Personaje de Hecke

En teoría de números , un carácter de Hecke es una generalización de un carácter de Dirichlet , introducido por Erich Hecke para construir una clase de funciones L mayores que las funciones L de Dirichlet , y un entorno natural para las funciones zeta de Dedekind y otras que tienen ecuaciones funcionales análogas a la de la función zeta de Riemann .

Un carácter de Hecke es un carácter del grupo de clases idele de un cuerpo numérico o un cuerpo de funciones globales . Corresponde de forma única a un carácter del grupo idele que es trivial en ideles principales , mediante composición con la proyección.

Esta definición depende de la definición de carácter, que varía ligeramente entre autores: puede definirse como un homomorfismo a los números complejos distintos de cero (también llamado "cuasicarácter"), o como un homomorfismo al círculo unitario en${\displaystyle \mathbb {C} }$("unitario"). Cualquier cuasicarácter (del grupo de clases idele) puede escribirse de forma única como un carácter unitario multiplicado por una potencia real de la norma, por lo que no hay gran diferencia entre las dos definiciones.

El director de orquesta de un personaje Hecke${\displaystyle \chi }$es el ideal más grande${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$de tal manera que${\displaystyle \chi }$es un mod de personaje de Hecke${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$Aquí decimos que${\displaystyle \chi }$es un mod de personaje de Hecke${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$si${\displaystyle \chi }$(considerado como un carácter en el grupo de ideles) es trivial en el grupo de ideles finitos cuyo cada${\displaystyle \nu }$El componente -ádico reside en${\displaystyle 1+{\mathfrak {m}}O_{\nu }}$.

Un Größencharakter (a menudo escrito Grössencharakter, Grossencharacter, etc.), origen de un carácter de Hecke, que se remonta a Hecke , se define en términos de un carácter en el grupo de ideales fraccionarios . Para un cuerpo numérico${\displaystyle K}$, dejar ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{f}{\mathfrak {m}}_{\infty }}$ser un ${\displaystyle K}$- módulo , con${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$, la "parte finita", siendo un ideal integral de${\displaystyle K}$y${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$, la "parte infinita", siendo un producto (formal) de lugares reales de${\displaystyle K}$. Dejar${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}}$denotan el grupo de ideales fraccionarios de${\displaystyle K}$relativamente privilegiado para${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$y dejar${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$denota el subgrupo de ideales fraccionarios principales${\displaystyle (a)}$dónde${\displaystyle a}$está cerca${\displaystyle 1}$en cada lugar de${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$de acuerdo con las multiplicidades de sus factores. Es decir, para cada lugar finito${\displaystyle \nu }$en${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$, la orden${\displaystyle ord_{\nu }(a-1)}$es al menos tan grande como el exponente para${\displaystyle \nu }$en${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$, y${\displaystyle a}$es positivo bajo cada incrustación real en${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$. Un Größencharakter con módulo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ es un homomorfismo de grupo de${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}}$en los números complejos no nulos tales que en los ideales${\displaystyle (a)}$en${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$su valor es igual al valor en${\displaystyle a}$de un homomorfismo continuo a los números complejos no nulos a partir del producto de los grupos multiplicativos de todas las completaciones arquimedianas de${\displaystyle K}$donde cada componente local del homomorfismo tiene la misma parte real (en el exponente). (Aquí incrustamos${\displaystyle a}$en el producto de las terminaciones arquimedianas de${\displaystyle K}$utilizando incrustaciones correspondientes a los diversos lugares arquimedianos en${\displaystyle K}$.) Por lo tanto, se puede definir un Größencharakter en el grupo de clases de rayos módulo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, que es el cociente${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}/P_{\mathfrak {m}}}$.

En rigor, Hecke estableció la condición sobre el comportamiento en los ideales principales para aquellos que admiten un generador totalmente positivo. Así pues, en términos de la definición anterior, en realidad solo trabajó con módulos donde aparecían todos los lugares reales. El papel de la parte infinita m _∞ ahora se engloba bajo la noción de un tipo infinito.

Un carácter de Hecke y un Größencharakter son esencialmente la misma noción con una correspondencia biunívoca . La definición ideal es mucho más compleja que la idílica, y la motivación de Hecke para su definición fue construir funciones L (a veces denominadas funciones L de Hecke ) ^{[ 1 ]} que extienden la noción de una función L de Dirichlet de los racionales a otros cuerpos numéricos. Para un Größencharakter χ , su función L se define como la serie de Dirichlet.

${\displaystyle \sum _{(I,m)=1}\chi (I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )}$

realizado sobre ideales integrales relativamente primos con el módulo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$del Größencharakter. Aquí${\displaystyle N(I)}$denota la norma ideal . La condición de parte real común que rige el comportamiento de Größencharakter en los subgrupos${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$implica que estas series de Dirichlet son absolutamente convergentes en algún semiplano derecho. Hecke demostró que estas funciones L tienen una continuación meromorfa a todo el plano complejo, siendo analíticas excepto por un polo simple de orden 1 en '${\displaystyle s=1}$cuando el carácter es trivial. Para los caracteres de tamaño primitivos (definidos en relación con un módulo de manera similar a los caracteres de Dirichlet primitivos), Hecke demostró que estas funciones L satisfacen una ecuación funcional que relaciona los valores de la función L de un carácter y la función L de su carácter conjugado complejo.

