros 727-ádicos (no racionales)

β={3+545⋅727+537⋅7272+161⋅7273+…116+48⋅727+130⋅7272+498⋅7273+…119+593⋅727+667⋅7272+659⋅7273+…608+133⋅727+59⋅7272+67⋅7273+…611+678⋅727+596⋅7272+228⋅7273+…724+181⋅727+189⋅7272+565⋅7273+…{\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.}

Utilizar derivados para levantar raíces

DejarF(incógnita){\displaystyle f(x)}Sea r un polinomio con coeficientes enteros (o enteros p -ádicos), y sean m y k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un entero tal que

F(r)≡0modpagkyF′(r)≢0modpag{\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}

entonces, por cadametro>0{\displaystyle m>0}existe un número entero s tal que

F(s)≡0modpagk+metroyr≡smodpagk.{\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.}

Además, este s es único módulo p k + m , y puede calcularse explícitamente como el entero tal que

s=r−F(r)⋅a,{\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}

dóndea{\displaystyle a}es un número entero que satisface

a≡[F′(r)]−1modpagmetro.{\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.}

Tenga en cuenta queF(r)≡0modpagk{\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}para que la condicións≡rmodpagk{\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}se cumple. Como comentario aparte, siF′(r)≡0modpag{\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}, entonces pueden existir 0, 1 o varios ( véase el levantamiento de Hensel a continuación).

Derivación

Usamos la expansión de Taylor de f alrededor de r para escribir:

F(s)=∑norte=0nortedonorte(s−r)norte,donorte=F(norte)(r)/norte¡.{\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!.}

Der≡smodpagk,{\displaystyle r\equiv s{\bmod {p}}^{k},}vemos que s − r = tp k para algún entero t . Sea

F(s)=∑norte=0nortedonorte(tpagk)norte=F(r)+tpagkF′(r)+∑norte=2nortedonortetnortepagknorte=F(r)+tpagkF′(r)+pag2kt2gramo(t)gramo(t)∈Z[t]=zpagk+tpagkF′(r)+pag2kt2gramo(t)F(r)≡0modpagk=(z+tF′(r))pagk+pag2kt2gramo(t){\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}}

Parametro⩽k,{\displaystyle m\leqslant k,}tenemos:

F(s)≡0modpagk+metro⟺(z+tF′(r))pagk≡0modpagk+metro⟺z+tF′(r)≡0modpagmetro⟺tF′(r)≡−zmodpagmetro⟺t≡−z[F′(r)]−1modpagmetropag∤F′(r){\displaystyle {\begin{aligned}f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}&\Longleftrightarrow (z+tf'(r))p^{k}\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\\&\Longleftrightarrow z+tf'(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow tf'(r)\equiv -z{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow t\equiv -z[f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}&&p\nmid f'(r)\end{aligned}}}

La suposición de queF′(r){\displaystyle f'(r)}no es divisible por p asegura queF′(r){\displaystyle f'(r)}tiene un mod inversopagmetro{\displaystyle p^{m}}lo cual es necesariamente único. Por lo tanto, existe una solución para t de forma única módulopagmetro,{\displaystyle p^{m},}y s existe de forma única módulopagk+metro.{\displaystyle p^{k+m}.}

Observaciones

Criterio para polinomios irreducibles

Utilizando las hipótesis anteriores, si consideramos un polinomio irreducible

F(incógnita)=a0+a1incógnita+⋯+anorteincógnitanorte∈K[incógnita]{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in K[X]}

de tal manera quea0,anorte≠0{\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}, entonces

|F|=máximo{|a0|,|anorte|}{\displaystyle |f|=\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}}

En particular, paraF(incógnita)=incógnita6+10incógnita−1{\displaystyle f(X)=X^{6}+10X-1}, encontramos enQ2[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X]}

|F(incógnita)|=máximo{|a0|,…,|anorte|}=máximo{0,1,0}=1{\displaystyle {\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}}

peromáximo{|a0|,|anorte|}=0{\displaystyle \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0}, por lo tanto el polinomio no puede ser irreducible. Mientras que enQ7[incógnita]{\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}Tenemos ambos valores coincidentes, lo que significa que el polinomio podría ser irreducible. Para determinar la irreducibilidad, se debe emplear el polígono de Newton. [ 2 ] : 144

