Esquema de diferencias finitas compactas de orden superior

Los esquemas de diferencias finitas compactos de alto orden se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales de tercer orden que surgen durante el estudio de problemas de contorno con obstáculos . Han demostrado ser muy precisos y eficientes. Se construyen modificando el esquema de segundo orden desarrollado por Noor y Al-Said en 2002. La tasa de convergencia del esquema compacto de alto orden es de tercer orden, mientras que la del esquema de segundo orden es de cuarto orden. ^{[ 1 ]}

Las ecuaciones diferenciales son herramientas esenciales en el modelado matemático . La mayoría de los sistemas físicos se describen mediante modelos matemáticos que incluyen el transporte convectivo y difusivo de algunas variables. Los métodos de diferencias finitas se encuentran entre los más populares y se han aplicado con mayor frecuencia para resolver dichas ecuaciones diferenciales. Un esquema de diferencias finitas es compacto en el sentido de que la fórmula discretizada comprende como máximo nueve plantillas de puntos , incluyendo un nodo central alrededor del cual se toman las diferencias. Además, un mayor orden de precisión (superior a dos) justifica la terminología de "esquema de diferencias finitas compacto de orden superior" (HOC). Esto se puede lograr de varias maneras. El esquema compacto de orden superior considerado aquí ^{[ 2 ]} consiste en utilizar la ecuación diferencial original para sustituir los términos de error de truncamiento principales en la ecuación de diferencias finitas. En general, se ha comprobado que el esquema es robusto, eficiente y preciso para la mayoría de las aplicaciones de dinámica de fluidos computacional (CFD) que se analizan más adelante.

El problema más sencillo para la validación de los algoritmos numéricos es el problema de la cavidad con tapa móvil. En la literatura se encuentran disponibles resultados calculados en forma de tablas, gráficos y figuras para un fluido con número de Prandtl = 0,71 y número de Rayleigh (Ra) que varía de 10³ ^a 10⁷ ^{. [ 2 ]} La eficacia del esquema se demuestra cuando captura con gran claridad los vórtices secundarios y terciarios en los lados de la cavidad para valores altos de Ra.

Otro hito fue el desarrollo de estos esquemas para resolver ecuaciones de convección-difusión bidimensionales estacionarias/no estacionarias. Se realizó un estudio exhaustivo del flujo alrededor de un cilindro circular que se inicia impulsivamente. ^{[ 3 ]} El problema del flujo alrededor de un cilindro circular ha seguido generando un enorme interés entre los investigadores que trabajan en CFD, principalmente porque muestra casi todos los fenómenos de mecánica de fluidos para flujos incompresibles y viscosos en las configuraciones geométricas más simples. Fue capaz de analizar y visualizar los patrones de flujo con mayor precisión para números de Reynolds (Re) que van de 10 a 9500 en comparación con los resultados numéricos existentes. Esto fue seguido por su extensión a la contraparte giratoria de la superficie del cilindro para Re que va de 200 a 1000. ^{[ 4 ]} Se estudia un fenómeno más complejo que involucra un cilindro circular que experimenta oscilaciones rotacionales mientras se traslada en un fluido para Re tan alto como 500. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Otro hito en la historia es su extensión a fenómenos de flujo multifásico. Procesos naturales como burbujas de gas en petróleo, fusión de hielo y vapor húmedo se observan en todas partes en la naturaleza. Dichos procesos también desempeñan un papel importante en las aplicaciones prácticas en el área de la biología, la medicina y la remediación ambiental . El esquema se ha implementado sucesivamente para resolver ecuaciones elípticas y parabólicas unidimensionales y bidimensionales con coeficientes discontinuos y términos fuente singulares. ^{[ 7 ]} Este tipo de problemas son importantes numéricamente porque generalmente conducen a soluciones no suaves o discontinuas a través de las interfaces. La expansión de esta idea de interfaces fijas a móviles con geometrías regulares e irregulares está en curso. ^{[ 8 ] [ 9 ]}