El duodécimo problema de Hilbert

El duodécimo problema de Hilbert es la extensión del teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico base . Es uno de los 23 problemas matemáticos de Hilbert y plantea la cuestión de encontrar análogos de las raíces de la unidad que generen toda una familia de cuerpos numéricos adicionales, de forma análoga a los cuerpos ciclotómicos y sus subcuerpos. Leopold Kronecker describió el problema de la multiplicación compleja como su liebster Jugendtraum , o «el sueño más preciado de su juventud», por lo que el problema también se conoce como el Jugendtraum de Kronecker .

La teoría clásica de la multiplicación compleja , ahora conocida como el Kronecker Jugendtraum , realiza esto para el caso de cualquier cuerpo cuadrático imaginario , utilizando funciones modulares y funciones elípticas elegidas con una red periódica particular relacionada con el cuerpo en cuestión. Goro Shimura extendió esto a los cuerpos CM . En el caso especial de cuerpos totalmente reales, Samit Dasgupta y Mahesh Kakde proporcionaron una construcción de la extensión abeliana máxima de cuerpos totalmente reales utilizando la conjetura de Brumer-Stark .

El caso general del duodécimo problema de Hilbert sigue abierto.

El problema fundamental de la teoría algebraica de números es describir los cuerpos de números algebraicos . El trabajo de Galois dejó claro que las extensiones de cuerpos están controladas por ciertos grupos , los grupos de Galois . La situación más simple, que ya se encuentra en el límite de lo que se comprende bien, es cuando el grupo en cuestión es abeliano . Todas las extensiones cuadráticas, obtenidas al unir las raíces de un polinomio cuadrático, son abelianas, y su estudio fue iniciado por Gauss . Otro tipo de extensión abeliana del cuerpo Q de números racionales se obtiene al unir las raíces n -ésimas de la unidad, lo que da como resultado los cuerpos ciclotómicos . Gauss ya había demostrado que, de hecho, todo cuerpo cuadrático está contenido en un cuerpo ciclotómico mayor. El teorema de Kronecker-Weber muestra que cualquier extensión abeliana finita de Q está contenida en un cuerpo ciclotómico. La pregunta de Kronecker (y de Hilbert) aborda la situación de un cuerpo numérico algebraico más general K : ¿cuáles son los números algebraicos necesarios para construir todas las extensiones abelianas de K ? La respuesta completa a esta pregunta solo se ha resuelto completamente cuando K es un cuerpo cuadrático imaginario o su generalización, un cuerpo CM .

La formulación original de Hilbert sobre su duodécimo problema es bastante engañosa: parece implicar que las extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos imaginarios se generan mediante valores especiales de funciones modulares elípticas, lo cual no es correcto. (Es difícil determinar con exactitud qué quería decir Hilbert, ya que podría haber utilizado el término "función elíptica" para referirse tanto a la función elíptica ℘ como a la función modular elíptica j ) . En primer lugar, también es necesario utilizar raíces de la unidad, aunque Hilbert podría haber querido incluirlas implícitamente. Más importante aún, si bien los valores de las funciones modulares elípticas generan el cuerpo de clases de Hilbert , para extensiones abelianas más generales también es necesario utilizar valores de funciones elípticas. Por ejemplo, la extensión abeliana${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$no se genera mediante módulos singulares y raíces de la unidad.

Una forma particularmente atractiva de enunciar el teorema de Kronecker-Weber es decir que la extensión abeliana máxima de Q se puede obtener adjuntando los valores especiales exp(2 π i / n ) de la función exponencial . De manera similar, la teoría de la multiplicación compleja muestra que la extensión abeliana máxima de Q ( τ ), donde τ es una irracionalidad cuadrática imaginaria, se puede obtener adjuntando los valores especiales de ℘( τ , z ) y j ( τ ) de las funciones modulares j y las funciones elípticas ℘, y raíces de la unidad, donde τ está en el cuerpo cuadrático imaginario y z representa un punto de torsión en la curva elíptica correspondiente. Una interpretación del duodécimo problema de Hilbert pide proporcionar un análogo adecuado de las funciones exponenciales, elípticas o modulares, cuyos valores especiales generarían la extensión abeliana máxima K ^ab de un cuerpo numérico general K . En esta forma, permanece sin resolver. Una descripción del campo K ^ab se obtuvo en la teoría de campos de clases , desarrollada por el propio Hilbert , Emil Artin y otros en la primera mitad del siglo XX. ^{[ nota 1 ]} Sin embargo, la construcción de K ^ab en la teoría de campos de clases implica primero construir extensiones no abelianas más grandes usando la teoría de Kummer , y luego reducirlas a las extensiones abelianas, por lo que realmente no resuelve el problema de Hilbert que pide una construcción más directa de las extensiones abelianas.

Los desarrollos desde alrededor de 1960 ciertamente han contribuido. Antes de eso, Hecke ( 1912 ) en su disertación usó formas modulares de Hilbert para estudiar extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos reales . La multiplicación compleja de variedades abelianas fue un área abierta por el trabajo de Shimura y Taniyama . Esto da lugar a extensiones abelianas de cuerpos CM en general. La cuestión de qué extensiones se pueden encontrar es la de los módulos de Tate de tales variedades, como representaciones de Galois . Dado que este es el caso más accesible de ${\displaystyle l}$-cohomología ádica , estas representaciones se han estudiado en profundidad.

En 1973, Robert Langlands argumentó que la versión moderna del Jugendtraum debería abordar las funciones zeta de Hasse-Weil de las variedades de Shimura . Si bien concibió un programa ambicioso que profundizaría considerablemente en el tema, más de treinta años después persisten serias dudas sobre su relevancia para la cuestión planteada por Hilbert.

Un desarrollo aparte fue la conjetura de Stark (en el caso abeliano de rango uno), que, en contraste, abordó directamente la cuestión de encontrar unidades particulares que generan extensiones abelianas de cuerpos numéricos y describen coeficientes principales de funciones L de Artin . En 2021, Dasgupta y Kakde anunciaron una solución p -ádica para encontrar la extensión abeliana máxima de cuerpos totalmente reales al demostrar la conjetura integral de Gross-Stark para unidades de Brumer-Stark. ^{[ 1 ] [ 2 ]}