Frobenius

Tenga en cuenta que dado una∈Fpag{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}}el endomorfismo de Frobeniusy↦ypag{\displaystyle y\mapsto y^{p}}da un polinomio distinto de ceroincógnitapag−a{\displaystyle x^{p}-a}que tiene derivada cero

ddincógnita(incógnitapag−a)=pag⋅incógnitapag−1≡0⋅incógnitapag−1modpag≡0modpag{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-a)&=p\cdot x^{p-1}\\&\equiv 0\cdot x^{p-1}{\bmod {p}}\\&\equiv 0{\bmod {p}}\end{aligned}}}

por lo tanto las raíces p -ésimas dea{\displaystyle a}no existen enZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}. Paraa=1{\displaystyle a=1}, esto implica queZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}no puede contener la raíz de la unidadμpag{\displaystyle \mu _{p}}.

Raíces de la unidad

Aunque las raíces p -ésimas de la unidad no están contenidas enFpag{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}, existen soluciones deincógnitapag−incógnita=incógnita(incógnitapag−1−1){\displaystyle x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)}. Tenga en cuenta que

ddincógnita(incógnitapag−incógnita)=pagincógnitapag−1−1≡−1modpag{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-x)&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}}

nunca es cero, por lo que si existe una solución, necesariamente se eleva aZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}. Porque el Frobenius daapag=a,{\displaystyle a^{p}=a,}todos los elementos distintos de ceroFpag×{\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}son soluciones. De hecho, estas son las únicas raíces de unidad contenidas enQpag{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}. [ 3 ]

Levantamiento de Hensel

Utilizando el lema, se puede "elevar" una raíz r del polinomio f módulo p k a una nueva raíz s módulo p k +1 tal que r ≡ s mod p k (tomando m = 1 ; tomar m mayor se deduce por inducción). De hecho, una raíz módulo p k +1 también es una raíz módulo p k , por lo que las raíces módulo p k +1 son precisamente las elevaciones de raíces módulo p k . La nueva raíz s es congruente con r módulo p , por lo que la nueva raíz también satisfaceF′(s)≡F′(r)≢0modpag.{\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.}Así, el levantamiento puede repetirse, y partiendo de una solución r k deF(incógnita)≡0modpagk{\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}podemos derivar una secuencia de soluciones r k +1 , r k +2 , ... de la misma congruencia para potencias sucesivamente mayores de p , siempre queF′(rk)≢0modpag{\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}}para la raíz inicial r k . Esto también muestra que f tiene el mismo número de raíces módulo p k que módulo p k +1 , módulo p k +2 , o cualquier otra potencia superior de p , siempre que las raíces de f módulo p k sean todas simples.

¿Qué sucede con este proceso si r no es una raíz simple módulo p ? Supongamos que

F(r)≡0modpagkyF′(r)≡0modpag.{\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.}

Entoncess≡rmodpagk{\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}implicaF(s)≡F(r)modpagk+1.{\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.}Eso es,F(r+tpagk)≡F(r)modpagk+1{\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}}para todos los enteros t . Por lo tanto, tenemos dos casos:

  • SiF(r)≢0modpagk+1{\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}entonces no hay elevación de r a una raíz de f ( x ) módulo p k +1 .
  • SiF(r)≡0modpagk+1{\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}entonces cada elevación de r al módulo p k +1 es una raíz de f ( x ) módulo p k +1 .

