Politopo uniforme de 7 nucleótidos

En geometría de siete dimensiones , un 7-politopo es un politopo contenido por facetas de 6-politopos. Cada arista de 5-politopos es compartida por exactamente dos facetas de 6-politopos .

Un 7-politopo uniforme es aquel cuyo grupo de simetría es transitivo en los vértices y cuyas facetas son 6-politopos uniformes .

7-politopos regulares

Los 7-politopos regulares están representados por el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u} con u {p,q,r,s,t} facetas de 6-politopos alrededor de cada 4-cara.

Existen exactamente tres politopos regulares convexos de 7 miembros de este tipo :

{3,3,3,3,3,3} - 7-símplex
{4,3,3,3,3,3} - cubo de 7
{3,3,3,3,3,4} - 7-ortoplexo

No existen 7-politopos regulares no convexos.

Características

La topología de cualquier 7-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . ^{[ 1 ]}

El valor de la característica de Euler, utilizada para caracterizar poliedros, no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores, independientemente de su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. ^{[ 1 ]}

De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. ^{[ 1 ]}

7-politopos uniformes por grupos fundamentales de Coxeter

Los 7-politopos uniformes con simetría reflectiva pueden generarse mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :

La familia A ₇

La familia A ₇ tiene una simetría de orden 40320 (8 factorial ).

Existen 71 (64 + 8 − 1) formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Las 71 se enumeran a continuación. Se proporcionan los nombres de truncamiento de Norman Johnson . También se incluyen los nombres y acrónimos de Bowers para facilitar la consulta.

Véase también una lista de politopos A7 para obtener gráficos planos de Coxeter simétricos de estos politopos.

La familia B ₇

La familia B ₇ tiene una simetría de orden 645120 (7 factorial x 2 ⁷ ).

Existen 127 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Se proporcionan los nombres y acrónimos de Bowers para facilitar la consulta.

Véase también una lista de politopos B7 para obtener gráficos planos de Coxeter simétricos de estos politopos.

La familia D ₇

La familia D ₇ tiene una simetría de orden 322560 (7 factorial × 2 ⁶ ).

Esta familia posee 3 × 32 − 1 = 95 politopos uniformes de Wythoff, generados al marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin D ₇ . De estos, 63 (2 × 32 − 1) se repiten de la familia B ₇ y 32 son exclusivos de esta familia, que se enumeran a continuación. Se proporcionan los nombres y acrónimos de Bowers para facilitar la consulta.

Véase también la lista de politopos D7 para los gráficos planos de Coxeter de estos politopos.

La familia E ₇

El grupo E ₇Coxeter tiene un pedido de 2.903.040 unidades.

Existen 127 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Se proporcionan los nombres y acrónimos de Bowers para facilitar la consulta.

Véase también una lista de politopos E7 para obtener gráficos planos de Coxeter simétricos de estos politopos.

panales regulares y uniformes

Correspondencias entre familias y simetría superior en los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los nodos del mismo color en cada fila representan simetrías idénticas. Los nodos negros no participan en la correspondencia.

Existen cinco grupos de Coxeter afines fundamentales y dieciséis grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio de 6 dimensiones:

Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:

${\tilde {A}}_{6}$ ${\tilde {A}}_{6}$ , 17 formas
- Panal de abeja uniforme de 6 simples : {3 ^[7] }
- Panal de abeja ciclotruncado uniforme de 6 símplex : t _0,1 {3 ^[7] }
- Panal de abejas omnitruncado uniforme de 6 símplex : t _{0,1,2,3,4,5,6,7} {3 ^[7] }
${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$ , [4,3 ⁴ ,4], 71 formas
- Panal de abeja regular de 6 cubos , representado por los símbolos {4,3 ⁴ ,4},
${\tilde {B}}_{6}$ ${\tilde {B}}_{6}$ , [3 ^1,1 ,3 ³ ,4], 95 formas, 64 compartidas con ${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$ , 32 nuevos
- Panal de abeja uniforme de 6 demicubes , representado por los símbolos h{4,3 ⁴ ,4} = {3 ^1,1 ,3 ³ ,4}, =
${\tilde {D}}_{6}$ ${\tilde {D}}_{6}$ , [3 ^1,1 ,3 ² ,3 ^1,1 ], 41 permutaciones anilladas únicas, la mayoría compartidas con ${\tilde {B}}_{6}$ ${\tilde {B}}_{6}$ y ${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$ y 6 son nuevos. Coxeter llama al primero un panal de abeja de un cuarto de 6 cúbicos .
- =
- =
- =
- =
- =
- =
${\tilde {E}}_{6}$ ${\tilde {E}}_{6}$ : [3 ^2,2,2 ], 39 formas
- Panal uniforme 2 ₂₂ : representado por los símbolos {3,3,3 ^2,2 },
- Panal uniforme t ₄ (2 ₂₂ ): 4r{3,3,3 ^2,2 },
- Panal uniforme 0 ₂₂₂ : {3 ^2,2,2 },
- Panal uniforme t ₂ (0 ₂₂₂ ): 2r{3 ^2,2,2 },

panales hiperbólicos regulares y uniformes

No existen grupos de Coxeter hiperbólicos compactos de rango 7, grupos que puedan generar diagramas de panal con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 3 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos de rango 7, cada uno de los cuales genera diagramas de panal uniformes en el espacio de 6 dimensiones como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.

Notas sobre la construcción de Wythoff para los 7-politopos uniformes.

Los politopos uniformes reflectantes de 7 dimensiones se construyen mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representan mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , donde cada nodo representa un espejo. Un espejo activo se representa mediante un nodo anillado. Cada combinación de espejos activos genera un politopo uniforme único. Los politopos uniformes se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden nombrarse de dos maneras igualmente válidas.

Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 7-politopos uniformes.

Las formas prismáticas y los grafos bifurcados pueden usar la misma notación de indexación por truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.

Referencias

1 2 3 Richeson, D.; La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton, 2008.

T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
A. Boole Stott (1910). "Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos de espacios" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . XI (1). Ámsterdam: Johannes Müller. Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2025.
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966.
Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 7D (poliexas) con acrónimos" .

Enlaces externos

Nombres de politopos
Politopos de diversas dimensiones
Glosario multidimensional

[richeson-1] 1 2 3 Richeson, D.; La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton, 2008.

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