Conexión homoclinica

En sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una conexión homoclinica es una estructura formada por la variedad estable y la variedad inestable de un punto fijo .

Dejar${\displaystyle f:M\to M}$ser un mapa definido en una variedad${\displaystyle M}$, con un punto fijo${\displaystyle p}$. Dejar${\displaystyle W^{s}(f,p)}$y${\displaystyle W^{u}(f,p)}$sean la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo.${\displaystyle p}$, respectivamente. Sea${\displaystyle V}$sea ​​una variedad invariante conexa tal que

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,p)}$

Entonces${\displaystyle V}$se denomina conexión homoclinica . ^{[ 1 ]}

Es una noción similar, pero se refiere a dos puntos fijos,${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$. La condición satisfecha por ${\displaystyle V}$se reemplaza por:

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,q)}$

Esta noción no es simétrica con respecto a${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$.

Cuando las variedades invariantes${\displaystyle W^{s}(f,p)}$y${\displaystyle W^{u}(f,q)}$, posiblemente con${\displaystyle p=q}$, se intersecan pero no hay conexión homoclinica/heteroclinica, se forma una estructura diferente por las dos variedades, a veces denominada enredo homoclinico/heteroclinico . La figura tiene un dibujo conceptual que ilustra su compleja estructura. El resultado teórico que respalda el dibujo es el lema lambda . Los enredos homoclinicos siempre van acompañados de una herradura de Smale .

Para flujos continuos , la definición es esencialmente la misma.

1. Existe cierta variación en la definición entre las distintas publicaciones;
2. Históricamente, el primer caso considerado fue el de un flujo continuo en el plano , inducido por una ecuación diferencial ordinaria . En este caso, una conexión homoclinica es una única trayectoria que converge al punto fijo.${\displaystyle p}$tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo. Un péndulo en ausencia de fricción es un ejemplo de un sistema mecánico que sí tiene una conexión homoclinica. Cuando el péndulo se suelta desde la posición superior (el punto de mayor energía potencial), con una velocidad infinitesimalmente pequeña, el péndulo volverá a la misma posición. Al regresar, tendrá exactamente la misma velocidad. El tiempo que tardará en regresar aumentará a${\displaystyle \infty }$a medida que la velocidad inicial tiende a cero. Una de las demostraciones del artículo sobre el péndulo muestra este comportamiento.

Cuando un sistema dinámico se ve perturbado, una conexión homoclinica se rompe , convirtiéndose en un conjunto invariante desconectado . Cerca de este, se forma un conjunto caótico denominado herradura de Smale . Por lo tanto, la existencia de una conexión homoclinica puede conducir al caos . Por ejemplo, cuando se coloca un péndulo en una caja y esta se somete a pequeñas oscilaciones horizontales, el péndulo puede exhibir un comportamiento caótico.

• Órbita homoclinica
• Órbita heteroclínica