Ejemplo. Para ver ambos casos, examinamos dos polinomios diferentes con p = 2 :

F(incógnita)=incógnita2+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}y r = 1. EntoncesF(1)≡0mod2{\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}}yF′(1)≡0mod2.{\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}TenemosF(1)≢0mod4{\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}}lo que significa que ninguna elevación de 1 al módulo 4 es una raíz de f ( x ) módulo 4.

gramo(incógnita)=incógnita2−17{\displaystyle g(x)=x^{2}-17}y r = 1. Entoncesgramo(1)≡0mod2{\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}}ygramo′(1)≡0mod2.{\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}Sin embargo, dado quegramo(1)≡0mod4,{\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}},}Podemos elevar nuestra solución a módulo 4 y ambas elevaciones (es decir, 1, 3) son soluciones. La derivada sigue siendo 0 módulo 2, así que a priori no sabemos si podemos elevarlas a módulo 8, pero de hecho podemos, ya que g (1) es 0 mod 8 y g (3) es 0 mod 8, dando soluciones en 1, 3, 5 y 7 mod 8. Como de estas solo g (1) y g (7) son 0 mod 16 podemos elevar solo 1 y 7 a módulo 16, dando 1, 7, 9 y 15 mod 16. De estas, solo 7 y 9 dan g ( x ) = 0 mod 32 , así que estas se pueden elevar dando 7, 9, 23 y 25 mod 32. Resulta que para cada entero k ≥ 3 , hay cuatro elevaciones de 1 mod 2 a una raíz de g ( x ) mod 2 k .

Lema de Hensel para números p -ádicos

En los números p -ádicos, donde podemos dar sentido a los números racionales módulo potencias de p siempre que el denominador no sea un múltiplo de p , la recursión de r k (raíces mod p k ) a r k +1 (raíces mod p k +1 ) se puede expresar de una manera mucho más intuitiva. En lugar de elegir t como un entero (y) que resuelva la congruencia

tF′(rk)≡−(F(rk)/pagk)modpagmetro,{\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},}

Sea t el número racional (el p k aquí no es realmente un denominador ya que f ( r k ) es divisible por p k ):

−(F(rk)/pagk)/F′(rk).{\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).}

Luego configura

rk+1=rk+tpagk=rk−F(rk)F′(rk).{\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.}

Esta fracción puede no ser un número entero, pero es un entero p -ádico, y la secuencia de números r k converge en los enteros p -ádicos a una raíz de f ( x ) = 0. Además, la fórmula recursiva mostrada para el (nuevo) número r k +1 en términos de r k es precisamente el método de Newton para hallar raíces de ecuaciones en los números reales.

Al trabajar directamente en los p -ádicos y usar la valuación p -ádica , existe una versión del lema de Hensel que se puede aplicar incluso si comenzamos con una solución de f ( a ) ≡ 0 mod p k tal queF′(a)≡0modpag.{\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.}Solo necesitamos asegurarnos de que el númeroF′(a){\displaystyle f'(a)}no es exactamente 0, y n es suficientemente grande. Esta versión más general es la siguiente: si existe un entero a que satisface:

νpag(F(a))>2νpag(F′(a)),{\displaystyle \nu _{p}(f(a))>2\nu _{p}(f'(a)),}

entonces existe un único entero p -ádico b tal que f ( b ) = 0 yνpag(b−a)≥νpag(F(a))−νpag(F′(a)).{\displaystyle \nu _{p}(b-a)\geq \nu _{p}(f(a))-\nu _{p}(f'(a)).}La construcción de b equivale a demostrar que la recursión del método de Newton con valor inicial a converge en los p -ádicos y sea b el límite. La unicidad de b como raíz que cumple la condiciónνpag(b−a)>νpag(F′(a)){\displaystyle \nu _{p}(b-a)>\nu _{p}(f'(a))}necesita trabajo adicional.

