Teselado hexagonal

En geometría , el teselado hexagonal es un recubrimiento regular del plano euclidiano , en el que exactamente tres hexágonos convergen en cada vértice. Su símbolo de Schläfli es {6,3} o { 3,6} ( como un teselado triangular truncado ).

El matemático inglés John Conway lo llamó hextille .

El ángulo interno del hexágono es de 120 grados, por lo que tres hexágonos unidos en un punto forman un ángulo de 360 ​​grados. Es uno de los tres teselados regulares del plano . Los otros dos son el teselado triangular y el teselado cuadrado .

El teselado hexagonal tiene una estructura que consiste en un hexágono regular como único prototelado , compartiendo dos vértices con otros idénticos, un ejemplo de teselado monoédrico. ^{[ 1 ]} Cada vértice del teselado está rodeado por tres hexágonos regulares, denotados como${\displaystyle 6.6.6}$por configuración de vértices . ^{[ 2 ]} El dual de un teselado hexagonal es un teselado triangular , porque el centro de cada teselado hexagonal se conecta con el centro de otro, formando triángulos equiláteros . ^{[ 3 ]}

Cada vértice, arista y tesela incidentes entre sí de un teselado hexagonal pueden actuar transitivamente sobre otro de esos tres mediante la operación de simetría. En otras palabras, son transitivos de vértice (mapean el vértice de una tesela a otra), transitivos de arista (mapean la arista a otra) y transitivos de cara (mapean una tesela hexagonal regular a otra). A partir de estos, el teselado hexagonal se clasifica como uno de los tres teselados regulares ; los restantes son su dual y el teselado cuadrado . ^{[ 4 ]} El grupo de simetría de un teselado hexagonal es p6m. ^{[ 5 ]}

Si se inscribe un círculo en cada hexágono, la figura resultante es la forma más densa de disponer círculos en dos dimensiones; su densidad de empaquetamiento es${\textstyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.907}$[ ^{6 ] El} teorema del panal establece que el teselado hexagonal es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área con el menor perímetro total. ^{[ 7 ]} La estructura tridimensional óptima para hacer panales (o más bien, burbujas de jabón) fue investigada por Lord Kelvin , quien creía que la estructura de Kelvin (o red cúbica centrada en el cuerpo ) es la óptima. Sin embargo, la estructura de Weaire-Phelan, menos regular, es ligeramente mejor.

Grafeno

Cercas de alambre para gallinas

El teselado hexagonal se encuentra comúnmente en la naturaleza, como en la lámina de grafeno con fuertes enlaces covalentes de carbono. Se han sintetizado láminas tubulares de grafeno, conocidas como nanotubos de carbono . ^{[ 8 ]} Tienen muchas aplicaciones potenciales, debido a su alta resistencia a la tracción y propiedades eléctricas. El siliceno tiene una estructura similar a la del grafeno.

La malla de gallinero consiste en una red hexagonal de alambres, aunque su forma no es regular. ^{[ 9 ]}

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  Un nanotubo de carbono puede verse como un mosaico hexagonal sobre una superficie cilíndrica.
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  Azulejo persa hexagonal, c. 1955
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  Pavimento hexagonal de trylinka desmoronándose en Nueva York 

El teselado hexagonal aparece en muchos cristales. En tres dimensiones, el empaquetamiento compacto cúbico centrado en las caras y el hexagonal son estructuras cristalinas comunes. Son los empaquetamientos de esferas más densos en tres dimensiones. Estructuralmente, constan de capas paralelas de teselados hexagonales, similares a la estructura del grafito. Se diferencian en la forma en que las capas están escalonadas entre sí, siendo el cúbico centrado en las caras el más regular de los dos. El cobre puro , entre otros materiales, forma una red cúbica centrada en las caras.

Existen tres coloraciones uniformes distintas de un teselado hexagonal, todas generadas a partir de la simetría reflectiva de las construcciones de Wythoff . Los ( h , k ) representan la repetición periódica de una tesela coloreada, contando las distancias hexagonales como h primero y k después. El mismo conteo se utiliza en los poliedros de Goldberg , con una notación { p +,3} _{h , k} , y puede aplicarse a teselados hiperbólicos para p  >  6.

