El séptimo problema de Hilbert

El séptimo problema de Hilbert es uno de los problemas matemáticos abiertos que David Hilbert planteó en 1900. Trata sobre la irracionalidad y la trascendencia de ciertos números. ^{[ 1 ]}

En 1919, Hilbert dio una conferencia sobre teoría de números y habló de tres conjeturas: la hipótesis de Riemann , el último teorema de Fermat y la trascendencia de${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Mencionó a la audiencia que no esperaba que nadie en la sala viviera lo suficiente como para ver la prueba de este resultado. En su séptimo problema, bajo el título "Irracionalidad y trascendencia de ciertos números" ( Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen en alemán), ^{[ 1 ]} se plantearon dos preguntas equivalentes específicas: ^{[ 2 ]}

1. En un triángulo isósceles , si la razón entre el ángulo de la base y el ángulo del vértice es algebraica pero no racional , ¿es siempre trascendental la razón entre la base y el lado ?
2. Es${\displaystyle a^{b}}$siempre trascendental, para algebraico${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$y algebraico irracional${\displaystyle b}$¿

A modo de aclaración, un número algebraico es la raíz de un polinomio no nulo en una variable con coeficientes racionales , y un número trascendental es lo opuesto a un número algebraico (es decir, no es la raíz de un polinomio). Un número irracional es aquel que no puede expresarse como la fracción de dos enteros; el denominador no puede ser cero.

Al abordar la segunda pregunta de manera más específica, Hilbert preguntó sobre la trascendencia y la irracionalidad de los números.${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$y${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i}}$El primer número se conoce como la constante de Gelfond-Schneider o el número de Hilbert. ^{[ 1 ]}

La prueba respecto a la trascendencia de${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$fue publicado por Kuzmin en 1930, dentro de la vida de Hilbert . Es decir, Kuzmin demostró el caso en el que el exponente${\displaystyle b}$es un número irracional cuadrático real . ^{[ 3 ]}

En 1934, Aleksandr Gelfond y Theodor Schneider demostraron de manera más general, al extender el número${\displaystyle b}$a un irracional algebraico arbitrario. Respectivamente, respondieron independientemente al segundo problema afirmativamente y lo refinaron. Este resultado se conoce como el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Desde el punto de vista de la generalización, este es el caso $${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$$ de la forma lineal general en logaritmos, que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por Alan Baker , ^{[ 6 ]} quien recibió una Medalla Fields en 1970 por este logro. El resultado se llama la conjetura de Gelfond o teorema de Baker .

• Tijdeman, Robert (1976). «Sobre el método de Gel'fond-Baker y sus aplicaciones». En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemáticas puras . Vol.  XXVIII.1. Sociedad Matemática Americana . págs. 241-268 . ISBN  978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026 . 
• Manin, Yu. I .; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol.  49 (Segunda  ed.). pág.  61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .  

• Traducción al inglés del discurso original de Hilbert