La formulación del lema de Hensel dada anteriormente es un caso especial de esta versión más general, ya que las condiciones de que f ( a ) ≡ 0 mod p k yF′(a)≢0modpag{\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}}decir queνpag(F(a))≥k{\displaystyle \nu _{p}(f(a))\geq k}yνpag(F′(a))=0.{\displaystyle \nu _{p}(f'(a))=0.}

Ejemplos

Supongamos que p es un primo impar y a es un residuo cuadrático no nulo módulo p . Entonces, el lema de Hensel implica que a tiene una raíz cuadrada en el anillo de enteros p -ádicos.Zpag.{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}En efecto, dejemosF(incógnita)=incógnita2−a.{\displaystyle f(x)=x^{2}-a.}Si r es la raíz cuadrada de a módulo p, entonces:

F(r)=r2−a≡0modpagyF′(r)=2r≢0modpag,{\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},}

donde la segunda condición depende del hecho de que p es impar. La versión básica del lema de Hensel nos dice que partiendo de r 1 = r podemos construir recursivamente una secuencia de enteros{rk}{\displaystyle \{r_{k}\}}de tal manera que:

rk+1≡rkmodpagk,rk2≡amodpagk.{\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.}

Esta secuencia converge a algún entero p -ádico b que satisface b 2 = a . De hecho, b es la única raíz cuadrada de a enZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}congruente con r 1 módulo p . Por el contrario, si a es un cuadrado perfecto enZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}y no es divisible por p, entonces es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p . Nótese que la ley de reciprocidad cuadrática permite comprobar fácilmente si a es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p , por lo que obtenemos una forma práctica de determinar qué números p -ádicos (para p impar) tienen una raíz cuadrada p -ádica, y se puede extender para cubrir el caso p = 2 utilizando la versión más general del lema de Hensel (más adelante se da un ejemplo con raíces cuadradas 2-ádicas de 17).

Para hacer más explícita la discusión anterior, encontremos una "raíz cuadrada de 2" (la solución aincógnita2−2=0{\displaystyle x^{2}-2=0}) en los enteros 7-ádicos. Módulo 7 una solución es 3 (también podríamos tomar 4), así que establecemosr1=3{\displaystyle r_{1}=3}El lema de Hensel nos permite entonces encontrarr2{\displaystyle r_{2}}como sigue:

F(r1)=32−2=7F(r1)/pag1=7/7=1F′(r1)=2r1=6{\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}

Basándose en lo cual la expresión

tF′(r1)≡−(F(r1)/pagk)modpag,{\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},}

se convierte en:

t⋅6≡−1mod7{\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}

lo cual implicat=1.{\displaystyle t=1.}Ahora:

r2=r1+tpag1=3+1⋅7=10=137.{\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.}

Y efectivamente,102≡2mod72.{\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.}(Si hubiéramos utilizado la recursión del método de Newton directamente en los 7-ádicos, entoncesr2=r1−F(r1)/F′(r1)=3−7/6=11/6,{\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,}y11/6≡10mod72.{\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.})

Podemos continuar y encontrarr3=108=3+7+2⋅72=2137{\displaystyle r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}}Cada vez que realizamos el cálculo (es decir, para cada valor sucesivo de k ), se agrega un dígito más en base 7 para la siguiente potencia superior de 7. En los enteros 7-ádicos esta secuencia converge, y el límite es una raíz cuadrada de 2 enZ7{\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}que tiene una expansión inicial de 7-ádicas

3+7+2⋅72+6⋅73+74+2⋅75+76+2⋅77+4⋅78+⋯.{\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots .}

Si comenzamos con la elección inicialr1=4{\displaystyle r_{1}=4}entonces el lema de Hensel produciría una raíz cuadrada de 2 enZ7{\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}lo cual es congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) y, de hecho, esta segunda raíz cuadrada sería el negativo de la primera raíz cuadrada (lo cual es consistente con 4 = −3 mod 7).

