variedad de Hilbert

En matemáticas , una variedad de Hilbert es una variedad modelada a partir de espacios de Hilbert . Se trata, por lo tanto, de un espacio de Hausdorff separable en el que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un espacio de Hilbert de dimensión infinita. El concepto de variedad de Hilbert permite extender la teoría de variedades a un contexto de dimensión infinita. De forma análoga a la situación de dimensión finita, se puede definir una variedad de Hilbert diferenciable considerando un atlas maximal en el que las aplicaciones de transición sean diferenciables.

Muchas construcciones básicas de la teoría de variedades, como el espacio tangente de una variedad y un entorno tubular de una subvariedad (de codimensión finita), se trasladan de la situación de dimensión finita al contexto de Hilbert con pocos cambios. Sin embargo, en enunciados que involucran aplicaciones entre variedades, a menudo es necesario restringir la consideración a aplicaciones de Fredholm , es decir, aplicaciones cuyo diferencial en cada punto es de Fredholm . La razón de esto es que el lema de Sard se cumple para las aplicaciones de Fredholm, pero no en general. A pesar de esta diferencia, las variedades de Hilbert tienen varias propiedades muy interesantes:

• Teorema de Kuiper : Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico compacto o tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , entonces todo fibrado de espacio de Hilbert (real o complejo) sobre${\displaystyle X}$es trivial. En particular, toda variedad de Hilbert es paralelizable .
• Toda variedad de Hilbert diferenciable puede incrustarse de forma diferenciable en un subconjunto abierto del espacio de Hilbert modelo.
• Toda equivalencia homotópica entre dos variedades de Hilbert es homotópica a un difeomorfismo . En particular, todo par de variedades de Hilbert homotópicamente equivalentes son ya difeomorfas. Esto contrasta con los espacios lente y las esferas exóticas , que demuestran que, en el caso de dimensión finita, la equivalencia homotópica, el homeomorfismo y el difeomorfismo de variedades son propiedades distintas.
• Aunque el teorema de Sard no se cumple en general, toda aplicación continua${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{n}}$Una función derivada de una variedad de Hilbert puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una aplicación suave.${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} ^{n}}$que no tiene puntos críticos .

• Cualquier espacio de Hilbert${\displaystyle H}$es una variedad de Hilbert con una única carta global dada por la función identidad en${\displaystyle H.}$Además, dado que${\displaystyle H}$es un espacio vectorial, el espacio tangente${\displaystyle \mathrm {T} _{p}H}$a${\displaystyle H}$en cualquier momento${\displaystyle p\in H}$es canónicamente isomorfo a${\displaystyle H}$por sí mismo, y por lo tanto tiene un producto interno natural, el “mismo” que el de${\displaystyle H.}$De este modo${\displaystyle H}$Se le puede dar la estructura de una variedad riemanniana con métrica$${\displaystyle g(v,w)(p):=\langle v,w\rangle _{H}{\text{ para }}v,w\in \mathrm {T} _{p}H,}$$dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}}$denota el producto interno en${\displaystyle H.}$
• De manera similar, cualquier subconjunto abierto de un espacio de Hilbert es una variedad de Hilbert y una variedad riemanniana bajo la misma construcción que para todo el espacio.
• Existen varios espacios de mapeo entre variedades que pueden verse como espacios de Hilbert considerando únicamente aplicaciones de la clase de Sobolev adecuada . Por ejemplo, podemos considerar el espacio${\displaystyle \operatorname {L} (M)}$de todos${\displaystyle H^{1}}$mapas del círculo unitario${\displaystyle S^{1}}$en un colector${\displaystyle M.}$Esto puede ser topologizado a través de la topología abierta compacta como un subespacio del espacio de todas las aplicaciones continuas del círculo a${\displaystyle M,}$es decir, el espacio de bucle libre de${\displaystyle M.}$El espacio de mapeo de tipo Sobolev${\displaystyle \operatorname {L} (M)}$El espacio descrito anteriormente es homotópicamente equivalente al espacio de lazos libres. Esto lo hace adecuado para el estudio de la topología algebraica del espacio de lazos libres, especialmente en el campo de la topología de cuerdas . Podemos hacer una construcción de Sobolev análoga para el espacio de lazos , convirtiéndolo en una codimensión .${\displaystyle d}$subvariedad de Hilbert de${\displaystyle \operatorname {L} (M),}$dónde${\displaystyle d}$es la dimensión de${\displaystyle M.}$

• Variedad de Banach : variedad modelada en espacios de Banach. 
• Diferenciación en espacios de Fréchet : concepto matemático. 
• Variedad de Finsler : generalización de las variedades riemannianas. 
• Variedad de Fréchet : espacio topológico en matemáticas 
• Análisis global : que utiliza variedades de Hilbert y otros tipos de variedades de dimensión infinita.

• Klingenberg, Wilhelm (1982), Geometría de Riemann , Berlín: W. de Gruyter, ISBN 978-3-11-008673-7Contiene una introducción general a las variedades de Hilbert y muchos detalles sobre el espacio de lazos libres.
• Lang, Serge (1995), Variedades diferenciales y riemannianas , Nueva York: Springer, ISBN 978-0387943381. Otra introducción con más topología diferencial.
• N. Kuiper, "El tipo de homotopía del grupo unitario de espacios de Hilbert", Topología 3, 19-30
• J. Eells, KD Elworthy, "Sobre la topología diferencial de las variedades de Hilbert", Análisis global. Actas de simposios de matemáticas puras, volumen XV, 1970, 41-44.
• J. Eells, KD Elworthy, "Incrustaciones abiertas de ciertas variedades de Banach", Annals of Mathematics 91 (1970), 465-485
• D. Chataur, "Un enfoque bordista para la topología de cuerdas", preimpresión https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

• Variedad de Hilbert en el Atlas de Variedades