Consideremos un personaje${\displaystyle \psi }$del grupo de clases idele, tomado como una aplicación al círculo unitario que es 1 en ideles principales y en un conjunto finito excepcional${\displaystyle S}$que contiene todos los lugares infinitos. Entonces${\displaystyle \psi }$genera un carácter${\displaystyle \chi }$del grupo ideal${\displaystyle I^{S}}$, que es el grupo abeliano libre sobre los ideales primos que no están en${\displaystyle S}$. ^{[ 2 ]} Tomar un elemento uniformizador${\displaystyle \pi }$para cada primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$no en${\displaystyle S}$y definir un mapa${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle I^{S}}$para idele clases mapeando cada una${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$a la clase del idele que es${\displaystyle \pi }$en el${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$coordinar y${\displaystyle 1}$en todas partes. Deja${\displaystyle \chi }$ser la composición de${\displaystyle \Pi }$y${\displaystyle \psi }$. Entonces${\displaystyle \chi }$está bien definido como un carácter en el grupo ideal. ^{[ 3 ]}

En la dirección opuesta, dado un carácter admisible${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle I^{S}}$allí corresponde un carácter de clase idélica único${\displaystyle \psi }$. ^{[ 4 ]} Aquí admisible se refiere a la existencia de un módulo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$basado en el conjunto${\displaystyle S}$de tal manera que el personaje${\displaystyle \chi }$evalúa a${\displaystyle 1}$sobre los ideales que son 1 mod${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. ^{[ 5 ]}

Los caracteres son "grandes" en el sentido de que el tipo infinito, cuando está presente, implica de manera no trivial que estos caracteres no son de orden finito. Los caracteres de Hecke de orden finito están todos, en cierto sentido, explicados por la teoría de cuerpos de clases : sus funciones L son funciones L de Artin , como muestra la reciprocidad de Artin . Pero incluso un cuerpo tan simple como el cuerpo gaussiano tiene caracteres de Hecke que van más allá del orden finito de manera significativa (véase el ejemplo a continuación). Desarrollos posteriores en la teoría de la multiplicación compleja indicaron que el lugar apropiado para los caracteres "grandes" era proporcionar las funciones L de Hasse-Weil para una clase importante de variedades algebraicas (o incluso motivos ).

• Un carácter de Dirichlet es un carácter de Hecke de orden finito. Está determinado por valores en el conjunto de ideales principales totalmente positivos que son 1 con respecto a algún módulo m . ^{[ 5 ]}
• Un carácter de Hilbert es un carácter de Dirichlet de conductor 1. ^{[ 5 ]} El número de caracteres de Hilbert es el orden del grupo de clases del cuerpo. La teoría de cuerpos de clases identifica los caracteres de Hilbert con los caracteres del grupo de Galois del cuerpo de clases de Hilbert.

• Para el campo de los números racionales, el grupo de clases de idele es isomorfo al producto de los números reales positivos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$con todos los grupos de unidades de los enteros p -ádicos. Así, un cuasicarácter puede escribirse como producto de una potencia de la norma con un carácter de Dirichlet.
• Un carácter de Hecke χ de los enteros gaussianos del conductor 1 tiene la forma

χ(( a )) = | un | ^s ( un /| un |) ^{4 norte}

para s imaginario y n un entero, donde a es un generador del ideal ( a ). Las únicas unidades son potencias de i , por lo que el factor de 4 en el exponente asegura que el carácter esté bien definido en ideales.

La demostración original de Hecke de la ecuación funcional para L ( s ,χ) utilizó una función theta explícita . La disertación doctoral de John Tate de 1950 en Princeton, escrita bajo la supervisión de Emil Artin , aplicó sistemáticamente la dualidad de Pontryagin para eliminar la necesidad de funciones especiales. Una teoría similar fue desarrollada independientemente por Kenkichi Iwasawa, tema de su charla en el ICM en 1950. Una reformulación posterior en un seminario de Bourbaki por Weil en 1966 mostró que partes de la demostración de Tate podían expresarse mediante la teoría de distribuciones : el espacio de distribuciones (para funciones de prueba de Schwartz-Bruhat ) en el grupo adele de K que se transforma bajo la acción de los ideles por un χ dado tiene dimensión 1.

Un carácter de Hecke algebraico es un carácter de Hecke que toma valores algebraicos : fueron introducidos por Weil en 1947 con el nombre de tipo A ₀ . Dichos caracteres aparecen en la teoría de cuerpos de clases y en la teoría de la multiplicación compleja . ^{[ 6 ]}

Sea E una curva elíptica definida sobre un cuerpo numérico F con multiplicación compleja por el cuerpo cuadrático imaginario K , y supongamos que K está contenido en F. Entonces existe un carácter de Hecke algebraico χ para F , con conjunto excepcional S el conjunto de primos de mala reducción de E junto con los lugares infinitos. Este carácter tiene la propiedad de que para un ideal primo p de buena reducción , el valor χ( p ) es una raíz del polinomio característico del endomorfismo de Frobenius . Como consecuencia, la función zeta de Hasse-Weil para E es un producto de dos series de Dirichlet, para χ y su conjugado complejo. ^{[ 7 ]}

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