El teselado de 3 colores es una teselación generada por los permutoedros de orden 3 .

Teselado hexagonal biselado

Un teselado hexagonal biselado reemplaza los bordes con nuevos hexágonos y se transforma en otro teselado hexagonal. En el límite, las caras originales desaparecen y los nuevos hexágonos degeneran en rombos, convirtiéndose así en un teselado rómbico .

Los hexágonos se pueden dividir en conjuntos de 6 triángulos. Este proceso da lugar a dos teselaciones 2-uniformes y a la teselación triangular :

El teselado hexagonal puede considerarse un teselado rómbico alargado , donde cada vértice del teselado rómbico se estira formando una nueva arista. Esto es similar a la relación entre el dodecaedro rómbico y las teselaciones del dodecaedro rombohexagonal en tres dimensiones.

También es posible subdividir los prototeselos de ciertos teselados hexagonales en dos, tres, cuatro o nueve pentágonos iguales:

Hay 3 tipos de teselaciones hexagonales convexas monoédricas. ^{[ 10 ]} Todas son isoédricas . Cada una tiene variaciones paramétricas dentro de una simetría fija. El tipo 2 contiene reflexiones de deslizamiento y es 2-isoédrico, manteniendo distintos los pares quirales.

También existen 15 teselaciones pentagonales convexas monoédricas , así como todos los cuadriláteros y triángulos.

Los teselados hexagonales se pueden hacer con la misma topología {6,3} que el teselado regular (3 hexágonos alrededor de cada vértice). Con caras isoédricas, hay 13 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. Los colores aquí representan las posiciones de la red. ^{[ 11 ]} Las redes de un solo color (1-tesela) son hexágonos paralelogonados .

Otros recubrimientos hexagonales topológicos isoédricos se ven como cuadriláteros y pentágonos que no están unidos borde con borde, sino que se interpretan como bordes adyacentes colineales:

Las teselaciones 2-uniformes y 3-uniformes tienen un grado de libertad rotacional que distorsiona 2/3 de los hexágonos, incluyendo un caso colineal que también puede verse como un recubrimiento de hexágonos y triángulos más grandes que no se realiza borde con borde. ^{[ 12 ]}

También puede transformarse en un patrón tejido tridireccional quiral de 4 colores, convirtiendo algunos hexágonos en paralelogramos . El patrón tejido con 2 caras de color tiene simetría rotacional 632 (p6) . Un patrón de chevrón tiene simetría pmg (22*), que se reduce a p1 (°) con 3 o 4 teselas de color.

El teselado hexagonal puede utilizarse como empaquetamiento de círculos , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. Cada círculo está en contacto con otros 3 círculos del empaquetamiento ( número de contacto ). ^{[ 13 ]} El espacio dentro de cada hexágono permite la presencia de un círculo, creando el empaquetamiento más denso del teselado triangular , con cada círculo en contacto con un máximo de 6 círculos.

Hay 2 apeirogones complejos regulares que comparten los vértices del teselado hexagonal. Los apeirogones complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogones regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de los vértices son r -gonales. ^{[ 14 ]}

El primero está formado por 2 aristas, tres alrededor de cada vértice; el segundo tiene aristas hexagonales, tres alrededor de cada vértice. Un tercer apeirogon complejo, que comparte los mismos vértices, es cuasirregular y alterna 2 y 6 aristas.

• Red hexagonal
• Panal prismático hexagonal
• Teselaciones de polígonos regulares
• Lista de teselaciones uniformes
• Lista de politopos regulares
• Teselado hexagonal tipo panal
• Diseño de juego de mesa con mapa hexagonal

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8pág.  296, Tabla II: Panales regulares
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Teselaciones regulares y uniformes , págs.  58-65)
• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. pág . 35. ISBN  0-486-23729-X.

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas , 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

• Weisstein, Eric W. "Cuadrícula hexagonal" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Teselación regular" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 2D o3o6x – hexat – O3" .