Higgs prime

Un primo de Higgs , llamado así en honor a Denis Higgs , es un número primo con un totiente (uno menos que el primo) que divide exactamente el cuadrado del producto de los primos de Higgs más pequeños. (Esto se puede generalizar a cubos, cuartas potencias, etc.) En términos algebraicos, dado un exponente a , un primo de Higgs Hp _n satisface

${\displaystyle \phi (Hp_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ y }}Hp_{n}>Hp_{n-1}}$

donde Φ ( x ) es la función totiente de Euler .

Para los cuadrados, los primeros primos de Higgs son 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... (secuencia A007459 en la OEIS ) . Así, por ejemplo, 13 es un primo de Higgs porque el cuadrado del producto de los primos de Higgs más pequeños es 5336100, y dividido por 12 esto es 444675. Pero 17 no es un primo de Higgs porque el cuadrado del producto de los primos más pequeños es 901800900, que deja un resto de 4 cuando se divide por 16.

Tras observar los primeros números primos de Higgs para cuadrados hasta la séptima potencia, parecería más conciso enumerar aquellos primos que no son primos de Higgs:

La observación revela además que un primo de Fermat${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$No puede ser un bosón primo de Higgs para la potencia a si a es menor que ²ⁿ .

Se desconoce si existen infinitos primos de Higgs para cualquier exponente a mayor que 1. La situación es muy diferente para a = 1. Solo existen cuatro: 2, 3, 7 y 43 (una secuencia sospechosamente similar a la secuencia de Sylvester ). Burris y Lee (1993) descubrieron que aproximadamente una quinta parte de los primos menores que un millón son primos de Higgs, y concluyeron que, incluso si la secuencia de primos de Higgs para cuadrados es finita, "una enumeración computacional no es factible".

• Burris, S.; Lee, S. (1993). "Las identidades de Tarski en la escuela secundaria". Amer. Math. Monthly . 100 (3): 231–236 [p. 233]. doi : 10.1080/00029890.1993.11990393 . JSTOR 2324454 . 
• Sloane, N.; Plouffe, S. (1995). La enciclopedia de secuencias de enteros . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.M0660