Como ejemplo donde la versión original del lema de Hensel no es válida pero la más general sí lo es, seaF(incógnita)=incógnita2−17{\displaystyle f(x)=x^{2}-17}ya=1.{\displaystyle a=1.}EntoncesF(a)=−16{\displaystyle f(a)=-16}yF′(a)=2,{\displaystyle f'(a)=2,}entonces

|F(a)|2<|F′(a)|22,{\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2},}

lo que implica que existe un único entero 2-ádico b que satisface

b2=17y|b−a|2<|F′(a)|2=12,{\displaystyle b^{2}=17\quad {\text{and}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}={\frac {1}{2}},}

Es decir, b ≡ 1 mod 4. Hay dos raíces cuadradas de 17 en los enteros 2-ádicos, que difieren en un signo, y aunque son congruentes módulo 2, no lo son módulo 4. Esto es consistente con la versión general del lema de Hensel, que solo nos da una única raíz cuadrada 2-ádica de 17 que es congruente con 1 mod 4 en lugar de módulo 2. Si hubiéramos comenzado con la raíz aproximada inicial a = 3, entonces podríamos aplicar nuevamente el lema de Hensel más general para encontrar una única raíz cuadrada 2-ádica de 17 que es congruente con 3 mod 4. Esta es la otra raíz cuadrada 2-ádica de 17.

En términos de levantar las raíces deincógnita2−17{\displaystyle x^{2}-17}Desde el módulo 2k hasta 2k + 1 , las elevaciones que comienzan con la raíz 1 mod 2 son las siguientes:

1 mod 2 → 1, 3 mod 4
1 mod 4 → 1, 5 mod 8 y 3 mod 4 → 3, 7 mod 8
1 mod 8 → 1, 9 mod 16 y 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mientras que 3 mod 8 y 5 mod 8 no se elevan a raíces mod 16.
9 mod 16 → 9, 25 mod 32 y 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mientras que 1 mod 16 y 15 mod 16 no se elevan a raíces mod 32.

Para cada k al menos 3, hay cuatro raíces de x² − 17 mod 2 k , pero si observamos sus expansiones 2-ádicas podemos ver que en pares convergen a solo dos límites 2-ádicos. Por ejemplo, las cuatro raíces módulo 32 se dividen en dos pares de raíces que se ven iguales módulo 16:

9 = 1 + 2 3 y 25 = 1 + 2 3 + 2 4 .
7 = 1 + 2 + 2 2 y 23 = 1 + 2 + 2 2 + 2 4 .

Las raíces cuadradas 2-ádicas de 17 tienen expansiones

1+23+25+26+27+29+210+⋯{\displaystyle 1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots }
1+2+22+24+28+211+⋯{\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots }

Otro ejemplo donde podemos usar la versión más general del lema de Hensel pero no la versión básica es una demostración de que cualquier entero 3-ádico c ≡ 1 mod 9 es un cubo enZ3.{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.}DejarF(incógnita)=incógnita3−do{\displaystyle f(x)=x^{3}-c}y tomamos una aproximación inicial a = 1. El lema básico de Hensel no se puede utilizar para encontrar raíces de f ( x ) ya queF′(r)≡0mod3{\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}}para cada r . Para aplicar la versión general del lema de Hensel queremos|F(1)|3<|F′(1)|32,{\displaystyle |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2},}lo que significado≡1mod27.{\displaystyle c\equiv 1{\bmod {2}}7.}Es decir, si c ≡ 1 mod 27, entonces el lema general de Hensel nos dice que f ( x ) tiene una raíz 3-ádica, por lo que c es un cubo 3-ádico. Sin embargo, queríamos obtener este resultado bajo la condición más débil de que c ≡ 1 mod 9. Si c ≡ 1 mod 9, entonces c ≡ 1, 10 o 19 mod 27. Podemos aplicar el lema general de Hensel tres veces, dependiendo del valor de c mod 27: si c ≡ 1 mod 27, entonces usamos a = 1; si c ≡ 10 mod 27, entonces usamos a = 4 (ya que 4 es una raíz de f ( x ) mod 27); y si c ≡ 19 mod 27, entonces usamos a = 7. (No es cierto que todo c ≡ 1 mod 3 sea un cubo 3-ádico; por ejemplo, 4 no es un cubo 3-ádico, ya que no es un cubo mod 9).

