Número altamente cototiente

En teoría de números , una rama de las matemáticas , un número altamente cototiente es un número entero positivo.${\displaystyle k}$que es mayor que 1 y tiene más soluciones a la ecuación

${\displaystyle x-\phi (x)=k}$

que cualquier otro número entero a continuación${\displaystyle k}$y por encima de 1. Aquí,${\displaystyle \phi }$es la función totiente de Euler . Hay infinitas soluciones para la ecuación para

${\displaystyle k}$= 1

por lo que este valor se excluye en la definición. Los primeros números altamente cototientes son: ^{[ 1 ]}

2 , 4 , 8 , 23 , 35 , 47 , 59 , 63 , 83 , 89 , 113 , 119 , 167 , 209 , 269 , 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... (secuencia A100827 en el OEIS )

Muchos de los números altamente cototientes son impares. ^{[ 1 ]}

El concepto es algo análogo al de los números altamente compuestos . Así como existen infinitos números altamente compuestos, también existen infinitos números altamente cototientes. Los cálculos se vuelven más difíciles, ya que la factorización de enteros se complica a medida que los números aumentan.

El cototiente de${\displaystyle x}$se define como${\displaystyle x-\phi (x)}$, es decir, el número de enteros positivos menores o iguales a${\displaystyle x}$que tienen al menos un factor primo en común con${\displaystyle x}$Por ejemplo, el cototiente de 6 es 4, ya que estos cuatro enteros positivos tienen un factor primo en común con 6: 2, 3, 4, 6. El cototiente de 8 también es 4, esta vez con estos enteros: 2, 4, 6, 8. Hay exactamente dos números, 6 y 8, que tienen cototiente 4. Hay menos números que tienen cototiente 2 y cototiente 3 (un número en cada caso), por lo que 4 es un número con un cototiente muy alto.

(secuencia A063740 en el OEIS )

Los primeros números altamente cototientes que son primos son ^{[ 2 ]}

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... (secuencia A105440 en el OEIS )

• Número altamente totiente