Órbita heteroclínica

En matemáticas , en el retrato de fase de un sistema dinámico , una órbita heteroclínica (a veces llamada conexión heteroclínica ) es una trayectoria en el espacio de fases que une dos puntos de equilibrio diferentes . Si los puntos de equilibrio al inicio y al final de la órbita son los mismos, la órbita es una órbita homoclínica .

Consideremos el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria.$${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$$ Supongamos que existen equilibrios en${\displaystyle x=x_{0},x_{1}.}$Entonces una solución${\displaystyle \phi (t)}$es una órbita heteroclínica de${\displaystyle x_{0}}$a${\displaystyle x_{1}}$Si se cumplen ambos límites :$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi (t)\rightarrow x_{0}&{\text{cuando}}&t\rightarrow -\infty ,\\[4pt]\phi (t)\rightarrow x_{1}&{\text{cuando}}&t\rightarrow +\infty .\end{array}}}$$

Esto implica que la órbita está contenida en la variedad estable de${\displaystyle x_{1}}$y la variedad inestable de${\displaystyle x_{0}}$.

Mediante el uso de la partición de Markov , el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico puede estudiarse utilizando técnicas de dinámica simbólica . En este caso, una órbita heteroclínica tiene una representación particularmente simple y clara. Supongamos que${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos.

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Se puede escribir como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

dónde${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto,${\displaystyle t_{i}\in S}$), y${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$es otra secuencia de símbolos, de longitud m (así también,${\displaystyle r_{i}\in S}$). La notación${\displaystyle p^{\omega }}$simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Por lo tanto, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica puede escribirse como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

con la secuencia intermedia${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$al no ser vacío y, por supuesto, no ser p , ya que de lo contrario, la órbita simplemente sería${\displaystyle p^{\omega }}$.

• Conexión heteroclínica
• Ciclo heteroclínico
• Bifurcación heteroclínica
• Órbita homoclinica
• Onda viajera

• John Guckenheimer y Philip Holmes , Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , (Applied Mathematical Sciences Vol. 42 ), Springer