De manera similar, después de un trabajo preliminar, el lema de Hensel se puede usar para demostrar que para cualquier número primo impar p , cualquier entero p -ádico c congruente con 1 módulo p² es una p -ésima potencia enZpag.{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}(Esto es falso para p = 2.)

Generalizaciones

Supongamos que A es un anillo conmutativo , completo con respecto a un ideal.metro,{\displaystyle {\mathfrak {m}},}y dejarF(incógnita)∈A[incógnita].{\displaystyle f(x)\in A[x].}a ∈ A se denomina una "raíz aproximada" de f , si

F(a)≡0modF′(a)2metro.{\displaystyle f(a)\equiv 0{\bmod {f}}'(a)^{2}{\mathfrak {m}}.}

Si f tiene una raíz aproximada, entonces tiene una raíz exacta b ∈ A "cercana" a a ; es decir,

F(b)=0yb≡amodmetro.{\displaystyle f(b)=0\quad {\text{and}}\quad b\equiv a{\bmod {\mathfrak {m}}}.}

Además, siF′(a){\displaystyle f'(a)}Si b no es un divisor de cero, entonces b es único.

Este resultado puede generalizarse a varias variables de la siguiente manera:

Teorema. Sea A un anillo conmutativo que es completo con respecto a un ideal.metro⊂A.{\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A.}DejarF1,…,Fnorte∈A[incógnita1,…,incógnitanorte]{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}Sea A un sistema de n polinomios en n variables sobre A. VerF=(F1,…,Fnorte),{\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\ldots ,f_{n}),}como una aplicación de A n a sí mismo, y dejarJF(incógnita){\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}Denotemos su matriz jacobiana . Supongamos que a = ( a 1 , ..., a n ) ∈ A n es una solución aproximada a f = 0 en el sentido de que
Fi(a)≡0mod(detJF(a))2metro,1⩽i⩽norte.{\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {(}}{\det J_{\mathbf {f} }(a)})^{2}{\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}
Entonces hay algún b = ( b 1 , ..., b n ) ∈ A n que satisface f ( b ) = 0 , es decir,
Fi(b)=0,1⩽i⩽norte.{\displaystyle f_{i}(\mathbf {b} )=0,\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}
Además, esta solución es "cercana" a una en el sentido de que
bi≡aimoddetJF(a)metro,1⩽i⩽norte.{\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\det }}J_{\mathbf {f} }(a){\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}

Como caso especial, siFi(a)≡0modmetro{\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}}para todos yo ydetJF(a){\displaystyle \det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )}es una unidad en A entonces hay una solución para f ( b ) = 0 conbi≡aimodmetro{\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}}para todos yo .

Cuando n = 1, a = a es un elemento de A yJF(a)=JF(a)=F′(a).{\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a).}Las hipótesis de este lema de Hensel multivariable se reducen a las que se enunciaron en el lema de Hensel monovariable.

La completitud de un anillo no es una condición necesaria para que el anillo tenga la propiedad henseliana: Goro Azumaya en 1950 definió un anillo local conmutativo que satisface la propiedad henseliana para el ideal máximo m como un anillo henseliano .

Masayoshi Nagata demostró en la década de 1950 que para cualquier anillo local conmutativo A con ideal maximal m siempre existe un anillo más pequeño A h que contiene a A tal que A h es henseliano con respecto a m A h . Este A h se llama la henselización de A . Si A es noetheriano , A h también lo será, y A h es manifiestamente algebraico ya que se construye como un límite de entornos étale . Esto significa que A h suele ser mucho más pequeño que la completación  sin dejar de conservar la propiedad henseliana y permanecer en la misma categoría .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gras, Georges (2003). Teoría del campo de clases  : de la teoría a la práctica . Berlín. ISBN 978-3-662-11323-3OCLC 883382066​​ {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  2. ↑ Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0OCLC 851391469 .​ 
  3. ↑ Conrad, Keith. "El lema de Hensel" (PDF) . pág. 4.